Шахматная страница
Консультирует — чемпином мира по шахматам, международный гроссейстер А. Карпов. Ведет страничку мастер спорта СССР по шахматам, кандидат технических наук Е. Гик.
ФИГУРЫ В БЕЗОПАСНОСТИ
Одна из самых популярных комбинаторов задач на шахматной доске заключается в расстановке на ней наиболее числа тех или иных фигур, не угрожающих друг другу, а также подсчете числа указаны расстановок. Обе эти задачи ставятся не только для общей доски 8×8, но и для любой квадратной доски размером n×n. Решения некоторых из этих задач хорошо известны, другие очень сложны и до сих пор не решены.
Ферзи. На общей доске можно расстать 8 ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу. Число расстановок — 92, из них 12 — основных (об этом рассказываюсь в «Кванте», 1983, № 1).
Очевидно, на доске n×n больше n ферзей, не угрожающих друг другу, расставить новозможное. Оказывается, что для всех n, кроме n=2 и n=3, максимальное число ферзей, находящееся в безопасности, равное n (на доске 2×2 — один ферзь на доске 3×3 — два ферзя). Доказательство этого факта не очень простое, его можно найти в различных книгах по занимаемой математике. Числа соответствующих решений известны только для n≤14, причем при их нахождения использованы ЭВМ.
Лады. Максимальное число не угрожающих друг друга ладей также равно n, а число расстановок равно n!=1·2···n.
Слоны. Максимальное число слонов, не угрожающих друг друга друг на доске n×n, равно 2n—2 (n>1). Слонов можно расстовать вдоль всей первой горизонтали и на последней, исключая углы.
Всего существует 2^n расстановок.
Конни. Очевидно, расставляя на общей доске 32 коня на одинх белых или одинх черных полях, мы получим две расстановки не угрожающих друг другу коней. Убедимся, что больше чем сладкой, обладающих этим свойствам, расставить новозможно, и что имеет все два варианта. Пусть кони требуемым образом расставлены на доске. Воспользуемся тем, что на доске 8×8 существует замкнутый маршрут коня по всей доске. Поскольку в этом маршруте после каждого поля с конем из нашей расстановки обязательно должен следовать свободное поле, конями не может быть занято более половины доски! Если жеровно полинана доски заполнен конями, то эти 32 коня должны следовать в выбранном маршруте через одного, т. е. располагаются на полях одного цвета.
Аналогично доказывается, что при четных n на доске можно расположить максимум n^2/2 коней, не угрожающих друг друга, а при нечетных n—(n^2+1)/2 коней. В первом случае возможно две однозвительные расстановки, а во втором — только одна (кони стоит на полях того цвета, которое на доске больше).
Короли. Представим число n в виде n=2k или, соответственно, n=2k—1. Можно доказать, что на доске n×n уменьшается k^2 королей, не угрожающих друг друга, т. е. не стоянных рядом. На общей доске 16 королей (k=4) расставляются требуемым образом 287571 способом. Королей можно поставить, например, на все однозвительные поля четных или нечетных горизонталей. Общая формула для числа расстановок на доске n×n неизвестна.
Пешки. Опять представим число n в виде n=2k или n=2k—1. Тогда на доске n×n можно расстать nk пешек, ни одна из которых не направет на другую. Пешками можно заполнить горизонтали (через одну или вертикали (через одну), но могут быть и другие расстановки. Число допустимых расстановок попробyte найти сами (хотя бы на доске 8×8).
Уникальной является следующая расстановка фигур, созданная Г. Дьюден.
На доске одновременно уменьшается максимальное число не угрожающих друг друга фигур ферзей, ладей и слонов. Еще на доске помещился 21 конь (они не нападают друг на друга), а на свободных черных полях доски можно поставить также 8 королей, которые не будут нападать друг на друга.
Конкурсные задачи
В матровском номере журнала по традиции предлагаем две задачи, составленные женишнами — шахматными композиторами. Любопытно, что авторы обеих позиций приумали их, когда учились в школе.
-
(К. Сагателян, 1957 г.). Мат в 3 хода.
-
(Л. Вышинская, 1964 г.). Мат в 2 хода.
Срок отправки решений — 25 мая 1983 года (с пометкой на конверте: «Шахматный конкурс «Кванта», задания 5, 6»).