Разбиение фигур

16

Разбение фигур

В последнее время большое развитие получила комбinatorная геометрия — наука, изучающая оптимальные конфигурации точки или фигур. Она все больше применяется в транспорте (укладка грузов), конструкровании (компоновака деталей), архитектуре (планировка) и во многих других отраслях народного хозяйства.

Чтобы посянить одну из очень известных задач комбinatorной геометрии, введем понятие диаметра фигуры. Диаметр фигуры — это такое число $d$, что расстояние между любыми двумя точками фигуры не превышает $d$, но для любого числа, меньше $d$, в ней найдется точки, расстояние между которых превышает $d$. Например, круг диаметра (в традиционном смысле) $d$ является фигурой диаметра $d$. Правильный треугольник со сторонай $d$ тоже имеет диаметр $d$.

Плоская (пространственная) фигура называется ограниченной, если она содержится в некотором круге (шар). Если фигура имеет диаметр, то она, оченьindo, ограниченная. Можно доказать, что верно и обратное.

Точка плоской фигуры называется граничной, если в любом круге с центром в этой точке имеется как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Фигура называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки. Например, плоская фигура $A_1 = \{(x; y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$ — замкнутая, а фигуры $A_2 = \{(x; y) | x^2 + y^2 < 1\}$ и $A_3 = \{(x; y) | 0 < x^2 + y^2 \leq 1\}$ — не замкнутые.

Оказывается, если ограниченная фигура замкнута, то в ней найдется пара точек,

Эта заметка основана на докладе, который в ноябре 1981 г. девятиклассик Антон Баков (Свердловск) сделал на XIII конференции юных математиков в Батуми («Квант», 1982, № 4).

Рис. 1.

17

люших» фигур. Здесь не годились ни «шестнуюльник Пала» (любая плоская фигура диаметра $d$ содержится в нем), ни круг диаметра $d$ (многие фигуры диаметра $d$, например правильный треугольник со стороной $d$, не «влезут» в него). Искомыми фигурами оказались так называемые фигуры постояной ширины.

В доказательстве своей теоремы Пал использовал опорные прямы. Прямая называется опорной к данной плоской фигуре, если она имеет с фигурой хотя бы одну общую точку и вся фигура лежит от нее по одному сторону (рис. 2). Число $h$ называется шириной фигуры, если у нее есть параллельные опорные прямы, расстояние между которых равно $h$. Вообще говоря, фигура может иметь много «ширин» (рис. 3). Если ширина фигуры не зависит от направления опорных прямы, фигура называется фидурой постояной ширины (рис. 4).

Оказывается, любая плоская фигура диаметра $d$ содержится в некоторой фигуре постояной ширины $d$. Было также доказано, что фигуру постояной ширины $d$ нельзя на 2 части диаметра меньше $d$.

Эти сообщения позволили советскому математике В. Г. Болтянскому в 1969 г. доказать, что плоскую фигуру диаметра $d$ тогда и только тогда нельзя разить на 2 части диаметра меньше $d$, когда она содержится в единственной фигуре постояной ширины $d$.

Решение рассмотренной задачи послужило фундаментом для дальнейшего развития комбинаторной геометрии.

Сегодня эта задача решена не только для плоскости: доказан эквивалент теоремы Борсука для трехмерного пространства (там всегда достаточно 4 частей). Существует гипотеза, что для $n$-мерного пространства всегда достаточно $n+1$ частей.

Задачи (добавлены В. Г. Болтянским)

1. Докажите, что диаметр многоугольника равен наибольшем из расстояний между его вершинами.

2. Опираясь на теорему Пала, докажите, что любую плоскую фигуру диаметра $d$ можно разить на три части, диаметр каждой из которых не превысит $\frac{\sqrt{3}}{2} d \approx 0,866 d$.

3. В правильном многоугольнике с нечетным числом сторон проведены другие окружности, каждая из которых содержит концы сторон и имеет центр в противолежащей вершине (см. рис. 4). Докажите, что эти другие ограничивающие фигуру постояной ширины.

4. Докажите, что правильный многоугольник с нечетным числом сторон, у которого наибольшая диагональ имеет длину $d$, не может быть разить на две части, каждая из которых имеет диаметр меньше $d$.

5. От круга диаметра $d$ отрезан сегмент, меньший полукруг. Полученная фигура $F$ по-прежнему имеет диаметр $d$. Ее легко разить на две части диаметра меньше $d$ (как?. Следовательно, $F$ содержится в разных фигурах постояной ширины $d$. Приведите две такие фигуры.

6. Докажите, что вписанный многоугольник с нечетным числом сторон может быть разить на две части меньше диаметра. Верно ли это для произвольного многоугольника с нечетным числом сторон?

7. Пусть $|AB| > d$ и фигур $M$ («двуугольник») представляется собой пересечение двух кругов радиуса $d$ с центрами $A$ и $B$. Докажите, что если фигура диаметра $d$ целиком содержится в двухугольнике $M$, то ее можно разить на две части диаметра меньше $d$.