Bài toán M371—M375; F383—F387

38

Bài toán
M371—M375;F383—F387

Lời giải bài toán từ số báo này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 5 năm 1976 đến địa chỉ: 113035, Moscow, Zh-35, st. B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant». Viết lên phong bì lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant»” M371 hoặc “…F383”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới vui lòng gửi trong phong bì riêng. Vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Nan khó hơn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

M371. Mỗi ô của bàn cờ chứa một số nguyên từ 1 đến 64, với các số khác nhau ở các ô khác nhau. Trong một câu hỏi, chỉ ra tập hợp trường bất kỳ, hãy tìm ra tập hợp (bộ) số trong các trường này. Trong số câu hỏi ít nhất bạn có thể tìm ra số trong mỗi ô là bao nhiêu?

S. Fomin

M372. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện $ACB \geq 120^\circ$ là cần và đủ để bất đẳng thức $|AP| + |BP| + |CP| \geq |AC| + |BC|$ thỏa mãn với mọi điểm P trong mặt phẳng.

P. Khaidukov

M373. a) Mọi số tự nhiên (viết dưới dạng hệ thập phân) đều được chia thành hai lớp. Chứng minh rằng bất kỳ phân số thập phân vô hạn nào cũng có thể được cắt thành các phần hữu hạn sao cho tất cả chúng, ngoại trừ phần đầu tiên, đều thuộc cùng một lớp.
b) Giống nhau bài toán, nhưng các số tự nhiên không được chia thành hai mà thành nhiều lớp.

M374. Đặt $a, b$ và $c$ là các số dương, $a > c$ và $b > c$. Chứng minh bất đẳng thức
$$\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$$
A. Reznikov

M375. Bên trong khối đa diện lồi của tập 1, các điểm $3 \cdot (2^n - 1)$ được đánh dấu.
Chứng minh rằng có thể cắt từ nó một khối đa diện lồi có thể tích $(1/2)^n$ không chứa bất kỳ điểm nào được đánh dấu bên trong nó.

B. Makeev

F383. Một chuỗi có khối lượng $m$ và chiều dài $l$ được đặt trên hình nón tròn chính có góc ở đỉnh $2\alpha$. Hình nón cùng với sợi dây quay với vận tốc góc $\omega$ quanh một trục thẳng đứng trùng với trục đối xứng của hình nón. Mặt phẳng của dây xích nằm ngang. Tìm lực căng của dây xích.

F384. Hai hạt 1 và 2 tương tác với nhau với khối lượng lần lượt là $m_1$ và $m_2$ khoảng