Về sự phân bố của số nguyên tố

56

Về sự phân bố của số nguyên tố

Nếu bạn đọc bài viết “Về các số nguyên tố” đăng trên «Kvant» số 4, thì chắc hẳn bạn đã có câu hỏi: những con số này được phân bổ như thế nào? Chúng xuất hiện bao nhiêu lần trong dãy số tự nhiên? Số lượng số nguyên tố không vượt quá n đã cho là bao nhiêu? Đây là những gì chúng ta sẽ nói về bây giờ.

1. Như chúng ta đã biết, tập hợp các số nguyên tố, là một phần của tập hợp số tự nhiên vô hạn, bản thân nó là vô hạn. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: toàn bộ phần này được định vị như thế nào? Thật không may, chưa có định luật đơn giản nào được phát hiện trong việc phân bố các số nguyên tố, mặc dù một số mẫu rất dễ chứng minh.

Lấy ví dụ: tập hợp các số nguyên tố không vượt quá 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Ở đầu hàng này có 2 và 3. Chúng cũng nằm cạnh hàng số tự nhiên. Có thể dễ dàng nói rằng đây là trường hợp duy nhất khi hai số tự nhiên lân cận đều là số nguyên tố - xét cho cùng, tất cả các số nguyên tố, ngoại trừ số 2, đều là số lẻ.

Hãy tiếp tục. Sau 3 có 5; “khoảng cách” giữa họ là hai. Tương tự là “khoảng cách” giữa các thành viên của cặp tiếp theo - 5 và 7. Nhưng giữa 7 và 11 đã có ba số tổng hợp. Tiếp theo, một lần nữa, một cặp số tổng hợp: 11 và 13. Những số “xa” nhất trong danh sách của chúng tôi là 89 và 97 - có bảy số tổng hợp giữa chúng. Nhưng tiếp tục chuỗi số nguyên tố này, chúng ta cũng sẽ khám phá những số có “khoảng cách” lớn nhất giữa chúng. Ví dụ, đây sẽ là 113 và 127, 139 và 149. Trong trường hợp này, một lần nữa sẽ có các số có “khoảng cách” nhỏ nhất có thể, ví dụ: 149 và 151, 179 và 181, 191 và 193. Bây giờ chúng ta hãy thử tìm xem “khoảng cách” giữa hai số nguyên tố lân cận có thể lớn hơn bao nhiêu.

Ví dụ: lấy số 100 và chứng minh rằng bạn có thể tìm thấy 100 số tự nhiên liên tiếp, trong đó không có một số nguyên tố nào. Để làm điều này, hãy tìm kiếm tất cả các số tự nhiên từ 2 đến 101. Số kết quả được ký hiệu là A:

$$A = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \dots 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101.$$

Rõ ràng là nó chia hết cho 2, 3, 4, …, 100, 101 mà không có số dư. Khoảng cách bây giờ tính theo 100 số tự nhiên liên tiếp:

$$A + 2, A + 3, A + 4, \dots, A + 99, A + 100, A + 101.$$

Tất cả những con số này là tổng hợp. Trên thực tế, số hạng thứ nhất chia hết cho 2 (vì cả hai số hạng đều chia hết cho 2), số hạng thứ hai cho 3 (cả hai số hạng đều chia hết cho 3), số hạng thứ ba cho 4, v.v. $A + 101$ cuối cùng chia hết cho 101.

Vậy ta đã tìm được 100 số liên tiếp và chúng đều là hợp số. Tương tự, bạn có thể tìm được 1000, 10.000 hoặc nhiều số tổng hợp liên tiếp. Như vậy, “khoảng cách” giữa hai số nguyên tố liền kề có thể lớn hơn rất nhiều.

2. Nếu chúng ta không tính đến điều duy nhất - số 2 và 3, thì “khoảng cách” nhỏ nhất giữa các số nguyên tố lân cận là hai. Có 8 cặp như vậy trong một trăm đầu tiên:

$$(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)$$

Những cặp số nguyên tố như vậy được gọi là cặp đôi. Nhưng người ta thậm chí còn không biết liệu có nhiều hữu hạn hay vô hạn