Загадка фигуры № 51

34

А. Панов

Загадка фигуры № 51

Вырежьте из картона квадрат и разделите его на части так, как показано на рисунке 1,— вы получили головоломку «танграм», придуманную несколько тысячетей назад в Китае и известную ныне во всем мире. Используя все семь элементов танграма, можно сложить много изяшных фигурок; попробуйте составить, например, «женщину с ввером» (рис. 2).

No исходный квадрат можно разрезать и по-другому, например — как на рисунке 3. Именно так он разделен в головоломке «пифагор», выпускаемой в нашей стране. На рисунке 4 изображена фигура № 51 из инструкции к экземпляру пифагора, который изготовлен в г. Кузнецке; в инструкции предлагается составить эту фигуру из семи элементов пифагора.

Я долго пытался составить фигуру № 51. Самое близкое к ней из того, что мне удалось, показано на рисунке 5. В конце концов я засомневался: а можно ли это сделать?

Найти ответ помогла книга М. Гарднер «Математические головоломки и развлечения» (М., «Мир», 1971). На с. 329 рассывыется о том, как была решена задача перечисления выпуклых многоугольников, которые можно составить из семи элементов танграма:

«Два китайских математика, Фу Трен-ван и Чуань Чи-сюнь, в 1942 году опубликовали статью, в которой рассмотрели эту задачу. Их подход к решению был весом остроumen. Каждый из пяты больших частей танграма (два больших треугольника, один треугольник помещше, квадрат и параллелограмм) можно разбить на равноведенные прямоугольные треугольники, конгруэтные двум самым маленьким треугольникам. Всего при этом получится 16 совершенно одинаковых равноведенных прямоугольных треугольников. С помощью тонких расчудений авторы показали, что из этих 16 треугольников можно построить 20 различных выпуклых многоугольников (многоугольники, переходящие друг в друга при поворотах и отражениях, различными не считаются). Отсюда уже нетрудно доказать, что лишь 13 из найden-

36

государник, надо указать еще 4 целых неотрицательных числа $x, y, z$ и $w$ — длины катетов отрезаемых углов (см. рис. 8). Зная эти шесть чисел, легко вычислить площад многоугольника:

$$S = ab - \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2 + w^2).$$

Для исключых многоугольников она должна совпадать с суммарной площадью 16 равноведренных прямоугольных треугольников с катетами длины 1: $S = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.

Итак, наша задача претерпела удивительное превращение: из чистого геометрической задачи о составлении многоугольников она превращалась в чисто арифметическую задачу о нахождения неотрицательных целочисленных решений уравнения

$$2ab - 16 = x^2 + y^2 + z^2 + w^2. \quad (1)$$

При этом, конечно, надо еще, чтобы сумма длин катетов отрезаемых углов, прилегающих к одной стороне прямоугольника, была не больше длины этой стороны. Другими словами, числа $a, b, x, y, z$ и $w$ должны удовлетворять дополнительным условиям

$$x + y \leq a, y + z \leq b, z + w \leq a, w + x \leq b. \quad (2)$$

Дальше геометрия и арифметика будут идти рука об руку.

Прежде всего, выясним, какими могут быть размеры прямоугольника.

С одной стороны, его площад должа быть не меньше площади исключого многоугольника:

$$ab \geq 8. \quad (3)$$

(Это неравенство легко получить и пряmo из уравнения (1).)

С другой стороны, если отрезать от прямоугольника уголки наиболее общей площади, то площад остатка должна быть не больше 8. Из рисунка 9 видно, что суммарная площад углов, прилегающих к одной стороне прямоугольника, меньше площади равноведренного прямоугольного треугольника, катемы которого конгрузенты этой стороне. Поэтому маленький по площади (непустой) остаток получается, если отрезать уголки от прямоугольника как на рисунке 10, $a$ при $a < b$ и как на рисунке 10, $b$ при $a = b$. В первом случае у нас останется параллелограмм площади ($b - a$) $a$, во втором — трапеця площади $a - \frac{1}{2}$. Следовательно, при $a < b$

$$(b - a)a \leq 8, \quad (4)$$

а при $a = b$

$$a - \frac{1}{2} \leq 8. \quad (5)$$

(Попробуйте вывести эти неравенства из условия (1) и (2)!)

Пары натуральных чисел ($a, b$), удовлетворяющие неравенствам (3) и (4) или (3) и (5), легко найти простым перебором. Например, при $a = 1$ получим, что $b \geq 8$ и $b - 1 \leq 8$, то есть $b = 8$ или 9, при $a = 2$ найдем, что $b = 4$, 5 или 6 и т. д. Всего имеется 19 таких пар: (1, 8), (1, 9), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6), (6, 7), (7, 7), (7, 8), (8, 8), (8, 9).

Для каждой из этих пар нужно, согласно уравнения (1), найти все представления числа $2ab - 16$ в виде суммы четырех квадратов $x^2 + y^2 +$

37

+z²+w², а затем проверить неравенства (2), или наиссовать прямоугольник a×b и найти все способы отрезания углов, при которых остается многоугольник площади 8.
(Кстати, для некоторых из 19 пар (a, b) числа x, y, z, w подобрать не удается.) Результаты подобных расчетов суммированы в таблице, содержащей список всех 20 выпуклых многоугольников, которые

$$\begin{array}{cccccccc} a & b & x & y & z & w & T & \Pi \\ 1 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 9 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & + & + \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 2 & + & + \\ 2 & 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & + & + \\ 2 & 6 & 0 & 2 & 0 & 2 & + & + \\ 2 & 6 & 0 & 2 & 2 & 0 & + & + \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & + & + \\ 3 & 3 & 0 & 1 & 0 & 1 & + & + \\ 3 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & + & + \\ 3 & 4 & 0 & 2 & 2 & 0 & + & + \\ 3 & 5 & 0 & 3 & 1 & 2 & + & + \\ 3 & 5 & 0 & 3 & 2 & 1 & + & + \\ 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 4 & + & + \\ 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & + & + \\ 4 & 6 & 0 & 4 & 0 & 4 & + & + \\ 5 & 5 & 0 & 3 & 0 & 5 & + & + \\ 5 & 5 & 1 & 4 & 1 & 4 & + & + \\ 8 & 9 & 0 & 8 & 0 & 8 & + & + \\ \end{array}$$

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 32)

(Рязань) 32; К. Кнол (Одеска) 30; Е. Ковальчик (Киев) 22, 33; М. Креал (Донецк) 32, 35; И. Копылец (Карловка) 28; Д. Коршунов (Новосибирск) 22, 23, 30, 32, 33; А. Косток (Бердцеве) 22; К. Кохас (Ленинград) 23, 32, 33; Ю. Кочетков (Винница) 28; Е. Кочкин (Волжский Волгоградской обл.) 32, 33; И. Куляцин (Свердловск) 32; М. Лев (Свердловск) 22; Б. Лееб (Кельхайм, ФРГ) 28, 30; М. Левкин (Душанбе) 22, 23, 25, 28; Д. Локшин (Москва) 32; О. Мазуров (Новосибирск) 23; И. Маркев (Москва) 22, 23; А. Маркович (Белград, СФРЮ) 23, 25, 28, 35; О. Матвеев (Свердловск) 25; Л. Наймарк (Ленинград) 23; П. Наконецный (Кривой Рог) 25; С. Некрасов (Черповец) 25; А. Ненов (Плевен, НРБ) 22, 23; Ю. Николаевский (Харьков) 25; А. Оленко (Умань) 22, 25; Д. Орлов (Владимир) 22, 25; Д. Першеев (Москва) 23; К. Порайко (Винница) 28, 35; А. Родцовов (Москва) 22, 23, 33; В. Романов (Москва) 22, 23, 33, 35; Л. Рудый (Кировск Мурманской обл.) 23, 25, 33, 35; Е. Рухлин (Винница) 28; В. Садовский (Ташкент) 23, 32, 33; А. Свиридов (Москва) 25, 28, 32, 33, 35;

А. Семенов (Саратов) 23; Ф. Серженко (Запорожье) 25; P. Сефибеков (с. Кашкент ДАССР) 32; O. Смирнов (Остров) 23; B. Старобин (Северодонец) 32; C. Струков (Воронеж) 22, 25, 28, 30, 32; A. Сурков (Ленинград) 23; И. Терецак (Стражcke, ЧССР) 30; C. Типцов (Киев) 23, 25, 30; M. Титаренко (Винница) 35; H. Титаренко (Винница) 28; P. Угриновский (Хмельник) 25, 28; H. Федин (Омск) 25; B. Фридман (Москва) 22, 33; C. Хирман (Киев) 23; Л. Христоф (София, НРБ) 32, 33; B. Хрыцков (Севастополь) 23; C. Цонев (София, НРБ) 23, 25, 32; C. Чернышев (Алексаандров) 32; B. Шабунин (Москва) 23, 25; C. Шкарин (Москва) 25, 28, 30; E. Шульман (Волгода) 22; Y. Эмус (с. Тюки ЭССР) 25, 32; Л. Эрдец (Будалецт, ВНР) 22, 28, 33, 35; C. Юровский (Мытниц) 23, 25, 32, 33, 35.

Физика

Большинство читателей, приславших решения, справились с задачими Ф748, Ф754 и Ф761. Остальные задачи: O. Андреев (Киев) 59, 60; A. Бабаян (Москва) 49, 52, 56, 60, 62; Л. Байрак (Белгород) 57; B. Баранов (Донецк) 52, 55, 56, 59—62; Ю. Бриль (Днепропетровск) 50, 55—57, 59, 60; M. Бродицкий (Кииннев) 53; B. Будилов (Кирово-Чепецк) 55—57; B. Булавас (Паневжис) 49,

(Продолжение см. на с. 41)