Об инвариантах Понселе и пучках окружностей

Квант 2025, №1 с. 35, 41, 43, 45, 46 Тег D87T

П.КОЖЕВНИКОВ

Вокруг теоремы Понселе

Теорема Понселе – одна из геометрических теорем, которой можно восхищаться бесконечно! Приведем один из «классических» вариантов ее формулировки (конечно, известны вариации и обобщения). Теорема Понселе. Пусть на плоскости даны две окружности, и вторая окружность лежит внутри первой (рис. 1).

Рис. 1

Предположим, существует замкнутая n-звенная ломаная, все вершины которой лежат на первой окружности, а все звенья которой касаются второй. Тогда есть бесконечно много таких замкнутых n-звенных ломаных и любая точка первой окружности может быть вершиной такой ломаной. Таким образом, построение ломаной можно начать с любой точки первой окружности, проводя касательную ко второй окружности и получая новую точку пересечения на первой окружности. Пошаговое построение такой ломаной называют процессом Понселе для пары данных окружностей, а саму ломаную (вписанную в первую окружность и описанную вокруг второй) – ломаной Понселе или траекторией Понселе. По сути, теорема Понселе

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20250102

утверждает, что если траектория Понселе, начатая в некоторой точке первой окружности, оказалась периодической, т.е. замкнулась после какого-то шага, то эту замкнутую траекторию можно «вращать» между окружностями. Зададимся вопросом, а какими интересными свойствами обладают траектории Понселе? Интересным свойством может быть инвариант, т.е. величина или характеристика, не зависящая от выбора траектории. Пример метрического инварианта указан в задаче M2817 из «Задачника «Кванта» (ее решение см. в этом номере журнала). В этой задаче рассматривается пара окружностей, для которых существует семейство вписанно-описанных (2n)-угольников Понселе, и утверждается, что отношение площади к сумме длин главных диагоналей является инвариантом, т.е. одной и той же величиной для любого (2n)-угольника Понселе. В решении задачи М2817 используется замечательный геометрический инвариант семейства (2n)-угольников Понселе: их главные диагонали пересекаются в одной фиксированной (не зависящей от выбора (2n)-угольника) точке. К этому факту мы обратимся в задаче 10 в конце статьи. Рассмотрим утверждение про еще один геометрический инвариант для периодических траекторий Понселе. Утверждение. Пусть для пары окружностей:, Z есть замкнутая n-звенная траектория Понселе. Рассмотрим n точек касания звеньев с Z. Тогда центр масс системы этих n точек – фиксированная точка. Итак, центр масс точек касания, а точнее говоря, центр масс системы n равных масс,

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Кстати, выделенные курсивом слова – название статьи, дважды опубликованной в «Кванте» (см. «Квант» №9 за 1981 г. и №12 за 1987 г.). Сам же этот тезис – из книги Я.И.Перельмана «Занимательная алгебра». Вот пример задачи, к которой можно отнести это суждение: Кусок льда c температурой 0 q С и массой m поместили в воду с температурой 35 q С. Масса вода равна 2 m. Определите температуру смеси, предполагая, что теплообмен происходит только между льдом и водой. Известно, что удельная теплота плавления льда 340 кДж кг, а удельная теплоемкость воды 4,2 кДж кг q C. Предполагая, что весь лед растает, приходим к уравнению

340 m 4,2 3 m t

ШКОЛЬНИКОВ

часов выпили бочонок кваса и в которой спрашивается, сколько косцов выпьют такой же бочонок за 3 часа. Слово «косцы» школьникам столь же незнакомо, как слово «эскалатор» их дедушкам и бабушкам прошлого века.

Вдумчивые читатели, наверное, уже увидели, что две на первый взгляд разные задачи 1 и 2 – на деле одна и та же математическая задача. Сходство абсолютное, что хорошо видно из таблицы:

4,2 m 35 t.

Отсюда следует, что t < 0. Это неравенство означает, что весь лед не растает. Часть его так и останется в виде льда с нулевой температурой, а вся вода охладится до нуля градусов. Температура смеси будет нулевой. А теперь вспомним такую физическую задачу. Задача 2. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек, второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое больше, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

По условию этой задачи заметим следующее. Человек бежит не по эскалатору, а по ленте эскалатора. Эскалатор – это большая и сложная подъемно-транспортная машина. Первое патентование эскалатора относят к 1859 году, первый эскалатор появился в 1894 году в Нью- Йорке как аттракцион для туристов, в метро – в 1911 году в Лондоне. В нашей стране первые эскалаторы начали действовать в 1935 году в Московском метрополитене. По этой причине задача про человека, бегущего по эскалатору, не могла появиться в задачниках в 30-е, да и в 40-годы прошлого века. А вот у современных школьников вызывает вопросы старинная задача, в которой 6 косцов в жаркий день за 8

Ясно, что, решив задачу 1 про теплоход, катер и два плота на реке, мы решили и задачу 2. Так что ответ к ней: 100 ступенек. Рисунок 1, приведенный к задаче 1, вполне можно отнести к задаче 2 про эскалатор. При этом мы считаем, что человек бежит по ходу движения эскалатора – именно так зачастую поступает спешащий пассажир метро. Но в условии задачи об этом прямо не сказано, поэтому давайте рассмотрим тот случай, когда человек бежит против движения эскалатора. Предположим, что эскалатор движется сверху вниз, а человек пытается подняться по нему снизу вверх (рис. 2). Эскалатор выступает для него этаким спортивным тренажером, бегущей дорожкой. Пусть N – это невидимая вначале ступенька, находящая на расстоянии l от видимого начала эскалатора. Эта ступенька и человек встречаются в верхней точке эскалато-

МАТ Е МАТИ ЧЕС КИ Й

Рассмотрим другой пример. Пусть есть некоторое мультимножество (множество, в котором элементы могут повторяться) целых чисел M и некоторое число S. Необходимо проверить, существует ли в M подмножество чисел, в сумме дающих S. Пока не известны быстрые алгоритмы нахождения требуемого подмножества. Таким образом, не известно, лежит ли эта задача в P. Однако мы точно можем сказать, что задача лежит в NP. Если нам дадут некоторый набор чисел, то нужно будет просто убедиться в том, что нас не обманули и действительно дали подмножество M, а также то, что сумма данных нам чисел равна S. Поскольку решение можно быстро проверить, задача лежит в NP. Есть, кроме того, класс NP-полных задач, т.е. класс самых «сложных» NP-задач. Если найти «быстрый» алгоритм решения хотя бы какой-нибудь из них, то это автоматически будет значить, что для любой NP-задачи существует «быстрый» алгоритм. И рассмотренная нами задача как раз NP-полна. Заметим, что задача нахождения подмножества M с суммой S по сути является частным случаем той игры, что придумал искусственный интеллект. Просто в данном случае идет игра на доске, одна из сторон которой равна 1. Таким образом, если хороший алгоритм и существует, то человеку до него, скорее всего, будет сложно догадаться, а тем более современному искусственному интеллекту. Остается только перебирать каким-то образом варианты. Подобные задачи зачастую являются NP- полными. Например, судоку также среди них. Так что можно быть уверенным, что при генерации нового уровня числа на доске появляются случайно и «решение» также выбирается случайно. Поэтому вероятно, что какой-то из уровней будет иметь не единственную правильную комбинацию, и это, конечно, не очень хорошо. Ведь тогда при решении придется в некоторый момент действовать наугад. Подытожим наши рассуждения тем замечанием, что искусственный интеллект надо использовать с (человеческим) умом, а не надеяться на его безупречность. Однако здорово, что он способен дать думающему человеку столько пищи для размышления. Пред-

К РУЖ ОК

ставьте, сколько обобщений можно придумать на основе этой игры! В заключение отметим, что обсуждаемая игра уже была придумана раньше (см. [3]). Так что еще неизвестно, действительно ли искусственный интеллект сам сгенерировал такие правила или все-таки воспользовался имеющимся материалом.

Упражнения

В задаче дискретной томографии единственным препятствием к единственности решения было существование «шахматных четверок». Приведите примеры препятствий к единственности решения, которые могут возникнуть при решении задачи, предложенной искусственным интеллектом. 4. Единственно ли решение задачи, предложенной искусственным интеллектом (рис. 8)?

Рис. 8

Литература

H.J.Ryser. Сombinatorial properties of matrices of zeros and ones. – Canadian Journal of Mathematics, 2010, n. 9, p. 269–275. 2. Д.В.Мусатов. Сложность вычислений. – МФТИ, 2016. 3. https: www.digitaltrends.com gaming sumplete-chatgpt-ai-game-design-ethics

Ф ИЗИ ЧЕС КИ Й

положения равновесия нулевое, достигаются максимумы и минимумы давления $p_{0} r$ ’ p. Этим же моментам времени и местам в пространстве соответствуют экстремальные упорядоченные скорости движения частиц r Av O. Иными словами, в этих местах и в эти моменты времени достигается максимальная плотность потока энергии в волне, равная ’ pAv O. Причем знаки потоков энергии в направлении оси x в этих местах (там, где нулевые смещения частиц) одинаковы. В тех же местах, где частицы движутся с максимальной скоростью, величина дополнительного давления по отношению к среднему значению равна нулю. Произведение скорости их упорядоченного (не теплового) движения на среднее давление в этом месте тоже дает плотность потока энергии, но эти потоки в одном месте и в ближайшем вдоль направления распространения волны соседнем имеют противоположные знаки, поскольку скорости волнового движения отличаются в этих местах по направлению. В распространяющейся в направлении +x волне среднее по времени значение плотности потока энергии в этом направлении положительно и равно половине от максимального значения, которое достигается именно в тех местах и в те моменты времени, где и когда смещения частиц от равновесных положений равны нулю. Таким образом, во времени поток энергии пульсирует с частотой 2v O, которая в два раза выше частоты колебаний частиц в волновом движении, равной v O.

Волновые свойства

Ф АК У ЛЬТАТИВ

Энергия волн. Громкость звука

Энергия звуковых волн в объеме с поперечными линейными размерами, значительно превышающими длину волны, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний давления в волне. Если считать, что потерь нет и источник звука выдает постоянную во времени мощность, создавая волны, распространяющиеся по всем возможным направлениям, то с увеличением расстояния от источника звука до места регистрации волны в выбранном постоянном направлении от источника амплитуда волн A убывает. Например, если источник и приемник звука находятся в однородной среде и размеры источника D и длина волны O звука малы в сравнении с расстоянием R от источника до приемника, то произведение расстояния на амплитуду волны на этом расстоянии сохраняется: AR const.

Восприятие звуковых сигналов имеет определенные особенности. Известно, что диапазон частот сигналов, воспринимаемых человеком как звук, составляет для молодых людей от 20 Гц до 20 кГц. С возрастом чувствительность к высоким частотам падает. При этом одинаковые по амплитуде колебаний частиц в волне сигналы на разных частотах воспринимаются как разные по громкости. На рисунке 1 показаны уровни звука на разных частотах, которые воспринимаются как одинаковые по громкости. Наибольшая чувствительность достигается при

Для звуковых волн с малыми амплитудами колебаний давления справедлив принцип суперпозиции. При этом распространяющиеся через одну и ту же область пространства в разных направлениях волны не влияют друг на друга. Для звуковых волн (так же, как и для световых, т.е. электромагнитных волн) имеют место известные волновые явления. А именно: интерференция и дифракция волн. В отличие от световых волн, для звуковых волн в газах квантовые свойства не проявляются. $^{1}$

1 Кстати, для звуковых волн в твердых телах квантовые эффекты имеют место. Именно этими эффектами определяется зависимость от температуры теплоемкости твердых тел при низких температурах.

Рис. 1. Зависимость уровня громкости звука от частоты

Ф ИЗИ ЧЕС КИ Й

ния ’ $p = p_{0}$ скорость звука не зависит от амплитуды колебаний давления. А вот при увеличении амплитуды давления в волне до величин, сравнимых (или больше) со средним значением $p_{0}$ , скорость звука вырастает (возникают ударные волны).

Движение источника и приемника звука

Если источник звука движется относительно газа, то распределение в пространстве участков с повышенным и пониженным давлением (максимумов и минимумов давления в волне) зависит от направления, в котором распространяется звуковая волна, и от вектора скорости движения источника звука (учитывается и направление, и величина скорости источника). Это явление носит название эффекта Доплера, названного так в честь физика, впервые объяснившего этот эффект. Например, человек, неподвижно стоящий (в безветренную погоду) и слушающий звук проезжающего мимо него со скоростью меньше скорости звука автомобиля (поезда или пролетающего вертолета), слышит более высокую частоту колебаний звука во время приближения к нему источника в сравнении с частотой звука, приходящего к слушателю от удаляющегося от него того же источника звука. Движение самого слушателя относительно воздуха тоже приводит к зависимости высоты слышимого звука от направления распространения звуковых волн и от величины и направления скорости движения слушателя.

Сверхзвуковой самолет

Если источник звука движется относительно газовой среды со скоростью, превышающей скорость звука (некоторые современные самолеты могут летать в воздухе со скоростью больше скорости звука), то в этом случае все пространство разделяется на две области: одна область еще не занята звуковыми волнами, а в другой области звуковые волны уже существуют. Если такой источник звука движется прямолинейно и равномерно, то разделяет эти две области поверхность в форме конуса. Называют ее конусом Маха – по фамилии физика, который впервые описал ее. В вершине этого конуса находится источник звука и вершина движется со ско-

Ф АК У ЛЬТАТИВ

ростью источника звука. При этом вполне возможна ситуация, что самолет уже пролетел то место, в котором он был на минимальном расстоянии от наблюдателя, стоящего неподвижно на земле, а звуковые волны до него еще не дошли. В этом случае в момент прихода звуковых волн к слушателю возникает резкое изменение давления (хлопок), после которого слышится рев самолета. Причем по звуковым ощущениям создается впечатление, что от места над слушателем разлетаются в разные стороны два источника звука: один в ту сторону, куда полетел самолет, а другой в противоположную сторону. Пули, выпущенные из некоторых современных видов огнестрельного оружия, вылетают из ствола со скоростью в два раза выше скорости звука. И на значительной части длины траектории полета скорость пули превышает скорость звука. Поэтому справедливо высказывание: «если ты услышал звук летящей пули – она не твоя», т.е. она уже пролетела мимо и в тебя не попадет.

Звуковые волны в неоднородной среде

Понятно, что среды, в которых распространяются звуковые волны, могут быть неоднородными. Например, известно, что в воздухе (даже в неподвижном) с высотой над выбранным начальным горизонтальным уровнем может изменяться и температура, и плотность. Следовательно, волны в такой неоднородной среде могут изменять направление своего распространения, если переходят от участка с одним набором характеристик среды к участку с другим набором. При этом выполняются определенные соотношения между падающей на границу раздела участков волной, отраженной от этой границы или прошедшей через эту границу раздела волной. Действуют соответствующие законы отражения и преломления. Если считать, что потерь нет, что поверхность раздела плоская и ее геометрические размеры значительно больше длины волны, то эти законы совпадают с соответствующими законами в геометрической оптике и основываются на законах сохранения в механике. А именно: на законах сохранения импульса и энергии. Конечно, существуют ситуации, в которых длины волн сопоставимы

КВАНТ 2025/№1

с размерами границ раздела, да и сами границы могут быть не плоскими, а кривыми. В таких случаях могут появляться такие же волновые эффекты, как и для электромагнитных волн, т.е. дифракция и интерференция.

Поверхностные волны

Если газовая среда неоднородна и наблюдается резкая граница раздела, например отделяющая друг от друга области с разной плотностью одного и того же газообразного вещества (при различных температурах, но одинаковом давлении) или области с разным составом газовых смесей, которые тоже имеют разные плотности, то в гравитационном поле вещества располагаются так, что менее плотная составляющая находится выше более плотной. В такой ситуации возможно образование и распространение вдоль этой границы раздела так называемых поверхностных волн. (Аналогом являются гравитационные волны на поверхности воды.) Скорость их распространения зависит от плотностей выше $U_{в}$ и ниже $U_{н}$ границы раздела, а также от величины ускорения свободного падения g. И, самое интересное, скорость распространения таких волн зависит и от длины волны, и от амплитуды. Конечно, в атмосфере на разных высотах плотности воздуха отличаются и такие поверхностные волны иногда наблюдаются в виде специфической формы облаков, но частота колебаний в таких волнах настолько мала, что они не попадают в диапазон частот, который мы можем слышать. Иными словами, называть такие волны звуковыми никак нельзя.

Задачи для самостоятельного решения

Каков коэффициент пропорциональности в формуле $v^{2} \sim RT 0$ для газообразного водорода $( H_{2} )$ при разных температурах $T_{1} = 10$ К и $T_{2} = 300$ К? 2. Какова скорость звука в газовой смеси гелия и водорода при одинаковой концентрации молекул этих веществ при нормальных условиях? 3. Какова скорость звука в атмосфере Сатурна, средняя температура которой равна примерно 140 К? Состав атмосферы Сатурна: $H_{2}$ (около 96 %), He (около 3 %), $CH_{4}$ (около 0,4 %).

Раскапризничавшийся ребенок кричит так, что на расстоянии 1 м от его рта уровень громкости звука составляет 120 дБ. Энергия его крика распределена по частотам равномерно в диапазоне (1–7) кГц. На каком расстоянии от ребенка его крик уже будет невозможно услышать? 5. Какова амплитуда колебаний давления воздуха (находящегося при нормальных условиях) в плоской звуковой синусоидальной волне, для которой амплитуда смещений частиц от положений равновесия равна 1 мм, а длина волны равна 1 м? Какова величина плотности потока энергии в этой волне? 6. Какова громкость звука (в дБ) в волне из предыдущей задачи, если частота колебаний 3000 Гц? 7. Внутри шарика с тонкими резиновыми стенками находится в газообразном состоянии вещество с названием НОВЕК (у этого вещества весьма большая молярная масса). Снаружи воздух находится при нормальных условиях. Радиус шарика равен 0,5 м. На шарик падает плоская звуковая волна с частотой 10 кГц. Вдали от этого шарика прибор регистрирует громкость звука 50 дБ. В каком месте нужно расположить микрофон, чтобы зарегистрировать максимальную громкость звука? Какова примерно эта максимальная громкость? 8. Самолет летит на высоте 1000 м с постоянной скоростью 200 м с. Винт (пропеллер) этого самолета имеет три лопасти и вращается с частотой 1000 об мин. Непосредственно под траекторией (на эпитраектории) находится наблюдатель. Какую частоту звука слышит этот наблюдатель в те моменты, когда самолет находится от него на расстоянии 3 км? 9. В огромном кратере (диаметр больше 10 км) давно потухшего вулкана с высокими (0,5 км) стенками воздух холодный $( - 10 \infty$ С ). Над кратером медленно движется теплый воздух $( + 20 \infty$ С ). Какова скорость распространения поверхностных (на границе раздела теплого и холодного воздуха) волн с длиной волны 10 м? Атмосферное давление составляет $10^{5}$ Па. 10. Для чего в прошлом веке на открытых эстрадных площадках над подиумом высотой примерно 1 м делали стены в форме четверти сферы с радиусом 5–6 м, т.е. примерно во всю ширину рядов скамеек для зрителей, стоящих перед этой площадкой?