Законы Ньютона

38

Л. Баканина

Законы Ньютона

Основные законы динамики были установлены около трехсот лет тому назад великим английским ученым Исааком Ньютоном (1643—1727). Ньютон сформировал их следующим образом (А. Г. Дорфман. «Всемирная история физики». М., «Наука», 1974):

Закон I. Всякое тело продолжает сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку оно не принуждается приложенными силами изменять это состояние.

Закон II. Изменение〈количество движения пропорционально приложенной движения силы и проискот по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Закон III. Действие всегда встречает равное противодействие, или воздействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

За 300 лет эти законы многоократно подвергались экспериментальной проверке, и никаких нарушений не было. Уточнялись лишь границы их применности и вносились поправки, необходимые для области микромира и скорости, близких к скорости света.

Очевидно, что первый закон, по существу, поступует существенно таких систем отчета (связанны с материалными объектами), в которых справедливый второй и третьий законы Ньютона. Эти системы отчета называют инерциальными.

Третий закон утверждает, что сила всегда является результатом взаимодействия двух каких-то тел. Если рассмотреть все тела, которые взаимодействуют с исследуемым телом, можно определить все силы, на него действующие. В современной физике силы взаимодействия делят на четыре больших класса: гравиатические, электромагнитные, сильные и слабые (два последних класса относится к ядерным взаимодействиям). В механике, кроме гравиатонных сил, принято выделять силы упругости и силы треня. По проискхдению две последние силы — электромагнитные, но каждая из них имеет свой особенность и потому рассматривается отдельно.

Основным явлением, конечно, второй закон, который в настоящее время чаще всего записывается в виде

$$\vec{F} = m\vec{a},$$

где $\vec{F}$ — действующая на тело силы, $m$ — масса тела и $\vec{a}$ — прибретаемое теломускорение. Если известны все действующие силы, с помощью этого закона можно найтиускорение тела, а следовательно, скорость и координаты в любой момент времени.

Рис. 1.

39

Поясним сказаное на конкретных задачах. Большинство из них предлагалось на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Сила, действующая на тело, периодически меняет свое направление на противоположное (рис. 1, а). Как движется тело под действием такой силы?

Рассмотрим, как зависит от времени скорость тела и его перемещение вдоль линии действия силы (пусть это будет ось X). Для определения будем считать, что начальные скорость и координата равны нулю.

На участке 0—1 сила постояна и по modulo, и по направлению; следовательно, движение тела равноускоренное: скорость меняется пропорционально времени, а перемещение — пропорционально квадрату времени. В таком случае график скорости (точнее — ее проекции v на выбранное направление) представляет собой прямую, проходящую через начало координат (рис. 1, б), а график перемещения (вернее — координаты x) — парабoly, вершина которого находится в начале координат (рис. 1, в).

На участке 1—2 сила постояна, но направлена в противоположную сторону. Скорость линейно падает со временем и в точке 2 обращается в нуль (время действия силы также же, как на первом участке; значит, такое же и изменение количества движения). График координаты на этом участке — парабола, у которой вершина находится в точке 2. В точке 1 происходит плавный переход одной параболи в другую, так как разрыва скорости в этой точке нет.

Дальше рассмотрене ведется аналогично. Как видно из полученных графиков, скорость ни меняет знак, лишь периодические обращается в нуль, а координата все время увеличивается. Другими словами, тело все время удаляется от первогочаального положения, его движение вовсе не является периодическим, хотя именно такой ответ часто приходится слышать от абитурентов на вступительных экзаменах.

Задача 2. Два тела массой $M_1=7$ кг и $M_2=5$ кг связаны нитью

40

коя $F_2$ уравновешивает натяжение нити:

$$F_2 = T_2 = 3 \text{ H}.$$

Во втором случае $Mg = 15 \text{ H}$; следовательно, $Mg > F_{\text{max}}$, и система тел движется как единое целое. При этом силы треня, действующие на тела, есть силы треня скольжения. Следовательно,

$$F_1 = \mu M_1 g = 7 \text{ H} \text{ и } F_2 = \mu M_2 g = 5 \text{ H}.$$

Обозначим модель ускорения всех тел через $a$ и запишем второй закон Ньютона для каждого из тел, выбрав соответствующее ось координат:

$$Mg - T_1 = Ma,$$
$$T_1 - F_1 - T_2 = M_1 a,$$
$$T_2 - F_2 = M_2 a.$$

Решая эту систему уравнения, находим

$$T_1 = Mg \frac{(M_1 + M_2)(1 + \mu)}{(M + M_1 + M_2)} = 14,65 \text{ H},$$
$$T_2 = Mg \frac{M(1 + \mu)}{(M + M_1 + M_2)} = 6,12 \text{ H}.$$

Распространенная ошибка абитурентов — и в первом случае используется решение, пригодное только для движения системы.

Задача 3. По «экватору» внутренней поверхности сферической оболочки массой $M$ с постоянной по модулю скоростью движется небольший шарик массой $m$, совершая полный оборот за время $T$ (рис. 3). Считая, что внешних сил нет и трене отсутствует, определяте, с какой силой шарик давит на сферу. Расстояние между центрами тяжестями шарика и сферы равно $d$.

Поскольку на системе «сфера — шарик» внешние силы не действуют, центр масс этой системы должен покопаться (что непосредственно следует).

Рис. 3.

Дует из законов Ньютона). Это означает, что движется не только шарик, но и сфера, причем оба они врашают вокруг оси, проходящей через центр масс системы.

Обозначим расстояние от шарика до центра масс через $r$, тогда

$$mr = M(d - r), \text{ и } r = d \frac{m}{M + m}.$$

По третьему закону Ньютона сила, с которой шарик давит на сферу, равна по модулю силе, с которой сфера действует на шарик. Она и сообщает шарику центростремительное ускорение

$$a_u = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{Md}{(M + m)}$$

Итак, искомая сила равна по модулю

$$F = ma_u = \frac{4\pi^2 Mm d}{T^2 (M + m)}$$

и направлена по радиусу от центра врашения.

Задача 4. Невесомая шанза длиной $L$ одним концом закреплена в идеальном шарине, а другом опирается на пружину жесткости $k$ (рис. 4). Определите период малых колбающих шанzes в зависимости от положения $l$ на ней груза массой $m$.

Пусть груз сметлися по вертикали на расстояние $x$. При этом пружина деформарует на $x_1 = xL/l$, и со стороны пружины на конец шанги действует сила $F_1 = kx_1 = kxL/l$. Шанга невесома, поэтому суммарный момент сил, действующих на нее, должен быть равен нулю (инначе она приобрела бы бесконечно большое угловое ускорение):

$$F_1 L = F_2 l,$$

где $F_2$ — сила, действующая на шанze

41

нию движения груза наружне, только роль жесткости пружины здесь играет выражение $k_1 = k(L/l)^2$.

Таким образом, период колебаний груза, а значит, и невесомой штангги, равен

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi \frac{l}{L} \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Уражнения

1. Как будет движется тело, если действующая на него сила изменяется со временем так, как показано на рисунке 5?

2. Три бруска одинаковой массой $M = 5$ кг лежат на горизонтальном столе. Бруски связаны нитями, которые рутятся при натяжении $T = 20$ Н. Коэффициенты треня брусков о столравны, соответственно, $\mu_1 = 0,3$, $\mu_2 = 0,2$ и $\mu_3 = 0,1$. Брусок 3 тунут с силой $F$, которое постепенно увеличивается. Которая из нитей, скрепляющих бруски, повется, и при какой минимальной силе $F$ это произойдет? Как изменится ответ, если силу $F$ прикладывается к бруску 1?

3. Груз, подвешенный на нити длиной $L$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Найдите период обращения груза, если нить отклонена от вертикали на угол $a$.

4. Коробка массой $M$ стоит на горизонтальном столе (рис. 6). Коэффициент треня между столом и коробкой $μ$. Внутри коробки лежит тело массой $m$, которое может без треня движется по дну коробки. Оно прикреплено к стенке коробки пружиной жесткостью $k$. При какой амплитуде колебаний тела коробка начинает движаться по столе?

Список читателей, приславших правильные решения

(Начало см. на с. 32)

55, 60; М. Верховодов (Киев) 49, 53, 56, 57, 59; М. Гаджибабаев (Махачкала) 57; И. Гайович (Киев) 53, 59, 60; Д. Голенков (Долгопрудный) 60; Э. Горячковский (Кишинев) 52; М. Гостев (Липецк) 49, 50, 52, 56, 60; А. Грабак (с. Ободова Винницкой обл.) 60; О. Гришин (Тула) 50, 56, 60; Л. Доросинский (п. Черноголовка Московской обл.) 49, 56, 59, 60, 62; А. Дубровский (Харьков) 59; А. Дунаевский (Киев) 50, 52—57, 59, 60, 62; М. Дьячков (п. Черноголовка Московской обл.) 49, 50, 55, 56, 60; С. Ефимов (Баку) 56, 57; В. Житомирский (Харьков) 49, 52, 53, 55, 56, 59, 60, 62; Р. Жямайтис (Вильнюс) 49, 50, 52, 59, 60, 62; Д. Зайцев (Горький) 49, 53, 56; Ю. Звезинцев (Харьков) 52, 55—57, 59, 62; А. Зенков (Свердловск) 57; М. Зиманов (Алма-Ата) 59, 60; Д. Каледин (Москва) 57, 59, 60; И. Калииновский (Киев) 56, 60, 62; Е. Канчип (Таллин) 57, 60; А. Карнаухов (Ижевск) 52; С. Кастелли (Болград) 53, 57, 59, 60, 62; Ю. Кившарь (Харьков) 57; В. Кидыскок (Рязань) 51—53, 56, 57, 62; М. Козаченко (Ровно) 55, 60; А. Комов (Александров) 49—52, 57, 59, 60, 62; А. Корцацин (Красноармейск) 49, 53, 56, 57, 59, 60; Н. Косматов (Москва) 51; В. Криман (Винница) 53—57, 59, 60; И. Крылов (Куыбышев) 57; Д. Купцов (Москва) 53, 55, 56, 59, 60; Н. Кухаркин (Москва) 56, 59, 60; Г. Ландсберг (п. Протвино Московской обл.) 53—55, 57, 59, 60; М. Ларционов (Свердловск) 56; С. Лиханский (Херсон) 60; А. Лихачев (Барнаул) 56; О. Лопин (Фрунзе) 55, 56; Д. Макаров (п. Черноголовка Московской обл.) 51, 52, 56, 57, 60; К. Макарук (Киев) 62; А. Макимов (Новосибирск) 56, 60, 62; А. Малай (Каушаны) 60; А. Маркович (Белград, СФРЮ) 52, 55, 57; Л. Маркович (Брест) 50, 52, 56, 57, 60, 62; В. Маслов (Омск) 59, 60; И. Медков (Москва) 49, 51; В. Мороз (Минск) 55—57, 60; С. Мусаев (Баку) 59, 60; Д. Набутовский (Новосибирск) 56, 57, 59; А. Носков (Москва) 59; Р. Овчарек (Шецин, ПНР) 60; А. Охапкин (Чита)

(Окончание см. на с. 55)