Победители конкурса «Кванта»

Квант 1983, №3 с. 44-45 Тег JEGZ

Победители
конкурса «Кванта»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задач из Задачника «Кванта». В соответствии с решением оргкомитета Всесоюзной олимпiadы школьников победили этого конкурса получают право участвовать сразу в четвертом (республиканском) туре Всесоюзной олимпiadы.

Ниже публикуется список победителей конкурса «Кванта» 1982 года, получивших право участвовать вреспубликанских олимпадах 1983 года. Все они нагradдаются также книгами серии «Библиотека «Квант»» с авторфамами авторов.

Математика

В. АЛИВЕРДИЕВ — Баку, шк.-инт. № 1, 10 кл.
В. АРАБИДЗЕ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 10 кл.
А. БЕРЕНШТЕЙН — Москва, с. ш. № 1140, 10 кл.
А. БИРГЕР — Иваново, с. ш. № 6, 8 кл.
В. БУЛАВАС — Паневежис, с. ш. им. Ю. Бальчикониса, 11 кл.
Г. ВИННЕР — Свердловск, с. ш. № 9, 10 кл.
А. ВИНОГРАДОВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
М. ГАРАЕВ — Физули, с. ш. № 2, 9 кл.
М. ГОРБУНОВ — Минск, с. ш. № 19, 10 кл.
А. ДЕЙНЕКА — Винница, с. ш. № 32, 10 кл.
А. ДОБРИН — Киев, с. ш. № 45, 10 кл.
О. ЕРОШКИН — Днепропетровск, с. ш. № 15, 10 кл.
М. ЗАПЛЕТИН — Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
К. ЗЫКОВ — Москва, с. ш. № 57, 10 кл.
А. ИВЧЕНКО — Могилев-Подольский, с. ш. № 1, 9 кл.
Ю. КАКУЛОВ — Цалка, с. ш. № 3, 10 кл.
А. КАРПОВИЧ — Киев, с. ш. № 39, 10 кл.
Д. КОРШУНОВ — Новосибирск, с. ш. № 25, 10 кл.
К. КОХАСЬ — Ленинград, с. ш. № 239, 10 кл.
Р. МИСЯВИЧЮС — дер. Повилаяскай Лит. ССР, Наумастская с. ш., 10 кл.
Ф. НАЗАРОВ — Ленинград, с. ш. № 239, 9 кл.
Л. ОРИДОРОГА — Донецк, с. ш. № 64, 9 кл.
А. РОДИОНОВ — Москва, с. ш. № 444, 10 кл.
Л. РУДЫЙ — Кировск, с. ш. № 6, 10 кл.
В. САДОВСКИЙ — Ташкент, с. ш. № 71, 10 кл.
А. СВИРИДОВ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.
С. СТРУКОВ — Воронеж, с. ш. № 85, 9 кл.
С. ТИПЦОВ — ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
В. ХРЫЧИКОВ — Севастополь, с. ш. № 24, 9 кл.
У. ЭММУС — п. Ныцни ЭССР, Ньюсская с. ш., 11 кл.
С. ЮРОВСКИЙ — ФМШ № 18 при МГУ, 10 кл.

Физика

Э. БАГДАСАРЯН — Баку, с. ш. № 46, 9 кл.
Г. БАРАНОВ — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
А. ДУНАЕВСКИЙ — Киев, с. ш. № 39, 10 кл.
М. ДЬЯЧКОВ — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 10 кл.
С. ЕФИМОВ — Баку, с. ш. № 91, 10 кл.
Р. ЖЯМАЙТИС — Вильнюс, с. ш. № 9, 11 кл.
Ю. ЗВЕГИНЦЕВ — Харьков, с. ш. № 116, 10 кл.
М. ЗИМАНОВ — Алма-Ата, РФМШ, 9 кл.
И. КАЛИНОВСКИЙ — Киев, с. ш. № 145, 8 кл.
Е. КАНЦЫПЕР — Таллин, с. ш. № 15, 10 кл.
С. КАСТЕЛЛИ — Болград, с. ш. № 1, 10 кл.
А. КОРЧАГИН — Красноармейск, с. ш. № 2, 10 кл.
Г. ЛАНДСБЕРГ — п. Протвино Московской обл., с. ш. № 1, 10 кл.
О. ЛОПИН — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
Д. МАКАРОВ — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 9 кл.
К. МАКАРЧУК — Киев, с. ш. № 145, 8 кл.
А. МАЛАЙ — Каушаны, с. ш. № 4, 10 кл.
В. МОРОЗ — Минск, с. ш. № 16, 10 кл.
С. МУСАЕВ — Баку, с. ш. № 91, 10 кл.
М. ПУСТИЛЬНИК — Свердловск, с. ш. № 9, 10 кл.
М. РОЗЕНБЕРГ — Ленинград, с. ш. № 30, 10 кл.
В. РОМАШИН — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
А. РЫЛЯКОВ — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
Ф. СЕРЖЕНКО — Запорожье, с. ш. № 28, 10 кл.
М. СКОРИК — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.
В. ФЕЛЬДМАН — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
И. ШОЙХЕТ — Ташкент, с. ш. № 71, 10 кл.

Вектор $\vec{PA}' + \vec{PB}' + \vec{PC}'$ перпендикулярен плоскости $ABC$ .
в) Из точки $O$ , взятой внутри терраэдра $ABCD$ , опускаются перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки $O$ откладываются отрезки, равные по длине площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков принадлежат за вершины нового терраэдра $A'B'C'D'$ . (Разумеется, с точностью до паралельного перенoca, этот терраэдр не зависит от выбора точки $O$ .) Доказите, что повторив это построение для терраэдра $A'B'C'D'$ , мы получим терраэдр, готовый исходному с коэффициентом 3V, где $V$ — объем исходного терраэдра $ABCD$ . (Если $3V=1$ , то последний терраэдр получается из исходного паралельным переносом.)

В. Н. Дубровский

М794. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$ . Через точку $K$ первой окружности проводятся прямые $KA$ и $KB$ , пересекающие вторую окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 2). Доказите, что хорда $PQ$ второй окружности перпендикулярна диаметру $KM$ первой окружности.

Алла Ивченко, ученица 9 класса шкалы № 1
г. Могилева-Подольского

М795. Обозначим через $\sigma(n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (рис. 3). Доказите, что существует бесконечного много $n$ таких, что $a) \sigma(n) > 2n; 6) \sigma(n) > 3n$ . Доказите, что для любого $n$ в $^* \sigma(n) < n(\log_2 n + 2); \gamma) \sigma(n) < n(\ln n + 1)$ .

В. Ф. Лев

Ф803. Человек поднимается в гору с углом подьема $a$ с постоянной скоростью $v_0$ и тянет за собой на легкой вервке длины $l$ сани массы $m$ , находящемся на горизонтальном участке (рис. 4). Найти натяжение вервки в тот момент, когда она составляет угол $a$ с горизонтальной поверхности. Силой tremия саней о поверхности дороги пренебречь.

В. И. Чивилёв

Ф804. Две одинаковые звезды $A$ и $B$ врашаются под действием взаимного притяжения на неизменном расстоянии $R$ друг от друга. На некотором неизвестном расстоянии $x$ от звезд в плоскости их орбит движется легкая планета $C$ , причем $|AC| = |BC| = x$ , а треугольник $ABC$ сохраняет свои размеры. Найти расстояние $x$ .

Г. Л. Коткин

Ф805. Через плоский конденсатор, заполненный диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $e$ и удельным сопротивлением $Q$ , течение ток $i(t) = I_0 \cos \omega t$ . Определить ам-

Плитуду напряжения на конденсаторе. Расстояние между пластинами $d$ , площадь каждой пластины $S$ .

В. В. Можаев

Ф806. В схеме, показанной на рисунке 5, сразу после выключения внешнего магнитного поля, в котором находится катушка с индуктивностью $L$ , через резistor с сопротивлением $R_1$ течет ток $I$ . Пренебрегая омическим сопротивлением катушки, определять, какое количество теплы выделяется на резисторе с сопротивлением $R_1$ и на резисторе с сопротивлением $R_2$ . Магнитное поле было направлено перпендикулярно плоскости витков катушки индуктивности.

В. В. Можаев

Ф807. Последовательно с катушкой индуктивности $L$ и конденсатором emкости $C$ через ключ $K$ подключили батарею с постоянной ЭДС $\varepsilon_0$ (рис. 6). В начальной момент времени ключ $K$ разомкнут, конденсатор не заряжен. Определить максимальную величины тока в цепи после замыкания ключа. Омическим сопротивлением в цепи пренебречь.

Problems

M791—M795; P803—P807

M791. On his birthday Pete was given a microcalculator which carries out the following operations: for any numbers $x$ and $y$ it computes $x+y$ , $x-y$ , $x+1$ and $1/x$ (when $x \neq 0$ ). Pete says he uses his calculator to:
a) compute the square of any number in 6 operations or less;
b) multiply any two numbers in 20 operations or less. How does he do it?

S. B. Gashkov

M792. Find the positive integer solutions of the equations
a) $3^x+1=2^y$ ; b) $3^x-1=2^y$ ; c)*
Find all positive integers $n$ for which both fractions $1/n$ and $1/(n+1)$ have finite decimal expansions. d)*
Prove that for any prime $p>3$ and any integer $m>1$ neither of the numbers $p^m+1$ and $p^m-1$ is a power of 2.

S. N. Bychkov, V. V. Prasolov, L. D. Kurlyandchik

M793.* Three line segments $PA', PB', PC'$ are constructed perpendicularly to the faces $PBC$ , $PCA$ , $PAC$ of the tetrahedron $PABC$ ; the lengths of the segments are numerically equal to the areas of these faces and the points $A'$ and $A$ , $B'$ and $B$ , $C'$ and $C$ lie on opposite sides of the planes containing these faces (see figure Pис. 1). Prove that
a) Repeating this construction for the tetrahedron $PA'B'C'$ (from vertex $P$ ), we obtain a tetrahedron homothetic to $PABC$ with coefficient $3V/4$ , where $V$ is the volume of $PABC$ .