Why-точки, полуописанные окружности и прямая Эйлера

Квант 2025, №2 с. 48, 50 Тег UGUG

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Ф.БАХАРЕВ, Г.ЧЕЛНОКОВ

Появление Why-точки

За последние несколько десятилетий олимпиадная геометрия обросла терминологией, значительную часть которой еще нельзя назвать общепринятой. Так, одни названия распространены только в русскоязычном пространстве (леммы о воробьях [1], задача 255 [2], лемма о велосипедистах [3]), другие – в основном в англоязычной литературе (Queue point, Iran lemma, Shooting Death Star lemma [4, 5]). В этой статье мы поговорим о точке, название которой еще не прижилось. Иногда ее упоминают как ISL $2011 G4 point^{1}$ , а с недавнего времени встречается уже не столь неказистое, но все еще не слишком удачное название: Why-точка (см., например, [6]). Не претендуя на принятие окончательного решения по поводу названия, мы расскажем о связанных с этими точками конструкциях, часть из которых – непосредственные наблюдения авторов статьи. Перед тем, как перейти к определениям, разберем две задачи, предлагавшиеся на заключительных этапах Всероссийской олимпиады школьников. Наименования точек изменены по сравнению с оригинальными формулировками.

1 ISL – IMO Short List – избранные задачи, из которых в конечном итоге составляется вариант Международной математической олимпиады (IMO). Номер G4 означает, что задача попала под номером 4 в список геометрических задач. В шортлисте 2011 года предлагалось 8 задач по геометрии. Задача G4 была предложена Россией, автор – Михаил Исаев.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250204

Факт 1 (Всероссийская олимпиада, 2015). Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность: (рис. 1). Пусть G – точка пересечения его медиан, а AD – высота. Луч GD пересекает: в точке Y. Тогда описанная окружность треугольника YDB касается прямой AB. Доказательство. Гомотетия с центром Рис 1 в точке G и коэффициентом 2 переводит окружность девяти точек треугольника ABC в его описанную окружность:, поэтому образ точки D – точка K – лежит на:, причем AK P BC (рис. 2). Рис 2 Таким образом, BAKC – равнобокая трапеция и ABC KCB. Привлекая равенство KCB KYB, заключаем, что ABD DYB и, следовательно, окружность (BYD), описанная около треугольника BYD, касается прямой AB. Замечание 1. В доказательстве мы использовали обозначение (BYD) для описанной окружности треугольника BYD. Мы продолжим использовать это обозначение без дополнительных пояснений. Замечание 2. В дальнейшем мы будем по умолчанию считать, что треугольник ABC остроугольный, AB < AC, и все доказательства проводить в этом случае. Отметим, что все доказываемые утверждения остаются верны и в случае неостроугольного треугольника.

Упражнение 1. Через вершину A треугольника проведена прямая, которая пересекает сторону BC в точке X и описанную окружность: повторно в точке Z. Используя введенные выше обозначения, докажите, что окружность (XYZ) проходит через точку D.

Следующее утверждение выглядит несколько сложнее, но значительное сходство и в условии, и в доказательстве бросается в глаза. Тем удивительнее, что обе задачи предлагались на финале Всероссийской олимпиады с разницей всего в три года.

КВАНТ 2025/№2

Три Why-точки

Факт 6. Why-чевианы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера. Доказательство. Рассмотрим окружность $:_{a}$ , появившуюся в факте 3, и аналогичные окружности $:_{b}$ и $:_{c}$ . Для ортоцентра треугольника верны равенства HD HA HE HB HF HC, поскольку высоты являются радикальными осями окружностей, построенных на сторонах треугольника как на диаметрах. Следовательно, точка H имеет одинаковые степени и относительно всех трех окружностей $:_{a}, :_{b}$ и $:_{c}$ . Кроме того, принимая во внимание, что OA, OB и OC (O, как обычно, центр окружности: ) являются касательными к $:_{a}, :_{b}$ и $:_{c}$ соответственно, заключаем, что и степень точки O относительно всех трех окружностей тоже одинакова. Это означает, что прямая Эйлера треугольника ABC является общей радикальной осью этих окружностей. Таким образом, существует точка, имеющая одинаковую степень относительно всех трех окружностей $:_{a}, :_{b}, :_{c}$ и относительно окружности:. Эта точка лежит на всех Why-чевианах и на прямой Эйлера.

Упражнения

Установите независимо, что точка G тоже имеет одинаковые степени относительно окружностей $:_{a}, :_{b}, :_{c}. 8.$ Докажите, что точка пересечения Why-чевиан лежит на прямой, соединяющей точку D с точкой пересечения касательных к: в точках B и C.

Замечание 7. Предыдущее упражнение показывает, что точка пересечения Why- чевиан совпадает с центром гомотетии ортотреугольника DEF и треугольника, образованного касательными к окружности: в точках A, B и C. Эта точка известна геометрам как точка X(25) из энциклопедии центров треугольника (см., например, [11]).

Связь с полуописанными окружностями

Окружности, проходящие через две вершины треугольника и касающиеся вписанной окружности внутренним образом, называются полуописанными окружностями. Оказывается, Why-точки тесно связаны с указанными точками касания полуописанных окружностей.

Рис 8

Для того чтобы увидеть эту связь, проведем в исходной конфигурации касательные к окружности: в вершинах треугольника. Пусть они ограничивают треугольник A c B c C c, вершины которого названы соответственным образом. Нетрудно видеть, что точки A c, B c и C c являются инверсными образами середин сторон M, L и N соответственно относительно окружности: (рис.8). Поскольку Why- окружность (NLY) касается: в точке Y, то ее инверсный образ ( B c C c Y ) тоже касается окружности: в точке Y. Так как окружность: является вписанной для треугольника A c B c C c, заключаем, что точка Y является точкой касания полуописанной окружности в треугольнике A c B c C c. Сформулируем соответствующее утверждение. Факт 7. Точка Y – точка касания вписанной и полуописанной окружностей треугольника, образованного касательными в точках A, B, C к окружности:. Замечание 8. Отметим, что в случае тупоугольного треугольника в рассуждениях выше образуется не вписанная окружность, а вневписанная, а в случае прямоугольного и вовсе происходит вырождение – касательные в двух вершинах не пересекаются. Точка касания полуописанной окружности сама по себе имеет множество замечательных свойств. Докажем одно из самых важных. Факт 8. Прямая AY проходит через центр $I_{a}$ вневписанной окружности треугольника A c B c C c со стороны B c C c (рис.9). Доказательство. Пусть W – середина дуги B c C c окружности ( YB c C c ). По лемме

КВАНТ 2025/№2

радикальным центром A c. Докажите, что точки $A,^{A} c, O$ лежат на одной прямой. Факт 10. Радикальный центр Why-окружностей лежит на прямой Эйлера. Доказательство. Пусть касательные к описанной окружности треугольника ABC, проведенные в вершинах, пересекаются в точках A c, B c, C c. Тогда по факту 9 радикальный центр U полуописанных окружностей треугольника $^{A}$ $c^{B} c^{C} c$ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC. При инверсии относительно описанной окружности полуописанные окружности $треугольника^{A} c^{B} c^{C} c$ перейдут в Why-окружности треугольника ABC. По лемме 2 радикальный центр U, центр инверсии и радикальный центр Why-окружностей лежат на одной прямой. Однако, первые две из перечисленных точек лежат на прямой Эйлера, поэтому лежит и третья.

Упражнения

В треугольнике ABC проведена высота AD, точка H – ортоцентр треугольника ABC. Точка Z симметрична точке H относительно D, Y – Why- точка, соответствующая вершине A. Докажите, что окружность (DYZ) касается прямой BC. 12. В треугольнике ABC проведена высота AD, точка Dc на стороне BC такова, что BD c CD. Докажите, что BAY CADc, где Y – A-Why- точка. 13. Высоты BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что проекция H на EF лежит на прямой AY, где Y – A-Why-точка. 14. Точки $Y_{a}, Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why-точки треугольника ABC соответствующие вершинам A, B и C. Продолжение медианы из вершины A повторно пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Докажите, что прямые $Y_{b} Y_{c}, Y_{a} D$ и BC пересекаются в одной точке. 15. Точки $Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why-точки треугольника ABC соответствующие вершинам B и C. Точки E и F – основания высот из вершин B и C. Докажите, что $Y_{b}, Y_{c}, E$ и F лежат на одной окружности. 16. Точки $Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why точки треугольника ABC соответствующие вершинам B и C. Точка D – основание высоты из вершины A. Докажите, что окружность $( DY_{b} Y_{c} )$ проходит через середину стороны BC. 17. Высоты AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки $Y_{a}, Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why- точки треугольника ABC соответствующие вершинам A, B и C. Докажите, что окружности $(_{a}^{HDY} ), ( HEY_{b} ), ( HFY_{c} )$ имеют общую радикальную ось – прямую Эйлера треугольника.

Литература

А.Полянский. Воробьями по пушкам! – «Квант», 2012, № 2. 2. И.Шарыгин. Геометрия 9-11: От учебной задачи к творческой. – М.: Дрофа, 1997. 3. В.Протасов. О двух велосипедистах и вишневой косточке. – «Квант», 2008, № 3. 4. E.Chen. Euclidean Geometry in Mathema- tical Olympiads. – The Mathematical Associa- tion of America Press, Problem books, 2016, vol. 27. 5. E.Chen. Lemmas in AoPS Geometry. 2023. 6. AoPS-user i3435. «Muricaaaaaaa «American» Olympiad Triangle Geometry Configurations», 2021. 7. Д.Ефремов. Новая геометрия треугольника. – Одесса: Типография бланкоиздательства М.Шпенцера, 1902. 8. T.A.Moon. The Apollonian circles and isody- namic points. – Mathematical Reflections, 2010, vol. 6. 9. А.Руинский. Заметки об окружности Аполлония. – Математическое образование, 1999, № 2. 10. В.Тадеев. Простые, двойные, гармонические. – «Квант», 1982, № 7. 11. C.Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles. – Congressus numerantium, 1998, vol. 129.

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»^{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru