Напечатано в 1982 году

56

Напечатно
в 1982 году

С Новым годом!
Годовшина замечательной статьи 3 2
Космическая весна человека 4 2
На орбите — новый музей 4 18
Народное образование в СССР 9 3

Пастухов Б. Верность ленинским заветам, делу партии 5 2
Прокофьев М. С новым учебным годом!
9 2

Гнеденко Б. Математика в СССР
Кикон И. Физика в Союзе Советских Социалистических Республик 11 2

Геллер Б., Брук Ю. Симеон Дени Пуассон 2 14
Гнеденко Б. Михаил Васильевич Острогадский 10 5
Лишевский В. Даниил Бернулли 3 7
Френкель В. Рыцарь научно-популярной книги (к столетю со дня рождения Я. И. Перельмана) 11 18
Явелов Б. Луи де Бройль 9 28

Статы по математике
Александров А. Тупость и гений 11 12
Александров П. Математика и человека культура 12 7
Баков А. Разбение фигур 8 2
Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения 1 12
Дубровский В. Алгоритм волшебного кубика 7 22
Дубровский В. Математика волшебного кубика 8 22
Мартынов Б. О максимумах функций Ван-дер-Вардена 6 8
Носин Д. Кто пойдет за лимонадом? 10 19
Осипов Ю. Гравитационный захват 9 4
Понтряzin Л. Комплексные числа 3 3
Понтряzin Л. Основная теорема алгебры 4 3
Тадеев В. Простие, двойные, гармоничные 7 2
Тихомиров В. Аэродинамическая задача Ньютона 5 11
Том А. Долго ли палке упасть? 2 10
Шубин М. Топология и …рельеф местности 8 10

Статы по физике
Асламазов Л., Кикон И. Что такое волна?
6 2
Бокштейн Б. Атомы блуждают по кристаллу 11 5
Боровой А. Год чудес 4 10
5 3
Буздин А., Тугущев В. Как создавалась физика низких температур 9 19
Варlamов А., Шапро А. В головом просторе 3 10
Забабахин Е. Маленькие заметки 12 13
Кикон К. Что такое потенциальная яма 8 16
Левинштейн М. Эффект Ганна 10 11
Марочник Л. Кометы 7 10
Меледин Г., Сербо В. Конденсация света в вещество 7 19
Миддал А. Судьба нейтронных звезд 1 4
Михайлов А. Значение астроνομии 10 2
Стасенко А. Летать быстрее и дальше 9 12
Сурдин В. Солнечное затмение 31 июля 1981 года 7 26
Фабрикант В. Можно ли условия reв мамонта? 4 20
Франк-Каменецкий М. Самая главная молекула 8 4
Эфрос А. Что такое теория протекции 2 2

Лаборатория «Кванта»
Алексеев И., Свирда Д. И светит и греет 3 17
Амстиславский Я. Необъчные явления вокруг объчных источников света 6 15
Боровой А., Климов Ю. Что происходит на границе 11 22
Варlamов А. Сто лет назад 10 22
Людомирский М., Панфилов А. Почему висит колюц? 4 22
Майер В. Свет, воздух и вода 8 28
Миказлян Л. Домашние опыты с поляризованным светом 7 32
Шшков С. Водоворот 2 21
Шмелев А. Новогодный физический фейерверк 1 20

Математический кругок
Еверафов М. Механика волшебного кубика 3 20
Камышко И. Поль Дирак и задача о трех рыбках 9 30
Ходульев А. Расселение фишек 7 28

Искусство программирования
Зоочная школа программирования Урок 1 1 49
Урок 18 2 48
Урок 19 3 52
Урок 20 4 50
Стандартиные приемы программирования Урок 1 10 52
Урок 2 11 62
Урок 3 12 42
Звенцеродский Г. VI Всегоозная летняя школа юных программств 6 54
Первин Ю. Сортировки по текстовим ключам Слияния 2 51
Включение и распределение 5 51

57

«Квант» для младших школьников
Задачи
1—6
8—12

---

Баргенев Ф. Кантование кубика
Баргенев Ф., Савин А. Метод перебора
2 36
Бендукидзе А. Треугольник Паскаля
10 45
Иванова Н. Самосовмещения фигур и геометрические задачи
3 40
Калинин А. Прицези ежа
4 36
Нахшин В. Понятие определения и определение понятей
9 50
Панов А. Загадка фигур № 51
12 34
Савин А. Камушки и шахматная доска
1 36
Савин А. Веселая Викторина
7 56

---

Кириллова И. Из книг Я. И. Перельмана
11 42
Луеанский Л. «Стойте справа, проходите слева…»
5 30
Родина Н. Архимедова сила и киты
8 50
Задачик «Кванта»
Задачи M721—M780; Ф733—Ф792
Решения задач M488, M681—M758; Ф692—Ф777

---

Зильберман А. Два способа расчета электрических цепей
4 33
Зильберман А. Источник с «отрицательным» внутренним сопротивлением
7 54
Кротов С. О теореме единственности в электростатике
2 32
Кротов С. Об оптимальных траекториях движения
6 30

---

Список решивших 3, 6, 9, 12
Победители конкурса «Кванта»
3 26
Премин «Кванта»
9 32

Практикум абитурента
Быстрый И. О сокращении показателей
6 40
Горнуша П. В чем разница?
8 59
Левитас Г. Использования графики
9 54
Назаретов А. Плокость в пространстве
6 38
Рыжик В. Надо ли искать ОДЗ?
4 39
Сатьянов П. Формулы и графики
11 46
Смоляков А. Почему так?
8 59

---

Баканина Л. Законы сохранения приядных превращениях
7 58
Баканина Л. Законы Ньютона
12 38
Данилин В. Кinemатика. Относительное движения
10 48
Маринчик М. Квадратное уравнение в задах по физике
8 54
Можаев В. Фотоны
3 42
Морозов Е. Оптические системы
5 35
Скороваров В. Переменный электрический ток
2 39
Туеушев В. Электрические цепи с нейнейными элементами
1 41

Вариantsы вступительных экзаменов вузы в 1981 году
Ворошиловградский государственный педагогический институт им. Т. Г. Шевченko
6 44
Ереванский государственный университет
4 43
Киевский государственный педагогический институт им. А. М. Горького
6 45
Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченko
6 41
Краснойский институт цветных металлов им. М. И. Калинина
2 46
Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена
3 47
Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
5 46
Московский авнационный институт им. Серго Орджоникидзе
6 45
Московский автономно-дорожный институт
6 46
Московский архитектурный институт
6 48
2-й Московский государственный медицинский институт им. Н. И. Пирогова
6 49
Московский гидромелоративный институт
4 45
Московский инженерно-физический институт
3 46
Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
2 44
Московский институт стали и спларов
4 44
Московский текстильный институт им. А. Н. Косыгина
3 51
Московский технический институт лёгкой промышленности
6 51
Московский технический институт пышевой промышленности
4 46
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
5 40
Московский физико-технический институт
1 46
Московский институт химического машиностроения
3 48
Московский институт электронного машиностроения
2 43
Московский электротехнический институт связи
1 48
Московский энергетический институт Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана
6 48
Мурманское высшее инженерное морское училище им. Ленинского комсомола
4 47
Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола
5 44
Рижский институт инженеров гражданской авиации им. Ленинского комсомола
4 48
Ростовский государственный университет им. М. А. Суслава
6 42
Таджикский государственный университет им. В. И. Ленина
6 43

58

Ташкентский государственный университет им. В. И. Ленина 5 48
Уральский электроннаяический институт инженеров железнодорожного транспорта 6 51
Харьковский институт радиоэлектроники 3 49
Харьковский государственный университет им. А. М. Горького 6 44

Рецензии, библиография
Гутенхахер В. Пособие по математике для поступающих вуззы 2 58
Зайдел А. Что умет микрокалькулятор 1 58
Ядренко М., Козлов М. Путешествие в мир случайных событий 10 56

---

АринитеЙ А. Этот прочный непрочный мир 9 29
Брук Ю. Задачи Новосибирской ФМШ 12 45
Зориц И. Астрономия: наука и ее творцы 4 58
Левинштейн М. Эйнштейн — изобретатель 10 56

---

Новые книги 8 15
10 43
12 44

Информация
ХIII конференции юных математиков в Батуми 4 54
Краснойская летняя школа 3 57
III Московский турир юных физиков 2 55
IV Московский турир юных физиков 9 57

---

Новый прием во Всесоюзную заочную математическую шкалу 1 53
Новый прием на Мальый мехмат 1 54
Вечерняя физическая школа при МГУ 6 56
Заочная физическая школа 4 57
Заочная физико-техническая школа 1 56
12 53
Заочная физико-техническая школа при МИСиС 6 56

---

Об итогах конкурса «Мальый интегросмос» 4 52
Встреча с читателями 5 10
Семинар руководитель НОУ 5 49

Олимпиды
XXIII Международная математическая олимпида 12 46
XIII Международная физическая олимпида 12 49

XVI Всесоюзная олимпида
Олимпида по математике 11 51
Олимпида по физике 11 54
Экспериментальный тур олимпиды по физике 11 57
Призеры олимпиды 11 60

---

Всероссийская олимпида 10 59
Задачи ресурсных олимпидов 2 34

Новости науки
Кузнецов В. Самый тяжелый изотоп 107-го элемента 3 16
Кузнецов В. Протонная радиоактивность 4 42
Астрономия и древняя летопись 7 38

Наша обложка
Котов Ю. Фантазии ЭВМ 2 54
Котов Ю. 3 38
Пухначёв Ю. 8 21

«Квант» улыбается
БернитеЙ П. «Советы» абитуриентам 6 53
Крыжановский Л. Научный подход 5 28
Патрикеева Н. Курьезы 11 25
Всё врут календар? 3 19
Только у нас! 4 17
Яблоко со всех стороны 7 61
Словарь студента 8 53
Как определить объем кита, плавающего у берегов Гренландии 9 61
Вокруг ЭВМ 10 55

Смеся
Жак Я. Две «школьные» задачи в жизни 2 47
Михайленко Н. А как вы думаете? 1 48
Явелов Б. 150 лет тому назад 10 58
Уголок коллекционера 4 53
Игра, задача или спор? 7 25
Константин Эдуардович Циолковский 9 18
Любопытный факт 9 46
Рассказывают, что … 11 11
Новое совершенное число 11 50
Советум купить! 2 54
8 59

Спрашивайте — ответаем 6 14
8 9

Шахматная страница (3-я с. обложки)
Играют компьютеры 1
Машина угадывает счет 2
Майя остается чемпionкой 3
Патовые рекорды 4
Шахматная машина времени 5
Шахматные лестницы 6
На пересечении линей 7
Жертва ферзя в партиях чемпiona мира 8
Как выигрывать проигрывая 9
Еще раз о жертве ферзя 10
Путешествие в прошло 11
Новогодные сюрпризы 12

59

Законы Ньютона

1. См. рис. 1.
2. В первом случае равные всего порвется нить между брусками 2 и 3 (при этом все бруски остаются неподвижными). Это произойдет при силе $F_1=25$ Н. Во втором случае порвется нить между брусками 1 и 2 при силе $F_2=37,5$ Н (бруски движутся).
3. $T=2\pi\sqrt{(L\cos\alpha)/g}$.
4. $x_M \geqslant \mu(M+m)g/k$.

Рис. 1.

ХIII Международная физическая олимпиада

Задча 1.
a) Общее сопротивление прибора $z = \frac{228,5B}{0,6A} = 380,8$ Ом. Омическое сопротивление лампы $R_\pi = \frac{84B}{0,6A} = 140$ Ом, откуда общее омическое сопротивление $R = 140$ Ом+26,3 Ом=166,3 Ом. Индykтивное сопротивление дросселя $\omega L = \sqrt{z^2-R^2} = 342,6$ Ом, следовательно,
$$L = \frac{\sqrt{z^2-R^2}}{2\pi v} = 1,09 \text{ Гн.}$$

б) Сдвиг фаз определяется из условия $tg\varphi = \omega L/R = 2,06$; соответствен, $\varphi = 64,1^\circ$. в) Активная мощность $P = I^2R = 59,87$ Вт.
г) При размыкании контакта в стартере на дросселе возникает высокое индуктивное напряжение, достаточно для зажигания лампы (сетеевое напряжение меньше напряжения зажигания).
д) Зависимость светового потока от времени показана на рисунке 2.

Рис. 2.

e) Время recombination ионов и электронов в газовом разряде достаточно большое — вот почему лампа горит все время.
ж) Емкость сопротивления конденсатора емкостью $C=4,7$ мкФ равно $1/\omega C=677,3$ Ом. Общее сопротивление системы в таком случае
$$z' = \sqrt{\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2 + R^2} = 373,7 \text{ Ом.}$$

Оно почти такое же, как у прибора без конденсатора; следовательно, лампа обладает теми же экспуляционными свойствами и зажигается по тому же принципу. Различие состоит только в том, что сливг фаз теперь противоположен по знаку сdwгу фаз $\varphi$:
$$tg\varphi' = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R} = -2,01, \text{ и } \varphi' = -63,6^\circ.$$
В заданиях с большим количеством ломинесентных ламп дополнительные конденсаторы используют для компенсации сdwга фаз.
Задча 2.
Обозначив расстояние от точки опоры до центра масс через $s$, массу через $m$ и момент инерции относительно точки опоры через $I$, для перiodа колебаний $T$ записьваем
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgs}}.$$

При этом $I$ определяется через момент инерции $I_0$ относительно центра масс:
$$I = I_0 + ms^2.$$

Из уравнения (1) и (2) имеем
$$I_0 + ms^2 = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 mgs,$$

Рис. 3.

где $s = s_a$, $s_6$ и $s_B$ (рис. 3). Это квадратное уравнение может иметь не больше двух различных решений. Так как $s_B > 21_{cm} > s_a + s_6 = 10$ cm, равными могут быть только $s_a$ и $s_6$. Поэтому
$$s_a = s_6 = 5 \text{ cm}, \quad s_B = \sqrt{21^2 + 5^2} \text{ cm} = 21,6 \text{ cm}.$$
Запишем уравнение (3) для случая a) и b). Исключив момент инерции $I_0$, получаем
$$m(s_B^2 - s_a^2) = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 mg(s_B - s_a).$$

Отсюда
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{s_B + s_a}{g}} = 1,03 \text{ c}.$$
Задча 3.
a) Запишем условие парения шара:
$$m_{t_2} + m_0 = m_{t_1},$$

60

где $m_t$ — масса воздуха в объеме шара при температуре $t$, или
$$\varrho_2 V + m_0 = \varrho_1 V.$$
Отсюда
$$\varrho_2 = \varrho_1 - \frac{m_0}{V} = 1,03 \text{ кг/м}^3.$$
Воспользовавшись соответствием $\varrho_1/\varrho_2 = T_2/T_1$, получаем $T_2 = T_1 \frac{\varrho_1}{\varrho_2} = 341,53$ К, или $t_2 = 68,38^\circ\text{C}$.
6) Сила $F$, действующая на трос, равна разности между архимедовой силой $F_A$ и силой тяжестеки $F_T$:
$$F = F_A - F_T.$$
Ахимедова сила $F_A = m_1 g = \varrho_1 V g$, где $m_1 = \varrho_1 V$ — масса вытеcenного воздуха при плотности $\varrho_1$. Сила тяжестеки $F_T = m_2 g = (\varrho_3 V + m_0) g$, где $m_2$ — масса воздуха внутри шара при температуре $t_3 = 110^\circ\text{C}$ и соответствующей плотности $\varrho_3 = \varrho_1 T_1/T_3 = 0,918 \text{ кг/м}^3$ плюс масса оболочки $m_0$. Таким образом, действующая на трос сила равна
$$F = F_A - F_T = ((\varrho_1 - \varrho_3) V - m_0) g = 1,2 \text{ Н}.$$
в Шар доступает высоты $h$ такой, на которой плотность наружного воздуха $\varrho_h$ имеет то же значение, что и эфективная плотность
$$\varrho_3 = \frac{m_2}{V} = \frac{\varrho_3 V + m_0}{V} = 1,088 \text{ кг/м}^3.$$
Плотность воздуха на высоте $h$ определяется по барометрической формуле
$$\varrho_h = \varrho_1 e^{-\varrho_1 gh/p_0}.$$
Отсюда для $h$ имеем
$$h = \frac{p_0}{\varrho_1 g} \ln \frac{\varrho_1}{\varrho_h} = \frac{p_0}{\varrho_1 g} \ln \frac{\varrho_1}{\varrho_3} = 843,14 \text{ м}.$$
г) Для небольший разности высоты (10 м по сравнению с 843 м) изменение плотности с высотой может быть приближительно представлен линейной функцией. Поэтому воздушная к положению равновесия сила пропорциональна величины отклонения от положения равновесия, а это является условием возникновения гармоничческих колбаций.

Задание 4.
a) Для определения фокусного расстояния $F$ линзу классит на зеркало, а в муфте шатива закрепляют карандаш. Линзу и зеркало перевигают до тех пор, пока смотрящий перпендикулярно визнаблюдать не увидит карандаш и его изображение рядом друг с другом (рис. ). Так как зеркало отражает световые лучи, они проходят сквозь линзу два

Рис. 4.

Разза и получаем изображение соответствует изображению в случае установки друг за другом двух линз:
$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{2}{F}.$$
Для изображения с увеличением равным единице $d = f$; следовательно, $F = d$.
6) Показатель предположения $n$ матрица линзы определяется из уравнения
$$\frac{1}{F} = (n - 1) \frac{2}{r}.$$
Радиус кривизны $r$ симметричной двойкой линзы можно найти следующим образом. Если на зеркало налить немного воды и на воду положить стеклянную linзу, то между ней и зеркалом образуется плоско-вогнутая водная linза (рис. ). Один ее радиус кривизны равен радиусу стеклянной

Рис. 5.
linзы, а другой — бесконечно большой. Для этой линзы
$$\frac{1}{F_B} = (n_B - 1) \left( -\frac{1}{r} \right),$$
и
$$r = -(n_B - 1) F_B.$$
Однако изменить на опите (анаалогичном описанному в пункте a)) можно лишь фокусное расстояние комбинации стеклянной и водной linзы:
$$\frac{1}{F_K} = \frac{1}{F} + \frac{1}{F_B}.$$
Затем надо вычислить фокусное расстояние $F_B$ водной линзы, радиус кривизны $r$ стеклянной linзы и ее показатель предположения $n$:
$$n = \frac{(n_B - 1) F_B}{2(F_K - F)} + 1.$$
Задание 5.
a) Для ускорения центра тяжестеции цилиндра (линейного ускорения оси цилиндра) имеем
$$a = \frac{2S}{t^2},$$
где $s$ — путь, пройденный цилиндром за время $t$.
6) Обозначим ускорение тела массы $m$ через $a_m$, натяжение каната через $T$ и запишем уравнение движения тела:
$$ma_m = mg - T.$$ (1)
Ускорение $a$ центра тяжестеции цилиндра определяется силой натяжения каната $T$ и реакции $F$ между цилиндром и плоскостью:
$$Ma = T - F.$$ (2)
Если цилиндр поворачивается на угол $\theta$, то тело проходит путь $x_m = (R + r)\theta$. Позетом

61

$$a_m = (R + r) \frac{a}{R}.$$

Из равенств (1), (2) и (3) получаем значение силы реакции:

$$F = mg - \left( M + m \left( 1 + \frac{r}{R} \right) \right) a.$$

в) График зависимости силы $F$ от расстояния $r$ приведен на рисунке 6. Характерно, что при рис. 6.

$r = 3$ см сила меняет знак. Это можно объяснить так. При малых значениях $r$ момент силы натяжения слишком маленький, чтобы сообщить угловое ускорение, при котором цилиндр не просkalзывает, поэтому сила реакции направлена противоположно направлению движения центра тяжеста цилиндра и создает дополнительный врашаюший момент. При больших $r$ момент силы натяжения слишком большой, и сила реакции направлена таким образом, чтобы создавать противоположный врашаюший момент.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 11)

1. Ответ: $IV \cdot II = VIII$
   $$I \cdot IV = IV$$
   $$\parallel \parallel \parallel IV \cdot VIII = XXXII$$

2. Можно: нужно затянуть один из узлов и протянуть через второй (рис. 7).

Рис. 7.

$$8$$
$$48$$
$$+$$
$$648$$
$$9648$$
$$89648$$
$$189648$$
$$\frac{189648}{289648}$$

4. Если делимое, делитель и частное — нечетные числа, то остаток должно быть четным числом и поэтому не может оказаться на 7.

Оlimппада по математике
(см. «Квант» № 11)

Мы приводим здесь решение тех задач, которые не вошли в Задачик «Кванта». В Задачик вошли: из 8 класса — задача 8 (-M752), из 9 класса — задача 3 (M751), 4 (M755), 6 (M758), из 10 класса — задачи 1 (M753), 4 (M760), 7 (M754), 8 (M759).

8 класс

1. Ответ: $r_1 r_2$. Решение. Прямая $O_1 O_2$ является осью симметрии угла $MO_1 K$ и обеных окружностей, поэтому четырехугольник $MO_1 KO_2$ разбиается этой прямой на два конгруэнтных треугольника и $S_{MO_1 KO_2} = 2 S_{O_1 MO_2}$. Далее, если радиус $O_1 M$ взят за основание треугольника $O_1 MO_2$, то его высотой будет радиус $O_2 H$ второй окружности, проведенный к точке касания $H$ (рис. 8). Осталось воспользоваться формулой для площади треугольника.

Рис. 8.

2. Ответ: три числа. Решение. Выпишем несколько первых членов
   $$(a_n) = 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$$
   $$(b_n) = 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...$$

Мы видим, что числа 1, 2, 3 встречаются в обеных последовательностях. Доказем теперь, что все члены второй последовательности, начина с $b_4$, в первой последовательности не встречаются и, более того, заключены строко между ее соседними членами:
$$n \geq 4$$
$$a_{n-1} < b_n < a_n.$$

Для этого заменим, что при $n=4$ и $n=5$ () выполняется, и если () справедливо для двух соседних значений $n=k$ и $k+1$, то (*) будет выполняется и для $n=k+2$: складывая неравенства

$$b_k < b_{k+1} < a_{k+1},$$
$$a_{k-1} < b_k < a_k$$

63

теке либо в воскресенье, когда опять не было II, либо в субботу, когда был и II. Остается проверить, мог ли мальчик I быть в библиотеке в субботу, когда был II и III. Нетрудно видеть, что мог (см. таблицу). Задча решения.
2. Ответ: $k^2$. Решение. В указанных на рисунке 9 обозначения
$$\gamma = \pi - \alpha - \beta, \delta = \alpha + \beta, \varepsilon = 2\pi - 2\alpha - 2\beta = 2\gamma.$$
Соединим $M$ с центром параллелограмма $O$.

Рис. 9.

Точка $O$ равнодулана от прямых $AD$ и $AM$, $BC$ и $BM$, $AD$ и $BC$ и следовательно, от $AM$ и $BM$ — МО является bicсектрисой угла $AMB$.

Следовательно, $\widehat{OA} = \widehat{OM} = \frac{\varepsilon}{2} = \gamma$ и мы получаем две пары подобных треугольников:
$$\Delta AOD \sim \Delta AMO \Rightarrow x = |OM| \cdot k$$ и $$\Delta BOC \sim \Delta BMO \Rightarrow y = |OM| \cdot \frac{1}{k}.$$
Итак, $x/y = k \cdot \frac{1}{k} \cdot |OM| / \frac{1}{k} \cdot |OM| = k^2$.

5. Доказательство. Применив к левой части доказываемого неравенства неравенство о средних ($\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$), получим
   $$2^{1/2}x + 2^{1/4}x \geq 2 \cdot 2^{1/2}x + 2^{1/4}x.$$
   Приименить то же неравенство к показателю степени, получим
   $$\frac{1/2x + 1/4x}{2} \geq \sqrt{1/2x \cdot 1/4x} = 5x.$$
   Из этих двух неравенств и следует доказываемое.
6. Доказательство. Рассмотрим фигуру из 12 клеток, указанную на рисунке 11. Она

Рис. 10. Рис. 11.

обладает тем свойством, что каждая ее клетка окружена не менее чем четырьмя клетками этой же фигуры. Так клетка фигуры, в которой написано наименьшее для этой фигуры число, и будет искомой (таких клеток может быть и несколько).

Замечание. Легко построить пример, показывающий, что число 4 в условии задачи увеличено быть не может: например, в клетку с координатами $(x, y)$ запишем число $x + 2y$.

8. Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что сумма всех данных чисел неотрицательна — в противном случае приведенные ниже рассуждания применяются к числам $-a_1, -a_2, \dots, -a_n$.

Для всех пар индексов $(i, k)$ таких, что $i, k = 0, 1, 2, i \neq k$, обозначим через $C_{ik}$ множество, состоящее, во-первых, из всех чисел данной последовательности, номера которых при делении на 3 дают остаток $i$, и, во-вторых, из всех положительных чисел последовательности, номера которых при делении на 3 дают в остатке $k$. При любых $i$ и $k$ множество $C_{ik}$ удовлетворяют условиям (а) и (б) задачи. Доказем, что среди $C_{ik}$ есть множество, удовлетворяющей условиям (в).

Обозначим через $C_{ik}$ сумму всех чисел, входящих в $C_{ik}$. В сумму
$$S = \bar{C}_{01} + \bar{C}_{02} + \bar{C}_{10} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{20} + \bar{C}_{21}$$
четырежды входят все положительные числы данной последовательности и дважды — все отрицательные. Так как сумма всех чисел неотрицательна, $S$ не меньше, чем удвоенная сумма положительных чисел, которая в свою очередь не меньше $|a_1| + \dots + |a_n|$. Итак,
$$S \geq |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|,$$
и из (*) следует, что для некоторых пар индексов $(i, k)$
$$|\bar{C}_{ik}| \geq (|a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|)/6.$$

Требуемое доказано.
Замечание. Как показывает последовательность
$$1, 1, 1, -1, -1, -1,$$
постоянная 1/6 в условии задания быть не может.

10 класс

2. См. решения задачи 2 из 9 класса.
3. Ответ: не существует. Решение. Предположим противное. Затем выберем наименьшее средние всех натуральных чисел, делились на $A = 1, 1, 1, \dots, 1$ и имеющих сумму цифр, меньшую, чем $m$. Обозначим его через $B$. Так как числа $A, 2A, 3A, \dots, 9A$ имеют сумму цифр, не меньшую чем $m$, получаем
   $$B \geq 10A = 10 \cdot \frac{10^m - 1}{9} \geq 10^m.$$

Пусть
$$B = k_r \cdot 10^r + \dots + k_1 \cdot 10 + k_0,$$
где $k_r, k_{r-1}, \dots, k_1, k_0$ — цифры числа $B$, $0 \leq k_j \leq 9$, $j = 0, 1, \dots, r-1$, $1 \leq k \leq 9$. Из (*) следует, что $r \geq m$. Так как $10^m - 1 = 9A$ делится на $A$, число
$$B_1 = B - (10^r - 10^{r-m}) = B - 10^{r-m} \cdot (10^m - 1)$$
делится на $A$. Кроме того, оно меньше, чем $B$, и отлично от нуля (сумма цифр натурального

64

числа $B$ меньше $m$). Действительно, если $k_{r-m} < 9$, то сумма цифра числа $B_1$ равна сумме цифра числа $B$. Если же $k_{r-m} = 9$, то сумма цифра $B_1$ даже меньше, чем сумма цифра $B$. Следовательно, исходное предположение неверно.

5. Доказательство. Покажем, что перестановки можно добиться того, что все отменные клетки будут лежать ниже диагонали, и душей от левого верхнего угла таблицы в правый нижний. Поскольку отменное всего $n-1$ клеток, в каком-то из $n$ столбцов вообще нет отменных клеток — переставляем его с крайним правым столбом. Расмотрим теперь строки таблицы. Все их правые клетки не будут отменными, но в некоторой строке будут отменные клетки — поменяем эту строку с нижней (см. рис. 10). Проделаем ту же процедуру с квадратом из $(n-1) \times (n-1)$ клеток, примыкающим к левому верхнему углу, и так далее, пока все отменные клетки не окажутся ниже расматриваемой диагонали.

6. Доказательство. Обозначим числа совокупности $\{0, 1, 2, \dots, n\}$ через $a_0, a_1, \dots, a_n$ так, чтобы выполнялись неравенства
   $$|a-a_0| \leqslant |a-a_1| \leqslant \dots \leqslant |a-a_n|.$$
   Для каждого натурального числа $k$ в интервале $|x-a| < k/2$ лежит не более $k$ чисел из нашей совокупности. Следовательно, для значений $k$ от 1 до $n$ справедливо неравенства
   $$|a-a_k| \geqslant k/2.$$
   Кроме того, очевидно что $|a-a_0| \geqslant \langle a \rangle$. После перемножения всех этих неравенств получим

$$|a| \cdot |a-1| \cdot \dots \cdot |a-n| = |a-a_0| \cdot |a-a_1| \cdot \dots \cdot |a-a_n| \geqslant \langle a \rangle \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n}{2} = \langle a \rangle \frac{n!}{2^n},$$
что и требовалось.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 9)

Задание 17 (К. Вэтини, 1923 г.). Пешка должна превращаться, но в какую форму? Проигрывает 1. e8C? Kf6! 2. C:f7 Kh5! 3. C:h5. Черные запатованы свои пешки и выиграли партию в подавки! Не годится и 1. e8K? Kf6! 2K:f6 h5 3. K:h7 f6 4. K:f6 h4 и далее пешка черных доходит до первого горизонтали, превращается в слона, который легко отделется (аналогично 3. K:h5). Легко проверить, что выигрывают черные в подавки и при превращении белой пешки в ферзя или ладью.

Решает 1. e8Kр! Пешка становится королем! 1…Kf6 2. Kp:f7 Kg8 3. Kp:g8 h5 4. Kp:h7 h4 5. Kpg6 h3 6. Kpg5 h2 7. Kpg4! h1Kр! При другом превращении пешки белый король сразу становится под удар. Телерже королии не станут пододить друг к другу близке чем на 2 поля (сделавший следующий проигрывает). Ничего.

Задание 18. Льб6! C:a2 2. Лг6 C:b1 3. g5 C:c2 4. g4 C:d3 5. Ch4! C:e4 6. g3 C:g6. Белым пат, сражение в подавки закончилось в их ползу.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: М. Н. Данильчева, В. А. Лешковцев, Ю. П. Солловев
Редакционная коллекция: Л. Г. Асламазов, М. И. Башмаков, В. Е. Белончкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Михайлов, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Белев, Б. Б. Буховцев, Е. П. Великов, И. Я. Верченко, Б. В. Возввиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. Б. Иванов, Л. В. Канторович, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, А. В. Перышкин, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер оформили:
М. Дубах, Г. Красиков, А. Малкин, Э. Назаров, И. Смирнова
Заведующая редактор Л. Чернова
Художственный редактор Т. Макарова
Корректор Н. Дорохова
103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1,
«Квант», тел. 251-82-42

Сдано в набор 16.10.82. Подписано в печать 1.12.82
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. 4
Усл. печ. л. 5,60 Уч.-изд. л. 7,07 Т-20950
Тираж 175044 экз. Цена 40 коп. Заказ 2601

Ордена Трудового Красного Заменич
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Союзполигraphпром» Государственное комитета СССР по делам издательств, полигraphи и книжной торговли
Г. Чехов Московской области