Người chiến thắng cuộc thi «Kvant»

Người chiến thắng
cuộc thi «Kvant»

Hàng năm tạp chí của chúng tôi tổ chức một cuộc thi giữa các học sinh để giành được lời giải bài toán trên Bài toán Kvant. Theo quyết định của ban tổ chức Olympic toàn Liên đoàn, học sinh giành chiến thắng trong cuộc thi này được quyền tham gia ngay vòng 4 (cộng hòa) của Olympic toàn Liên đoàn.

Dưới đây là danh sách những người chiến thắng trong cuộc thi «Kvant» 1982 đã nhận được quyền tham gia Olympic Đảng Cộng hòa năm 1983. Tất cả đều được trao giải sách trong bộ “Thư viện «Kvant»” có tên tác giả.

Toán học

V. ALIVERDIEV - Baku, int. trường học. Số 1, lớp 10.
V. ARABIDZE - Tbilisi, Trường Vật lý và Âm nhạc được đặt theo tên. V. M. Komarova, lớp 10.
A. BERENSTEIN - Mátxcơva, tr. w. Số 1140, 10 lớp.
A. BIRGER - Ivanovo, tr. w. Số 6, 8 ô.
V. BULAVAS - Panevezys, tr. w. họ. Y. Balchikonisa, lớp 11.
G. NGƯỜI CHIẾN THẮNG - Sverdlovsk, tr. w. Số 9, 10 ô.
A. VINOGRADOV - Trường Vật lý số 18, lớp 10, Đại học Tổng hợp Matxcơva.
M. GARAEV - Fuzuli, làng. w. Số 2, 9 ô.
M. GORBUNOV - Minsk, tr. w. Số 19, 10 ô.
A. DEINEKA - Vinnitsa, s. w. Số 32, 10 ô.
A. DOBRIN - Kyiv, tr. w. Số 45, 10 ô.
O. EROSHKIN - Dnepropetrovsk, tr. w. Số 15, 10 ô.
M. ZAPLETIN - Alma-Ata, RFMSH, lớp 10.
K. ZYKOV - Mátxcơva, tr. w. Số 57, 10 ô.
A. IVCHENKO - Mogilev-Podolsky, tr. w. Số 1, 9 ô.
Y. KAKULOV - Tsalka, làng. w. Số 3, 10 ô.
A. KARPOVICH - Kyiv, tr. w. Số 39, 10 ô.
D. KORSHUNOV - Novosibirsk, tr. w. Số 25, 10 ô.
K. KOKHAS - Leningrad, tr. w. Số 239, 10 ô.
R. MISYAVICHIUS - làng. Povilayaskay Lit. SSR, làng Naumastskaya. sh., 10 cl.
F. NAZAROV - Leningrad, tr. w. Số 239, 9 ô.
L. ORIDOROGA - Donetsk, s. w. Số 64, 9 ô.
A. RODIONOV - Mátxcơva, tr. w. Số 444, 10 ô.
L. RUDYY - Kirovsk, tr. w. Số 6, 10 ô.
V. SADOWSKY - Tashkent, tr. w. Số 71, 10 ô.
A. SVIRIDOV - Trường Vật lý số 18, lớp 10, Đại học Tổng hợp Matxcơva.
S. STRUCOV - Voronezh, tr. w. Số 85, 9 ô.
S. TIPTSOV - Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
V. KHRYCHIKOV - Sevastopol, tr. w. Số 24, 9 ô.
U. EMMUS - Làng Nytsni, ESSR, làng Nyusskaya. sh., 11 ô
S. YUROVSKY - Trường Vật lý số 18, lớp 10, Đại học Tổng hợp Matxcơva.

Vật lý

E. BAGHDASARYAN - Baku, tr. w. Số 46, 9 ô.
G. BARANOV - Donetsk, s. w. Số 17, 10 ô.
A. DUNAEVSKY - Kyiv, tr. w. Số 39, 10 ô.
M. DYACHKOV - Làng Chernogolovka, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 82, 10 ô.
S. EFIMOV - Baku, tr. w. Số 91, 10 ô.
R. ZHAMAITIS - Vilnius, tr. w. Số 9, 11 ô.
Y. ZVEGINTSEV - Kharkov, tr. w. Số 116, 10 ô.
M. ZIMANOV - Alma-Ata, RFMSH, lớp 9.
I. KALINOVSKY - Kyiv, tr. w. Số 145, 8 ô.
E. KANTSYPER - Tallinn, tr. w. Số 15, 10 ô.
S. CASTELLI - Bolgrad, tr. w. Số 1, lớp 10.
A. KORCHAGIN - Krasnoarmeysk, tr. w. Số 2, 10 ô.
G. LANDSBERG - Làng Protvino, vùng Mátxcơva, tr. w. Số 1, lớp 10.
O. LOPIN - Frunze, tr. w. Số 61, 10 ô.
D. MAKAROV - Làng Chernogolovka, vùng Moscow, làng. w. Số 82, 9 ô.
K. MAKARCHUK - Kyiv, tr. w. Số 145, 8 ô.
A. MALAY - Kaushany, tr. w. Số 4, 10 ô.
V. MOROZ - Minsk, tr. w. Số 16, 10 ô.
S. MUSAYEV - Baku, tr. w. Số 91, 10 ô.
M. PUSTILNIK - Sverdlovsk, tr. w. Số 9, 10 ô.
M. ROSENBERG - Leningrad, tr. w. Số 30, 10 ô.
V. ROMASHIN - Donetsk, tr. w. Số 17, 10 ô.
A. RYLYAKOV - Saratov, tr. w. Số 13, 10 ô.
F. SERZHENKO - Zaporozhye, tr. w. Số 28, 10 ô.
M. SKORIK - Kyiv, tr. w. Số 145, 9 ô.
V. FELDMAN - Saratov, tr. w. Số 13, 10 ô.
I. SHOYKHET - Tashkent, tr. w. Số 71, 10 ô.

44

6. Vectơ $\vec{PA}' + \vec{PB}' + \vec{PC}'$ vuông góc với mặt phẳng $ABC$.
   c) Từ điểm $O$, nằm bên trong khối đa diện $ABCD$, các đường vuông góc được hạ xuống trên mặt phẳng của các mặt của nó. Trên các đường vuông góc này tính từ điểm $O$, các đoạn được đặt có chiều dài bằng diện tích của các mặt tương ứng và các đầu của các đoạn này thuộc về các đỉnh của khối đa diện mới $A'B'C'D'$. (Tất nhiên, khi dịch song song, khối đa diện này không phụ thuộc vào việc chọn điểm $O$.) Chứng minh rằng bằng cách lặp lại cách xây dựng này cho khối đa diện $A'B'C'D'$, chúng ta thu được một khối đa diện sẵn sàng cho khối đa diện ban đầu với hệ số 3V, trong đó $V$ là thể tích của khối đa diện ban đầu $ABCD$. (Nếu $3V=1$, thì khối đa diện cuối cùng được lấy từ khối ban đầu bằng cách chuyển song song.)

V. N. Dubrovsky

M794. Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Qua điểm $K$ của đường tròn thứ nhất vẽ các đường thẳng $KA$ và $KB$, cắt đường tròn thứ hai tại các điểm $P$ và $Q$ (Hình 2). Chứng minh rằng dây cung $PQ$ của đường tròn thứ hai vuông góc với đường kính $KM$ của đường tròn thứ nhất.

Alla Ivchenko, học sinh lớp 9 quy mô số 1
Mogilev-Podolsky

M795. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\sigma(n)$ tổng của tất cả các ước của số tự nhiên $n$ (Hình 3). Chứng minh rằng có vô số $n$ sao cho $a) \sigma(n) > 2n; 6) \sigma(n) > 3n$. Chứng minh rằng với mọi $n$ trong $^* \sigma(n) < n(\log_2 n + 2); \gamma) \sigma(n) < n(\ln n + 1)$.

V. F. Lev

F803. Một người leo lên dốc với góc đi lên $a$ với tốc độ không đổi $v_0$ và kéo một chiếc xe trượt có khối lượng $m$ trên một sợi dây nhẹ có chiều dài $l$, nằm trên một mặt cắt ngang (Hình 4). Tìm lực căng của sợi dây tại thời điểm nó tạo một góc $a$ với mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua lực của xe trượt trên mặt đường.

V. I. Chivilev

F804. Hai ngôi sao giống hệt nhau $A$ và $B$ quay dưới tác dụng của lực hút lẫn nhau ở một khoảng cách không đổi $R$ với nhau. Ở một khoảng cách không xác định $x$ tính từ các ngôi sao, một hành tinh ánh sáng $C$ di chuyển trong mặt phẳng quỹ đạo của chúng, với $|AC| = |BC| = x$ và hình tam giác $ABC$ vẫn giữ nguyên kích thước của nó. Tìm khoảng cách $x$.

G. L. Kotkin

F805. Thông qua một tụ điện phẳng chứa đầy chất điện môi có hằng số điện môi $e$ và điện trở suất $Q$, dòng điện chạy qua $i(t) = I_0 \cos \omega t$. Xác định am-

45

Tấm điện áp trên tụ điện. Khoảng cách giữa các tấm là $d$, diện tích mỗi tấm là $S$.

V. V. Mozhaev

F806. Trong mạch như hình 5, ngay sau khi tắt từ trường bên ngoài nơi đặt cuộn dây có độ tự cảm $L$, một dòng điện $I$ chạy qua một điện trở có điện trở $R_1$. Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây, xác định nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở có điện trở $R_1$ và trên điện trở có điện trở $R_2$. Từ trường có hướng vuông góc với mặt phẳng quay của cuộn cảm.

V. V. Mozhaev

F807. Một cục pin có EMF không đổi $\varepsilon_0$ được mắc nối tiếp với cuộn cảm $L$ và tụ điện emf $C$ thông qua phím $K$ (Hình 6). Tại thời điểm ban đầu phím $K$ mở, tụ chưa tích điện. Xác định giá trị dòng điện cực đại trong mạch sau khi đóng phím. Bỏ qua điện trở Ohm trong mạch.

Problems

M791—M795; P803—P807

M791. On his birthday Pete was given a microcalculator which carries out the following operations: for any numbers $x$ and $y$ it computes $x+y$, $x-y$, $x+1$ and $1/x$ (when $x \neq 0$). Pete says he uses his calculator to:
a) compute the square of any number in 6 operations or less;
b) multiply any two numbers in 20 operations or less. How does he do it?

S. B. Gashkov

M792. Find the positive integer solutions of the equations
a) $3^x+1=2^y$; b) $3^x-1=2^y$; c)*
Find all positive integers $n$ for which both fractions $1/n$ and $1/(n+1)$ have finite decimal expansions. d)*
Prove that for any prime $p>3$ and any integer $m>1$ neither of the numbers $p^m+1$ and $p^m-1$ is a power of 2.

S. N. Bychkov, V. V. Prasolov, L. D. Kurlyandchik

M793.* Ba đoạn thẳng $PA', PB', PC'$ được dựng vuông góc với các mặt $PBC$, $PCA$, $PAC$ của tứ diện $PABC$; độ dài của các đoạn bằng diện tích của các mặt này và các điểm $A'$ và $A$, $B'$ và $B$, $C'$ và $C$ nằm trên các cạnh đối diện của mặt phẳng chứa các mặt này (xem hình Ảnh 1). Chứng minh rằng
a) Repeating this construction for the tetrahedron $PA'B'C'$ (from vertex $P$), we obtain a tetrahedron homothetic to $PABC$ with coefficient $3V/4$, where $V$ is the volume of $PABC$.