Thế giới huyền diệu của Henri Poincaré

Kvant 1976, số 3 tr. 9, 10, 11, 12, 14, 15, 17 Thẻ UQAT

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Thế giới huyền diệu của Henri Poincaré

Tôi đã mô tả một thế giới tưởng tượng, những cư dân trong đó chắc chắn sẽ sáng tạo ra hình học của Lobachevsky.

A. Poincaré

Khi kể lại lịch sử hình học Lobachevsky ngày nay, người ta có thể có ấn tượng rằng nếu những người sáng tạo ra hình học phi Euclid đã chứng minh được tính nhất quán của nó thì nó sẽ được chấp nhận một cách thuận lợi. Tuy nhiên, việc thiếu bằng chứng này không phải là điều khiến các nhà phê bình lo lắng nhất. Mọi người đã quen với thực tế là hình học đề cập đến không gian thực của chúng ta và không gian này được mô tả bằng hình học Euclide. Đặc điểm là Gauss đã phân biệt hình học với các nhánh khác của toán học, coi nó, giống như cơ học, là một khoa học thực nghiệm. Nhưng đồng thời, Gauss, giống như Lobachevsky và Bolyai, hiểu rằng, thứ nhất, có thể xây dựng hình học hài hòa về mặt logic, đằng sau đó không có thực tế vật lý - hình học “tưởng tượng”, và thứ hai, không thể chối cãi rằng ở quy mô thiên văn, hình học Euclidian ngự trị trong thế giới của chúng ta. Tuy nhiên, điều mà chỉ một số ít nhà toán học hiểu được lại hoàn toàn không thể tiếp cận được đối với những người không chuyên. Họ so sánh các phát biểu về hình học của Lobachevsky với thước đo Euclide trong trực giác hình học của họ - và nhận được nguồn trí tuệ vô tận. NG Chernyshevsky đã viết cho các con trai của mình từ nơi lưu đày rằng cả Kazan đã cười nhạo Lobachevsky: ““Độ cong của một tia” hay “không gian quanh co” là gì? Hình học không có tiên đề của các đường thẳng song song là gì? Ông so sánh điều này với “đôi bốt vuông” và “rút rễ từ ngọn”, và nói rằng điều này cũng ngớ ngẩn như “viết bằng tiếng Nga không có động từ” (ở đây chuyển sang Fet: “tiếng xào xạc, hơi thở rụt rè, tiếng chim sơn ca kêu” tại mà hóa ra họ cũng “cười đến đau cả hai bên”).

Một giai đoạn mới trong sự phát triển của hình học phi Euclide bắt đầu khi những mô hình đầu tiên của nó xuất hiện. Bây giờ chúng ta coi những mô hình này như một phương tiện để chứng minh tính nhất quán của hình học Lobachevsky; nhưng họ đáng chú ý không chỉ vì điều này. Ngay cả với con mắt thiện cảm, hình học của Lobachevsky dường như quá phức tạp, xa rời phần còn lại của toán học, và mô hình Cayley-Klein cho thấy nó xuất hiện một cách tự nhiên trên con đường cao tốc của hình học xạ ảnh, rất phổ biến vào thời điểm đó! Mặt khác, việc xem xét một mô hình, các khái niệm cơ bản của nó được xây dựng từ các hình ảnh của hình học Euclide quen thuộc, đã giúp thay thế cách trình bày tiên đề chính thức của hình học phi Euclide bằng một cách trình bày trực quan hơn.

Một mô hình khác được phát minh bởi Henri Poincaré, giải quyết các vấn đề phân tích thuần túy trong lý thuyết hàm số phức. Anh bất ngờ phát hiện ra rằng những phép biến đổi xuất hiện trong anh có thể được hiểu là sự dịch chuyển trong mặt phẳng Lobachevsky. Khám phá này đã gây ấn tượng mạnh mẽ với ông đến nỗi nhiều năm sau, ông nhớ lại điều đó đã xảy ra với mình như thế nào: “dường như không có bất kỳ ý nghĩ nào trước đó” khi ông leo lên bậc của một chiếc xe buýt trong chuyến du ngoạn đến Coutances. Mười năm sau, Poincaré đã có một sự bổ sung đáng chú ý cho mô hình của mình - ông đã đặt nền tảng “vật lý” cho nó. Bài viết này dành riêng cho câu chuyện về mô hình Poincaré.

Du ngoạn vào vật lý

Các khái niệm hình học của chúng ta có tiền đề vật lý. Ví dụ, chúng ta cảm nhận các tia sáng là những đường thẳng. Một tia sáng đi về phía chúng ta tiếp tục xuất hiện thẳng, ngay cả khi nó bị khúc xạ trên đường đi (ví dụ, đi vào nước từ không khí). Để xua tan ảo tưởng này, bạn cần tiến hành một thí nghiệm hoặc quan sát những gì đang xảy ra từ bên ngoài.

Cơm. 1

Chúng ta có một môi trường không đồng nhất về mặt quang học ở nửa mặt phẳng trên ( $y\gt0$ ), trong đó tốc độ ánh sáng thay đổi theo định luật $c(x,y)=y$ (bất kể hướng của tia sáng). Theo nguyên lý Fermat, đường đi của ánh sáng giữa hai điểm là đường đi mà ánh sáng cần thời gian truyền đi ngắn nhất có thể. Trong môi trường của chúng ta (nơi $c(x,y)=y$ ) ánh sáng giữa hai điểm sẽ truyền dọc theo những đường cong như vậy $L$ (Hình 1), do đó
$\dfrac{\sin\alpha(y)}y=k,\tag1$
trong đó $\alpha(y)$ là góc mà tiếp tuyến vẽ với $L$ tại điểm có tọa độ $y$ tạo thành với đường thẳng đứng; $k$ là một số cố định cho tất cả các điểm của đường cong $L$ . Rõ ràng là điều kiện (1) được thỏa mãn bởi tất cả các đường tròn có tâm nằm trên trục $x$ (tức là vuông góc với trục này); đối với mỗi đường tròn như vậy $k=\dfrac1r$ , trong đó $r$ là bán kính của nó. Với $k=0$ chúng ta có được các đường thẳng đứng. Có thể chứng minh rằng không có đường cong nào khác thỏa mãn điều kiện (1); Ngoài ra còn có một lời giải thích vật lý cho điều này (ví dụ: ánh sáng truyền từ một điểm nhất định theo một hướng nhất định dọc theo một đường đi).

Các đường tròn vuông góc với trục $x$ và các đường thẳng đứng (hay nói đúng hơn là các phần của chúng nằm ở nửa mặt phẳng trên) sẽ đóng vai trò chính trong câu chuyện của chúng ta.

“Poincaria” và hình học của nó

Thế giới Poincaré (hãy gọi nó để vinh danh người tạo ra nó Poincaria) là nửa mặt phẳng trên $\{(x,y){,}~y\gt0\}$ không có ranh giới $y=0$ (điều này rất quan trọng!). Các sinh vật sinh sống ở Poincaria (Poincarian) được coi là hình bán nguyệt phía trên “thẳng” với tâm nằm trên trục $x$ (không có đầu!) và các tia thẳng đứng (Hình 2). Chúng ta sẽ gọi những dòng này là n-dòng. Các đường thẳng P đối với Poincarian dường như là vô hạn (ánh sáng truyền dọc theo chúng trong thời gian không giới hạn) và các điểm cuối của các đường thẳng p, giống như toàn bộ trục của $x$ -s, là vô hình. Vì vậy, người Poincaria tin rằng Poincaria của họ là không giới hạn ở mọi hướng. Hãy gọi các điểm vô hình của đường n là điểm ở vô cực; đối với một tia, chúng ta sẽ coi điểm $\infty$ (vô cực) là một trong những điểm ở xa vô cùng của nó. Đường P được xác định duy nhất bởi một cặp điểm cách nhau vô hạn (tại sao?); vì vậy chúng ta sẽ phân biệt chúng và ký hiệu chúng bằng $L(\alpha,\beta)$ , trong đó $\alpha$ , $\beta$ là số thực (một trong số chúng có thể là $\infty$ ) - tọa độ của các điểm xa vô tận trên trục $x$ .

Cơm. 2

Chúng ta hãy thử cùng với các Poincarian xây dựng hình học cho không gian của họ. Giống như chúng ta, khi sống trong không gian Euclide, một số phát biểu có vẻ hiển nhiên đối với những người theo thuyết Poincarian; họ chấp nhận chúng mà không cần bằng chứng (tiên đề) và từ đó suy ra những phát biểu phức tạp hơn (định lý). Đối với chúng tôi, nhìn từ bên ngoài vào Poincaria, tất cả các phát biểu này sẽ khác với Poincaria (ví dụ, hình bán nguyệt hoặc tia sáng đối với chúng tôi là thẳng!), vì vậy chúng tôi sẽ “dịch” các công thức của Poincaria sang ngôn ngữ Euclide “thô tục” của chúng tôi và chứng minh điều đó theo cách riêng của chúng tôi.

Ví dụ, người Poincarian biết rằng một đường thẳng n đi qua hai điểm khác nhau và hơn nữa, nó là điểm duy nhất. Đối với chúng ta, điều này có nghĩa là qua hai điểm khác nhau của nửa mặt phẳng có một hình bán nguyệt đi qua vuông góc với trục $x$ hoặc một tia thẳng đứng (chứng minh điều đó!); xem Hình 2. Lưu ý rằng cách giải thích vật lý của phát biểu này, bao gồm thực tế là ánh sáng giữa hai điểm truyền dọc theo một đường duy nhất, là giống nhau đối với các nhà Poincarian và đối với chúng ta (tuy nhiên, đối với hình học, cách giải thích này không có sức thuyết phục rõ ràng). Không khó để xác minh rằng trong Poincaria tất cả các tiên đề của hình học Euclide đều đúng về vị trí tương đối của các điểm và đường thẳng cũng như thứ tự của các điểm trên một đường thẳng. (Để làm quen với Poincaria, hãy hiểu n đoạn, n nửa mặt phẳng trong đó đường n chia Poincaria sao cho n đoạn thẳng nối các điểm trong một n nửa mặt phẳng không cắt đường biên mà n đoạn nối các điểm ở các n nửa mặt phẳng khác nhau cắt nhau; vẽ n tam giác, n đa giác; nghĩ về n-lồi, nếu biết về “thông thường” độ lồi, Hình 3, a và b sẽ giúp bạn.

Cơm. 3

Sự khác biệt giữa hình học Poincaria và hình học Euclide được bộc lộ khi xét vị trí tương đối của một cặp n đường thẳng. Chúng ta đã biết rằng hai đường thẳng n khác nhau có thể cắt nhau nhiều nhất tại một điểm. Nếu chúng không giao nhau thì chúng có điểm chung ở vô cực (vô hình!) hoặc không có điểm chung kể cả ở viền vô hình. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta sẽ gọi n-dòng như vậy là đường song song, và trong trường hợp thứ hai - siêu song song. Nếu có một đường thẳng $L(\alpha,\beta$ ), thì qua một điểm bên ngoài nó chỉ đi qua hai đường thẳng $L(\alpha,\beta)$ n song song (tương ứng với các điểm ở xa vô cùng $\alpha$ và $\beta$ , tương ứng; Hình 4) và vô số các đường siêu song song nằm giữa các đường vĩ tuyến. Do đó, ở Poincaria, tiên đề về sự tương đương là không công bằng (tuy nhiên, đối với chúng tôi, những người quan sát, điều này không có gì đáng ngạc nhiên - suy cho cùng, những người theo Poincaria không biết rằng những tiên đề “thẳng” của họ là “không có thật”!); điều này cho phép chúng ta hy vọng rằng hình học Poincaria sẽ trở thành hình học Lobachevsky.

Cơm. 4

Điều chính chúng ta cần làm bây giờ là xác định khoảng cách và độ dịch chuyển trong Poincaria.

Khoảng cách và chuyển động

Từ quan điểm của quang học, cách tự nhiên nhất là lấy khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ ở Poincaria là thời gian mà ánh sáng truyền từ điểm $A$ đến điểm $B$ : khi đó các đường thẳng n sẽ là đường ngắn nhất giữa các điểm nằm trên chúng. Từ những cân nhắc vật lý, khoảng cách $\rho(A,B)$ được xác định theo cách này có các tính chất thông thường của khoảng cách Euclide:

$\rho(A,B)=\rho(B,A)$ ;
nếu $A$ , $B$ , $C$ nằm trên cùng một đường thẳng n và $B\in[AC]$ thì $\rho(A,B)+\rho(B,C)=\rho(A,C)$ (ánh sáng truyền từ $A$ đến $C$ dọc theo đường n và sẽ đi qua điểm $B$ );
đối với mọi điểm $A$ , $B$ , $C$ : $\rho(A,B)+\rho(B,C)=\rho(A,C)$ - bất đẳng thức tam giác, và đẳng thức chỉ xảy ra khi $B\in[AC]$ (nếu bất đẳng thức này không được thỏa mãn thì ánh sáng sẽ cần ít thời gian hơn để truyền dọc theo đường thẳng p $ABC$ hơn là truyền dọc theo đường thẳng n $AC$ - cách nhanh nhất, không thể có được).

Đối với những người Poincarian, khoảng cách được giới thiệu $\rho$ là chính (lưu ý rằng liên quan đến khoảng cách này, ánh sáng truyền đi với tốc độ đơn vị) và họ không có lý do gì để biểu thị $\rho$ theo bất kỳ thứ gì khác; Việc chúng ta biểu thị $\rho$ thông qua khoảng cách Euclide là điều tự nhiên. Điều này không hề dễ dàng: bạn phải xử lý sự chuyển động không đều của ánh sáng và để tính thời gian ánh sáng tiêu tốn, bạn cần tính tích phân. Vì vậy, chúng tôi chỉ trình bày phần cuối cùng đáp số:
$\rho(A,B)=\ln\dfrac{r'+r}{r'-r},\tag2$
trong đó $r$ là khoảng cách Euclide giữa các điểm $A$ và $B$ , $r'$ là khoảng cách Euclide giữa điểm $A$ và điểm $B'$ , đối xứng với điểm $B$ so với trục $x$ ; logarit được lấy về cơ số $e$ (với một cơ số khác của logarit, chúng ta nhận được $\rho$ cho đến một hệ số không đổi). Khoảng cách Euclide đáng chú ý ở chỗ có nhiều phép biến đổi mặt phẳng bảo toàn nó; Những biến đổi như vậy được gọi là chuyển động. Chúng ta hãy xem các phép dịch chuyển trông như thế nào trong Poincaria (n-translations) - các phép biến đổi bảo toàn $\rho$ , và do đó biến đổi n dòng thành n dòng.

Hãy bắt đầu với các phép biến đổi không để lại một điểm nào. Trước hết, đây là những bản dịch song song thông thường dọc theo trục $x$ : $T_a(x,y)=(x+a,y)$ . Những lần truyền song song này bảo toàn cả khoảng cách Euclide và tốc độ ánh sáng $c(x,y)=y$ , và do đó, thời gian ánh sáng cần để truyền giữa hai điểm $A$ và $B$ , tức là khoảng cách n $\rho(A,B)$ , và tất nhiên, n dòng được chuyển đổi thành n dòng. Mặt khác, đồng âm $F_b(x,y)=(bx,by)$ , $b\gt0$ , thay đổi tỷ lệ cả khoảng cách Euclide và tốc độ ánh sáng $c(x,y)$ , cũng không làm thay đổi thời gian ánh sáng sử dụng, tức là khoảng cách n $\rho(A,B)$ . Vì vậy, những gì đối với chúng ta dường như là một sự đồng nhất (với tâm nằm trên trục $x$ -s), đối với những người theo Poincarian dường như là sự dịch chuyển. Sử dụng n chuyển động được chỉ định, bạn có thể dịch bất kỳ điểm nào sang bất kỳ điểm nào. Ví dụ: điểm $(x_0;y_0)$ chuyển đến điểm $(0;1)$ với chuyển động n $\left(\dfrac{x-x_0}{y_0},\dfrac y{y_0}\right)$ . Về các độ dịch chuyển n được giới thiệu - hãy gọi chúng là n-shifts - n-đường thẳng chia thành hai loại: hình bán nguyệt có thể được dịch sang nhau một cách riêng biệt và các tia riêng biệt (tại sao?).

Bây giờ chúng ta hãy giải thích cách sử dụng n-shift và các thuộc tính của khoảng cách n được giới thiệu $\rho$ , chúng ta có thể đơn giản thu được công thức (2), biểu thị $\rho$ thông qua khoảng cách Euclide, trong trường hợp cụ thể khi cả hai điểm $A$ và $B$ đều nằm trên trục $y$ : $A=(0;y_1)$ , $B=(0;y_2)$ . Hãy đặt $\rho(A,B)=\phi(y_1,y_2)$ và tìm dạng của hàm $\phi$ . Vì $\rho$ được bảo toàn theo các đồng đẳng Euclide tập trung ở $O$ , nên $\phi(by_1,by_2)=\phi(y_1,y_2).\tag{*}$

Ngoài ra, nếu $C=(0;y_3)$ là điểm nóng lên trên trục $y$ , thì nhờ những gì đã nói ở trên
$\phi(y_1,y_2)+\phi(y_2,y_3)=\phi(y_1,y_3).\tag{**}$
Theo (*)
$\phi(y_1,y_2)=\psi{\left(\dfrac{y_1}{y_2}\right)}=\psi(z_1),\quad \phi(y_2,y_3)=\psi{\left(\dfrac{y_2}{y_3}\right)}=\psi(z_2),\quad \phi(y_1,y_3)=\psi{\left(\dfrac{y_1}{y_3}\right)}=\psi(z_3).$

Xét quan hệ (**) và ba đẳng thức cuối cùng, ta thu được
$\psi(z_1\cdot z_2)=\psi(z_1)+\psi(z_2),$
do đó, với giả định rằng hàm $\psi$ đủ “tốt” (xem bài viết của A. Lopshitz “Phương trình hàm”, «Kvant», 1975, số 1), $\psi(z)=k\ln z$ , trong đó $k$ là hệ số không đổi được tính trực tiếp.

Độ dịch chuyển n tìm thấy vẫn chưa đủ: chúng ta không có các phép biến đổi mà nhờ đó chúng ta có thể biến đổi n đường thẳng thuộc một loại (hình bán nguyệt) thành đường thẳng n thuộc loại khác (tia). Để làm điều này, hãy thêm n-đối xứng tương ứng với n dòng. Đối với các tia, đây là sự đối xứng trục thông thường, và đối với hình bán nguyệt thì đó là sự đảo ngược. (Ví dụ: đối xứng n đối với đường thẳng n $L(-1,1)$ là nghịch đảo đối với đường tròn có tâm $O=(0;0)$ bán kính 1; lấy một điểm $A$ , khác tâm $O$ , đến một điểm $A'$ nằm trên tia OA sao cho $|OA|\cdot|OA'|=1$ ). Chúng ta biết rằng trong quá trình đảo ngược, hình tròn và đường thẳng biến thành hình tròn hoặc đường thẳng và giá trị của các góc được giữ nguyên. Trong ngôn ngữ Poincaria, điều này có nghĩa là, ví dụ, với n đối xứng đối với n-line $L(-1,1)$ , n-line $L(\alpha,\beta)$ đi vào n-line $L{\left(\dfrac1\alpha,\dfrac1\beta\right)}$ . Cụ thể, n dòng $L(\alpha,0)$ , là hình bán nguyệt cho $\alpha\ne\infty$ , được chuyển thành n dòng $L{\left(\dfrac1\alpha,\infty\right)}$ , là các tia. Vì vậy, n đối xứng đưa Poincaria vào chính chúng và n đường đi vào n đường. Nó được kiểm tra riêng (chúng tôi bỏ qua kiểm tra này) rằng n đối xứng không thay đổi n khoảng cách $\rho$ . (Tuy nhiên, ở Poincaria, bất kỳ phép biến đổi nào biến n đường thành n đường đều bảo toàn $\rho$ (không có sự đồng nhất nào ở đây); đây là điểm khác biệt quan trọng nhất giữa hình học Lobachevsky và hình học Euclid.)

Độ dịch chuyển n có thể thu được bằng cách kết hợp n dịch chuyển với n đối xứng đã đủ để biến đổi bất kỳ đường n nào thành đường n bất kỳ; Hơn nữa, bất kỳ điểm nào của n tia đầu tiên đều có thể kết hợp với một điểm đã cho của tia thứ hai, và bất kỳ tia n nào với một tia n khác (hãy chứng minh điều đó!). Điều này có nghĩa là n chuyển động này có thể kết hợp bất kỳ n đoạn nào có độ dài n bằng nhau và chúng ta nhận được rằng các đoạn đó là đồng dạng n. Có thể chứng minh rằng tất cả các chuyển vị n đều giảm xuống mức được mô tả.

Cơm. 5

Cơm. 6. $\pi-(\alpha+(\beta+\delta)+\gamma)=$ $=[\pi-(\alpha+\beta+\nu)]+{}$ ${}+[\pi-(\mu+\delta+\gamma)]$

Với các phép dịch n, góc biến đổi thành một góc bằng với nó theo nghĩa Euclide (vì điều này đúng với các phép dịch song song, phép đồng âm, đối xứng trục và phép đảo ngược). Vì vậy, khái niệm sự đồng đẳng của các góc trong Poincaria không khác với Euclide. Khi tính đến trường hợp này, các nhà Poincarian, giống như chúng ta, sẽ chứng minh hai dấu hiệu bằng nhau của các tam giác: theo hai cạnh và góc xen giữa chúng, và theo một cạnh và hai góc kề với nó. Tình hình phức tạp hơn với việc chứng minh tiêu chí thứ ba về sự bằng nhau của các tam giác - về ba cạnh: xét cho cùng, chứng minh của chúng ta về tiêu chí này sử dụng thực tế là các đường tròn cắt nhau ở nhiều nhất hai điểm. May mắn thay, hóa ra n đường tròn trùng với các đường tròn Euclide (hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng trên), chỉ có tâm n của chúng không trùng với tâm thông thường (đây là một thực tế khá khó khăn), và do đó mọi thứ đều đúng với dấu đồng đẳng ba cạnh trong Poincaria. Tuy nhiên, ở Poincaria còn có một dấu hiệu khác về sự đồng dạng của các tam giác: các tam giác có các cặp góc bằng nhau thì bằng nhau! (Dịch câu này sang ngôn ngữ hình học Euclide và cố gắng chứng minh nó; xem Hình 5 và bài toán 4.) Điều này có nghĩa là diện tích của một tam giác ở Poincaria (giống như chính tam giác) được xác định bởi các giá trị của các góc $\alpha$ , $\beta$ và $\gamma$ . Trong hình học lobachevsky, tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn $\pi$ . Giá trị $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$ được gọi là khuyết tam giác. Có thể thấy rằng khuyết tam giác hoạt động giống như một diện tích; chính xác hơn: nếu một tam giác nhất định bị cắt bởi một đường thẳng đi qua đỉnh của nó thì diện tích của nó sẽ bằng tổng diện tích của các tam giác thu được; điều tương tự cũng đúng đối với khuyết tật của bất kỳ tam giác nào: nó bằng tổng các khuyết tật của các tam giác thu được (Hình 6). Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng diện tích của tam giác trong hình học lobachevsky tỷ lệ với khuyết tật $\pi-\alpha-\beta-\gamma$ .

Một số bài toán

Đảm bảo rằng tất cả n đường thẳng vuông góc với đường n cố định là siêu song song (Hình 7).
Chứng minh rằng đối với một cặp siêu song song có một đường thẳng n vuông góc chung duy nhất (Hình 8, a và b).

Cơm. 7

Cơm. 8

Kiểm tra xem các đường phân giác n của tam giác n có cắt nhau tại một điểm - tâm của đường tròn n nội tiếp hay không. Hãy nghĩ về những gì có thể nói về n-đường tròn ngoại tiếp - nó có luôn tồn tại không (xem Hình 9: trong hình này, n-tam giác $A_iBC_i$ là cân, với trục đối xứng $L(0,\infty)$ ; $i=1$ , 2, 3; n-vuông góc với các cạnh của n-tam giác này vẽ tại tâm n của chúng được hiển thị bằng màu xanh lam)?

Cơm. 9

Cơm. 10

Đảm bảo rằng tam giác n tù (nhưng không nhọn) có thể có các đường cao siêu song song (trong Hình 10; các cạnh của tam giác được tô màu xanh lam và các đường cao của nó được tô màu đỏ). Bạn có thể nói gì về số trung vị?
Chứng minh rằng tam giác cân n có các góc đáy bằng nhau và đường phân giác của góc ở đỉnh là đường trung tuyến và đường cao. Chứng minh trong trường hợp này tiêu chuẩn thứ tư về sự đồng dạng p của các tam giác.
Đặt $L(\alpha,\beta)$ , $L(\alpha,\beta_1)$ , $L(\alpha,\beta_2)$ là ba đường thẳng n song song (Hình 11). Chứng minh rằng có một phép dịch n lấy $L(\alpha,\beta)$ vào chính nó và $L(\alpha,\beta_1)$ vào $L(\alpha,\beta_2)$ .

Theo đó, trong hình học của lobachevsky không thể xác định được khoảng cách giữa các điểm song song.

Cơm. 11

Cơm. 12

Nếu n-line $L_1$ cắt n-line $L_0$ hoặc siêu song song với nó, thì nó chiếu lên $L_0$ dưới dạng một khoảng n hữu hạn; nếu $L_1$ song song với $L_0$ thì hình chiếu là tia n.
Đặt đường thẳng n $L_0$ vuông góc với $L_1$ và đặt $A$ là một điểm trên $L_0$ , cách $L_1$ một khoảng $x$ (Hình 12). Chúng ta hãy vẽ qua điểm $A$ một đường thẳng n $M_x$ , song song với $L_1$ và biểu thị bằng $\phi(x)$ giá trị của góc mà đường thẳng n $M_x$ tạo thành với $L_0$ . Tìm $\phi(x)$ và chỉ ra rằng $\phi(x)\to\dfrac\pi2$ ở $x\to0$ và $\phi(x)\to0$ ở $x\to\infty$ .

Hàm $\phi(x)$ được gọi là hàm lobachevsky; Hàm này kết nối các giá trị của góc và độ dài, và vì đối với các góc có đơn vị đo tuyệt đối - góc đầy đủ, nên trong hình học Lobachevsky có một đơn vị đo độ dài tuyệt đối như vậy (nó được chuyển từ các góc bằng hàm $\phi$ ). Trong hình học Euclide có $\phi(x)\equiv\dfrac\pi2$ , và do đó không có đơn vị đo chiều dài tuyệt đối tương tự.

Chất rắn ở Poincaria

Cho đến nay, trong tất cả các cân nhắc về hình học, chúng ta chỉ được hướng dẫn bởi các tiền đề quang học. Ở đây cần phải nhấn mạnh rằng hình học của Poincaré hóa ra là phi Euclide không phải vì Poincaré có các định luật quang học khác với chúng ta: chúng ta xây dựng (mô hình) Poincaré trong thế giới của riêng mình và không thay đổi các định luật vật lý! Ảo ảnh quang học của người Poincarian được giải thích bởi tính không đồng nhất về mặt quang học trong thế giới của họ.

Tất nhiên, mặc dù, cách thực hiện đường thẳng sáng nhất là chùm sáng, chúng ta vẫn không đo độ dài bằng thời gian truyền ánh sáng - vì mục đích này, chúng ta có thước kẻ. Có lẽ đáng để mua một cây thước và một cây đo điểm. Tất nhiên, người Poincarian sẽ làm thước “p-thẳng”; nhưng nếu một Poincarian di chuyển một cây thước như vậy từ nơi này sang nơi khác, thì đối với anh ta nó sẽ không còn có vẻ “thẳng” (s-straight). Theo quan điểm của Poincian, khi một vật rắn chuyển động, hình dạng của nó sẽ thay đổi. Người Poincian nên phản ứng thế nào với điều này? Rõ ràng là khái niệm vật rắn bằng cách nào đó phải được liên kết với hình học Poincarian, nếu không thì người Poincarian sẽ phải tin vào sự tồn tại của các lực siêu nhiên. Henri Poincaré đã nghĩ ra một cách tài tình để thoát khỏi tình huống tưởng chừng như vô vọng này: ông đã lợi dụng hiện tượng giãn nở nhiệt của các vật thể.

Giả sử tất cả các vật thể ở Poincaria có cùng hệ số giãn nở nhiệt và độ dẫn nhiệt bằng 0, đồng thời kích thước của các vật thể tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối $T$ . (Lưu ý rằng trong những điều kiện này, người Poincarian không thể đo nhiệt độ bằng nhiệt kế thông thường, vì phép đo như vậy liên quan đến việc so sánh sự giãn nở của các vật thể với các hệ số giãn nở nhiệt khác nhau.) Một vật rắn được đặc trưng bởi thực tế là khi chuyển động trong một môi trường có nhiệt độ không đổi, khoảng cách $r(A,B)$ (Euclide) giữa hai điểm bất kỳ của nó $A$ và $B$ được bảo toàn. Nhưng nếu một vật chuyển động từ vùng có nhiệt độ $T_1$ đến vùng có nhiệt độ $T_2$ thì khoảng cách giữa các điểm của nó sẽ được nhân với $\dfrac{T_2}{T_1}$ , nói cách khác, tỷ lệ $\dfrac{r(A,B)}T$ sẽ giữ nguyên. Điều gì sẽ xảy ra nếu cơ thể ngay lập tức ở trong một khu vực có nhiệt độ khác nhau? Giá trị nào sẽ được duy trì trong những điều kiện này? Ví dụ, giả sử một vật rắn đủ lớn chuyển động trong một môi trường mà ở một bên của một đường nhất định $m$ nhiệt độ là $T_1$ , và mặt khác - $T_2$ ; gọi $A$ là một điểm của vật nằm trong vùng có nhiệt độ $T_1$ , và $B$ là một điểm của vật nằm trong vùng có nhiệt độ $T_2$ . Hãy lấy một đường đứt nét có các điểm cuối tại $A$ và $B$ và đỉnh $C$ trên đường thẳng $m$ . Chúng ta hãy biểu thị $|AC|=r_1$ , $|CB|=r_2$ và xem xét giá trị $\dfrac{r_1}{T_1}+\dfrac{r_2}{T_2}$ . Hóa ra khi di chuyển trong môi trường nhiệt độ như vậy, giá trị nhỏ nhất của đại lượng $\dfrac{r_1}{T_1}+\dfrac{r_2}{T_2}$ được bảo toàn, lấy dọc theo tất cả các đường đứt nét có đỉnh nằm trên đường thẳng $m$ và kết thúc tại hai điểm cho trước $A$ và $B$ ! Tiếp theo, chúng ta có thể lặp lại chính xác lý do tương tự như khi áp dụng nguyên lý Fermat, chẳng hạn, cho đạo hàm của định luật khúc xạ Snell, và chúng ta sẽ thu được rằng giá trị nhỏ nhất mong muốn sẽ tương ứng với một đường đứt nét mà $\dfrac{\sin\alpha_1}{T_1}=\dfrac{\sin\alpha_2}{T_2}$ , trong đó $\alpha_i$ là góc của liên kết tương ứng của đường đứt nét với pháp tuyến với đường thẳng $m$ .

Hãy để bây giờ ở Poincaria tại điểm $(x;y)$ nhiệt độ tuyệt đối $T(x,y)=y$ được duy trì liên tục. Sau đó, do chế độ nhiệt độ đã chọn, trong quá trình chuyển động của các vật thể rắn (theo nghĩa của chúng ta!), không phải khoảng cách Euclide mà là khoảng cách n sẽ được bảo toàn, và theo quan điểm của các nhà Poincarian (xét cho cùng, họ không cảm nhận được sự chênh lệch nhiệt độ!) thì kích thước của một vật thể chuyển động trong một môi trường như vậy được bảo toàn, tức là nó là chất rắn n. Tất cả những gì còn lại cần quan tâm là tất cả các vật thể đều có nhiệt dung nhỏ và chuyển động chậm đến mức ở trạng thái cân bằng nhiệt, và sự thay đổi nhiệt độ là không thể nhận thấy đối với người Poincarian. Kết quả là, người Poincarian không những không nhìn thấy biên giới của thế giới mà còn không bao giờ có thể chạm tới nó: khi đến gần biên giới, nhiệt độ có xu hướng bằng 0 tuyệt đối, và do đó kích thước của các vật thể sẽ có xu hướng bằng 0, mà không thay đổi tỷ lệ giữa các vật thể. Henri Poincaré đã cố gắng loại trừ mọi khả năng để những người Poincaré biết rằng thế giới phi Euclide của họ chỉ đơn thuần được xây dựng trong thế giới Euclide của chúng ta. Nhưng liệu anh có lường trước được mọi chuyện? Nếu bạn phát hiện ra bất kỳ tính năng Poincarian nào chưa được khám phá, vui lòng viết thư cho chúng tôi về nó.