Hình bí ẩn số 51

34

A. Panov

Hình bí ẩn số 51

Cắt một hình vuông bằng bìa cứng và chia nó thành nhiều phần như trong Hình 1 - bạn sẽ có được câu đố “tangram”, được phát minh ra cách đây hàng nghìn năm ở Trung Quốc và hiện được biết đến trên toàn thế giới. Sử dụng tất cả bảy yếu tố của tangram, bạn có thể tạo ra nhiều hình dáng trang nhã; cố gắng sáng tác, chẳng hạn như “một người phụ nữ có đầu” (Hình 2).

Nhưng hình vuông ban đầu có thể được cắt theo cách khác, chẳng hạn như trong Hình 3. Đây chính xác là cách nó được chia trong câu đố “Pythagoras”, được sản xuất ở nước ta. Hình 4 thể hiện hình số 51 từ hướng dẫn dành cho mẫu vật Pythagoras, được chế tạo ở Kuznetsk; Các hướng dẫn gợi ý tạo hình này từ bảy yếu tố của Pythagoras.

Tôi đã cố gắng làm hình số 51 trong một thời gian dài. Điều gần nhất mà tôi đã thành công được thể hiện ở Hình 5. Cuối cùng, tôi nghi ngờ: liệu có thể làm được điều này không?

Cuốn sách “Câu đố toán học và giải trí” của M. Gardner (M., “Mir”, 1971) đã giúp tìm ra đáp số. Chúng ta. 329 nói về cách giải quyết bài toán để liệt kê các đa giác lồi có thể bao gồm bảy phần tử tangram:

“Hai nhà toán học Trung Quốc, Fu Tren-wang và Chuan Chi-hsun, đã xuất bản một bài báo vào năm 1942 trong đó họ đã xem xét bài toán này. Cách tiếp cận của họ đối với lời giải rất có sức thuyết phục và dí dỏm. Mỗi gót của các phần lớn của tangram (hai hình tam giác lớn, một hình tam giác nhỏ hơn, một hình vuông và một hình bình hành) có thể được chia thành các hình tam giác vuông đều, bằng nhau với hai hình tam giác nhỏ nhất. Tổng cộng, bạn sẽ có được 16 tam giác vuông đều hoàn toàn giống nhau, bằng cách tính toán tinh tế, các tác giả đã chỉ ra rằng từ 16 tam giác này có thể dựng được 20 đa giác lồi khác nhau (các đa giác biến đổi thành nhau khi quay và phản xạ không được coi là khác nhau).

36

có chủ quyền, bạn cần chỉ ra thêm 4 số nguyên không âm $x, y, z$ và $w$ - độ dài chân của các góc cần cắt (xem Hình 8). Biết sáu số này, bạn có thể dễ dàng tính diện tích của một đa giác:

$$S = ab - \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2 + w^2).$$

Đối với đa giác loại trừ phải trùng với tổng diện tích của 16 hình tam giác vuông đều có cạnh dài 1: $S = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.

Vì vậy, bài toán của chúng ta đã trải qua một sự biến đổi đáng kinh ngạc: từ một bài toán hình học thuần túy về việc ghép các đa giác, nó đã trở thành một phép tính số học thuần túy bài toán về việc tìm các phương trình số nguyên không âm lời giải

$$2ab - 16 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2. \quad (1)$$

Tất nhiên, trong trường hợp này, tổng chiều dài của các chân của các góc bị cắt liền kề với một cạnh của hình chữ nhật không được lớn hơn chiều dài của cạnh này. Nói cách khác, các số $a, b, x, y, z$ và $w$ phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung

$$x + y \leq a, y + z \leq b, z + w \leq a, w + x \leq b. \quad (2)$$

Từ bây giờ, hình học và số học sẽ song hành cùng nhau.

Trước hết, chúng ta hãy tìm hiểu kích thước của hình chữ nhật có thể là bao nhiêu.

Một mặt, diện tích của nó phải không nhỏ hơn diện tích của đa giác độc quyền:

$$ab \geq 8. \quad (3)$$

(Bất đẳng thức này dễ dàng thu được trực tiếp từ phương trình (1).)

Mặt khác, nếu bạn cắt bỏ các góc có tổng diện tích lớn nhất khỏi một hình chữ nhật thì diện tích của phần còn lại không được lớn hơn 8. Từ Hình 9 có thể thấy rằng tổng diện tích của các góc liền kề với một cạnh của hình chữ nhật nhỏ hơn diện tích của một tam giác vuông đều, hai chân của tam giác đó bằng cạnh này. Do đó, sẽ thu được một phần dư nhỏ (không trống) nếu các góc bị cắt khỏi hình chữ nhật như trong Hình 10, $a$ cho $a < b$ và như trong Hình 10, $b$ cho $a = b$. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta sẽ có một hình bình hành có diện tích ($b - a$) $a$, trong trường hợp thứ hai - một hình thang có diện tích $a - \frac{1}{2}$. Vì vậy, tại $a < b$

$$(b - a)a \leq 8, \quad (4)$$

và tại $a = b$

$$a - \frac{1}{2} \leq 8. \quad (5)$$

(Hãy thử rút ra những bất đẳng thức này từ điều kiện (1) và (2)!)

Có thể dễ dàng tìm thấy các cặp số tự nhiên ($a, b$) thỏa mãn bất đẳng thức (3) và (4) hoặc (3) và (5) bằng cách tìm kiếm đơn giản. Ví dụ: đối với $a = 1$, chúng tôi thấy rằng $b \geq 8$ và $b - 1 \leq 8$, tức là $b = 8$ hoặc 9, đối với $a = 2$, chúng tôi thấy rằng $b = 4$, 5 hoặc 6, v.v. Tổng cộng có 19 cặp như vậy: (1, 8), (1, 9), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6), (6, 7), (7, 7), (7, 8), (8, 8), (8, 9).

Đối với mỗi cặp này, theo phương trình (1), cần tìm tất cả các biểu diễn của số $2ab - 16$ dưới dạng tổng của bốn bình phương $x^2 + y^2 +$

37

+z2+w2, rồi kiểm tra các bất đẳng thức (2), hoặc vẽ hình chữ nhật a×b và tìm mọi cách cắt bỏ các góc để lại một đa giác có diện tích bằng 8.
(Nhân tiện, đối với một số trong 19 cặp (a, b), không thể tìm thấy các số x, y, z, w.) Kết quả của những phép tính như vậy được tóm tắt trong một bảng chứa danh sách tất cả 20 đa giác lồi

$$\begin{array}{cccccccc} a & b & x & y & z & w & T & \Pi \\ 1 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 9 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & + & + \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 2 & + & + \\ 2 & 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & + & + \\ 2 & 6 & 0 & 2 & 0 & 2 & + & + \\ 2 & 6 & 0 & 2 & 2 & 0 & + & + \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & + & + \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 0 & 1 & + & + \\ 3 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & + & + \\ 3 & 4 & 0 & 2 & 2 & 0 & + & + \\ 3 & 5 & 0 & 3 & 1 & 2 & + & + \\ 3 & 5 & 0 & 3 & 2 & 1 & + & + \\ 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & + & + \\ 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & + & + \\ 4 & 6 & 0 & 4 & 0 & 4 & + & + \\ 5 & 5 & 0 & 3 & 0 & 5 & + & + \\ 5 & 5 & 1 & 4 & 1 & 4 & + & + \\ 8 & 9 & 0 & 8 & 0 & 8 & + & + \\ \end{array}$$

Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

(Để bắt đầu, xem trang 32)

(Ryazan) 32; K. Knol (Odeska) 30; E. Kovalchik (Kyiv) 22, 33; M. Kreal (Donetsk) 32, 35; I. Bản sao (Karlovka) 28; D. Korshunov (Novosibirsk) 22, 23, 30, 32, 33; A. Kostok (Berdtseve) 22; K. Kokhas (Leningrad) 23, 32, 33; Yu. Kochetkov (Vinnitsa) 28; E. Kochkin (Volzhsky, vùng Volgograd) 32, 33; I. Kulyatsin (Sverdlovsk) 32; M. Lev (Sverdlovsk) 22; B. Leeb (Kelheim, Đức) 28, 30; M. Levkin (Dushanbe) 22, 23, 25, 28; D. Lokshin (Moscow) 32; O. Mazurov (Novosibirsk) 23; I. Markev (Moscow) 22, 23; A. Markovic (Belgrade, SFRY) 23, 25, 28, 35; O. Matveev (Sverdlovsk) 25; L. Naimark (Leningrad) 23; P. Cuối cùng (Krivoy Rog) 25; S. Nekrasov (Cherpovets) 25; A. Nenov (Pleven, Belarus) 22, 23; Yu. Nikolaevsky (Kharkov) 25; A. Olenko (Uman) 22, 25; D. Orlov (Vladimir) 22, 25; D. Persheev (Moscow) 23; K. Poraiko (Vinnitsa) 28, 35; A. Rodtsov (Moscow) 22, 23, 33; V. Romanov (Moscow) 22, 23, 33, 35; L. Rudy (Kirovsk, vùng Murmansk) 23, 25, 33, 35; E. Rukhlin (Vinnitsa) 28; V. Sadovsky (Tashkent) 23, 32, 33; A. Sviridov (Moscow) 25, 28, 32, 33, 35;

A. Semenov (Saratov) 23; F. Serzhenko (Zaporozhye) 25; P. Sefibekov (làng Kashkent DASSR) 32; O. Smirnov (Đảo) 23; B. Starobin (Severodonets) 32; S. Strukov (Voronezh) 22, 25, 28, 30, 32; A. Surkov (Leningrad) 23; I. Teretsak (Strazcke, Tiệp Khắc) 30; S. Tiptsov (Kyiv) 23, 25, 30; M. Titarenko (Vinnitsa) 35; H. Titarenko (Vinnitsa) 28; P. Ugrinovsky (Khmilnik) 25, 28; N. Fedin (Omsk) 25; B. Friedman (Moscow) 22, 33; S. Khirman (Kyiv) 23; L. Christoph (Sofia, Belarus) 32, 33; B. Khrytskov (Sevastopol) 23; S. Tsonev (Sofia, Belarus) 23, 25, 32; S. Chernyshev (Aleksaandrov) 32; B. Shabunin (Moscow) 23, 25; S. Shkarin (Moscow) 25, 28, 30; E. Shulman (Volgoda) 22; Y. Emus (làng Tyuki, ESSR) 25, 32; L. Erdets (Budaletst, Hungary) 22, 28, 33, 35; S. Yurovsky (Mytnits) 23, 25, 32, 33, 35.

Vật lý

Hầu hết độc giả gửi lời giải đều hoàn thành các bài toán F748, F754 và F761. Phần còn lại bài toán: O. Andreev (Kyiv) 59, 60; A. Babayan (Moscow) 49, 52, 56, 60, 62; L. Bayrak (Belgorod) 57; B. Baranov (Donetsk) 52, 55, 56, 59-62; Yu. Bril (Dnepropetrovsk) 50, 55—57, 59, 60; M. Broditsky (Kiinnev) 53; B. Budilov (Kirovo-Chepetsk) 55-57; B. Bulavas (Panevzys) 49,

(Tiếp theo trang 41)