Задачи 5—8

28

д) ‘ B е) ‘ B ё) ‘ B

КВАНТ 2024/№10

90 q, ‘ C 30 q; 70 q, ‘ C 170 q; 108 q, ‘ C 168 q.

2* (М.Волчкевич, Математический праздник, 2022, 7 кл.). В четырехугольнике ABCD известно, что AB = BC = CD, ‘ A 70 q и ‘ B 100 q. Чему могут быть равны углы C и D?

3* (М.Евдокимов, Устная московская олимпиада, 2023, 7 кл.). В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB, BC и CD, а угол D равен сумме углов A и C. Чему равен угол DAC?

4* (М.Волчкевич, Московская математическая олимпиада, 2007, 8 кл.). В четырехугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, точка M – середина стороны AD. Известно, что ‘ BMC 90 q. Найдите угол между диагоналями четырехугольника ABCD.

5* (Турнир городов, 2004). На сторонах KB и KC треугольника KBC отметили соответственно точки $A и_{D}$ так, что AB = BC = CD. Отрезки AC и BD пересекаются в точке N. Докажите, что NI A BC, где I – центр вписанной окружности KBC.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

5. На $острове^{30}$ жителей, каждый либо правдолюб (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет). Каждый знает про всех, кто есть кто. Островитяне встали в круг, и каждый сказал про соседа справа, правдолюб он или лжец, а потом сказал это про соседа слева. Может ли быть, что никто не сказал дважды одно и то же?

Б.Френкин

$6.^{Есть}$ шахматная $доска^{8} u^{8}$. За один ход можно выбрать любой клетчатый квадрат $2 u 2,^{3} u^{3} или^{4} u^{4}$ и изменить цвет четырех его угловых клеток на противоположный. Можно ли а) сделать доску полностью белой; б) сделать какие-то две соседние по стороне клетки черными, а остальные $клетки^{—}$ белыми? Приведите алгоритм действий или докажите, что такое невозможно.

М.Евдокимов

7. Найдите все углы $D,^{0} D^{180} q$, такие, что существует конечное множество точек плоскости (содержащее хотя бы две точки) со следующим свойством: для любых точек$^{A}$ $и^{B}$ множества существует $точка^{C}$ множества такая, что $‘^{ACB} D$.

Е.Бакаев

8. Клеточный прямоугольник по линиям сетки разрезан на полоски – прямоугольники $шириной^{1}$ и длиной $больше^{1.}$ В каждой полоске две крайние клетки покрашены в красный цвет. Докажите, что от каждого угла прямоугольника есть путь по красным клеткам в какой-то другой угол (путь можно пройти, переходя из клетки в соседнюю с ней по стороне).

Е.Бакаев