Четырёхугольник с тремя равными сторонами

Квант 2024, №10 с. 27 Тег 4X7Q

Четырехугольник с тремя равными сторонами

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Е.БАКАЕВ

Обсудим такую задачу М.Волчкевича. В четырехугольнике ABCD стороны AB, BC, CD равны. Найдите углы A и D четырехугольника, если $^{B} 108 q, ^{C} 48 q$ (рис. 1).

Рис. 1

Мы приведем разные дополнительные построения, которые помогают решить задачу. Вопрос, как о них догадаться… Общая идея в том, чтобы искать углы с хорошими свойствами: например, угол в 60q или два угла, один из которых в два раза больше другого. Первый способ (равносторонний треугольник и трапеция). Посмотрим на числа в условии. Не приходит в голову, чем удобны углы $в^{108q} и^{48q}$ , но $вот^{108} q^{48} q 60 q$ – это уже замечательный угол! Отсюда можно додуматься до следующего дополнительного построения.

Рис. 2

Отметим точку E такую, что треугольник CDE – равносторонний и $^{BCE} 108 q$ (рис. 2). Таким образом, мы как раз «прибавили» к углу $в^{48q}$ угол в 60q и получили 108q. Важное свойство угла в 60q – что это часть равностороннего треугольника, поэтому надо вместе с углом 60q сразу достроить и весь треугольник.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20241002

Тогда в четырехугольнике ABCE равны углы B и C и стороны AB и CE, а значит, это равнобокая трапеция. Можно доказать это так: продлим AB и CE до пересечения в точке X (рис. 3), тогда в треугольнике BXC равны углы и, значит, он рав- Рис. 3 нобедренный. Поэтому XB = XC и XA = XE, т.е. ‘AXE равнобедренный и AE P BC. Таким образом, ABCE (см. рис. 2) – равнобокая трапеция, и мы знаем ее углы: $^{A} ^{E} 180 q ^{B} 72 q$ . Треугольник ABC равнобедренный, в нем углы A и $C равны^{180} q^{108} q^{2} 36 q$ , тогда $^{ACE} ^{BCE} ^{BCA} 108 q^{36} q 72 q$ . Получается, что треугольник ACE равнобедренный, так как в нем углы C и E равны 72q. Поэтому точки A и D лежат на серединном перпендикуляре к CE, а значит, DAC $90 q 72 q^{18} q$ . Отсюда несложно получить ответ: углы в четырехугольнике ABCD равны $^{A} 36 q^{18} q 54 q, ^{D} 180 q^{30} q^{150} q$ . Второй способ (ромб и биссектрисы). Идея этого построения в следующем. Нам даны углы между первой и второй стороной и между второй и третьей стороной. Можно еще построить угол между первой и третьей стороной – надо параллельно перенести первую сторону к третьей. Иными словами, достроить треугольник ABC до параллелограмма. Так как в нем будут равны все стороны, то в данном случае он будет являться ромбом. Скажем о свойствах ромба. Возьмем равнобедренный треугольник PQR и продлим в нем высоту QO, проведенную к основанию, на свою длину – получим точку S (рис. 4).

Рис. 4

ШКОЛА

«КВАНТЕ»

Образовалось 4 равных треугольника, и тогда PQRS – это ромб, так как в нем все стороны равны. Кроме того, P R, Q S, P Q 180 q. Итак, достроим ‘ABC до ромба ABCK c углами 108q и 72q (рис. 5). Несложно посчи-

Рис. 7

Рис. 5

тать, что ACD 12 q, DCK 24 q. Напрашивается такое дополнительное построение: провести биссектрису угла DCK, ведь 12 2 24. Проведем ее до пересечения с AK в точке F (рис. 6). Треугольники DFC и KFC

Рис. 6

равны по двум сторонам и углу между ними. Так как $72 q 12 q^{60} q$ , то KFC $DFC^{60} q$ , а тогда и $AFD^{60} q$ . В треугольнике AFC в точке D пересекаются две биссектрисы, а значит, и третья биссектриса тоже проходит через эту точку! Тогда CAD CAK 2 18 q, и теперь уже легко посчитать углы четырехугольника ABCD. Можно придумать аналогичное решение без ромба – отразим точку D относительно AC, и все наши построения внутри треугольника ACK вместо этого будем делать в треугольнике ACB. Третий способ (правильный пятиугольник и симметрия). У самого по себе угла в 108q есть хорошие геометрические свойства. Заметим, что смежным ему является угол в 72q и $72 q ^{5} 360 q$ . Возьмем точку O и проведем из нее под равными углами равные отрезки в точки K, L, M, N, P (рис. 7). Тогда углы между соседними отрезками как раз по 72q. Возникает 5 равных треугольников, поэтому в пятиугольнике KLMNP равны все стороны и все углы – это правильный пятиугольник. Несложно посчитать, что все его углы равны по 108q. Зная это, можно догадаться: надо достроить четырехугольник ABCD до правильного пятиугольника ABCST $(рис.^{8).}$ Тогда тре-

Рис. 8

угольник CDS равнобедренный с $углом^{60q}$ , а поэтому равносторонний. Таким образом, наша конструкция состоит из правильного пятиугольника и равностороннего треугольника с общей стороной CS. Покажем, что эта конструкция симметрична относительно l – серединного перпендикуляра к CS. Для ‘CSD прямая l является осью симметрии. И для правильного пятиугольника это тоже так – l является его осью симметрии, что несложно понять из нашего способа построения правильного пятиугольника (см. $рис.^{7).}$ А значит, и вся конструкция симметрична относительно l. Отсюда понятно, что DAB $108 q 2^{54} q$ .

Задачи

В четырехугольнике ABCD стороны AB, BC, CD равны. Найдите углы четырехугольника, если а) $B^{80} q$ , $C^{80} q$ ; б) $B^{80} q$ , C 100 q; в) B 60 q, C 80 q; г) (М.Волчкевич, Математический праздник, 2020) B 90 q, $C^{150} q$ ;