Проводящая сфера в задачах по электростатике

31

Проводящая сфера в задачах по электростанке

С. А. ЮРСКИЙ

Сферическая поверхность — одна из самых простых в геометрии. Близко к ней поверхности в природе имеет многое тела: Солнце и Земля, капли дождя и ягоды рябины, и даже электоны в нашем воображении рисунются маленькими шариками.

Тела сферической формы — часть гости и в задачах по электростанке. Нередко это связано с тем, что сферическая симметрия позволяет значительное употребить многое математическое вычисления без ущерба для физического содержания.

Прежде чем приступить к разбору конкретных задач, обсудим неокоторые общее вопросы электростанки.

В изолированной системе тел, какие бы изменения в ней не производили, алгебраическая сумма положительных и отрицательных зарядов остается постоянной.

Электрические взаимодействия можно описать количественно. В простейшем случае двух точных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся в вакууме на расстоянии $r$ друг от друга, сила взаимодействия между ними определяется законом Кулона

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

где $k$ — численный коэффициент, зависимости от выбора системы единиц. В СИ его записьют в виде $k = 1 / (4\pi\varepsilon_0)$ (здесь $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная). Неточные заряды, конечно, тоже действуют друг на друга, но их сила взаимодействия уже не определяется приведенной формулой. В таком случае заряженные тела следует мысленно разбитать на точные заряды, найти силу взаимодействия для каждой пары зарядов, а затем все полученные значения сложить.

Как известно, электрические заряды взаимодействуют через электрическое поле, которое они создают. Для количественного описания этого поля служат сливая и энергетическая характеристика: напряженность поля и его потенциал. Напряжение $\vec{E}$ поля в данной точке равна силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку, а потенциал $\phi$ данной точки равен работе, совершаемой полем по перемещению единичного положительного заряд из этой точки в бесконечность, или, что то же самое — работе внешних сил по перемещению единичного положительного заряд из бесконечности в данной точку. Под «безконечностью» понимают область пространства, настоящего удаленного от всех электрических зарядов, что поле в ней отсутствует.

Из приведенного определения потенциала ясно, что практическое значение имеет только разность потенциалов между расматриваемыми точками, а не абсолотное значение потенциалов точек. Поэтому начало отчета потенциала можно выбирать произвольно. Как правило, за нуль приннимают потенциал точки на бесконечности или потенциал любой точки, соединенной проводником с Землей (то есть заземленной точки). В связи с этим поговорим немного о заземлении тел.

Земля представляет собой проводящее тело огромных размеров. Она обладает значительным отрицательным электрическим зарядом. Разный ему положительный объемный заряд содержится в атмосфере, в слое высокого порядка десятков километров. У поверхности Земли напряженность поля ≈ 130 В/m. Считая Землю проводящим шаром и зная напряжность поля у поверхности, можно оценить величины заряда Земли:

32

$Q_3 \approx 6 \cdot 10^5$ Кл и ее потенциал: $\varphi_3 \approx 8 \cdot 10^8$ В. Термин «тело заземлено» означает, что оно соединено проводником с Землей. При таком соединении заряд и потенциал Земли практически не меняются, хотя какой-то заряд может перейти с тела на Землю или наоборот. Поскольку Земля по сравнению с любым земным телом пространства до бесконечности и потенциал ее постоянен, условились этот потенциал принимать за нуль. Таким образом, заземligt проводник зазначает сообщить ему нульовой потенциал.

Для получения заряда модель напряженности

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

и потенциал

$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

Все опытные факты говорят о том, что электрическое поля обладают замещательным свойством: электрическое поле системы источников является суммой полей отдельных источников. Другими словами, поле каждого фиксированного заряда не зависит от присутствия других зарядов. Чтобы найти результатную напряженность в некоторой точке, достаточно векторно сложить напряженность полей, созданных в этой точке отдельными зарядами. Для нахождения суммарного потенциала достаточно в данной точке взять алгебраическую сумму потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности, при этом точка нульового потенциала должна быть, конечно, обшей для всех зарядов. Такой принципи нахождения результатующего поля называется принципиом суперпозицини.

Электрическое поле часто изображают графические либо с помощью линей напряженности (силовых линей), либо с помощью эквивпotenциальных поверхностей. Силовые линей всегда перpendикулярны к эквивпotenциальным поверхностям, поэтому, зная одну картину, можно легко получить другую.

Под словом «проводник» обычно понимают проводящие, то есть содержащие свободные заряды, тело любых размеров и формы, чаще всего металлическое. Внутри проводника, помещенного в электрическое поле, направлено поля всегда равна нулью, а все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Отсутствие поля в проводнике вовсе не означает, что внешнее поле в него не пропидает. Совсем наоборот, благодаря пропинителью поля в проводник, на его поверхности появляется заряды, поле которых внутри проводника компенсирует внешнее поле. Таким образом, свободные заряды в проводнике могут располагаться только на его поверхности.

Для характеристики способности проводников накапливать электрическое заряды вводится специальная физическая величины — электроемкость. Большой электроемкость обладает конденсатор — система двух проводников (разделенных тонким слоем диэлектрика), заряженных равными по модели, но разноменными зарядами. Емкость конденсатора $C$ называют относение заряда $q$ одного из проводников к разности потенциалов $\Delta \varphi$ между ними: $C = q / (\Delta \varphi)$. Она зависит от размеров, формы и взаимного расположения проводников, а также от электрических свойства диэлектрика.

А теперь обратимся к решению конкретных задач.

Задание 1. Металлическая тонкость сфера радиуса $R$ равномерная с поверхностью плоскостью $o$. Показите, что напряженность поля в любой точке внутри сферы равна нулью. Найдезависимость напряженности и потенциала от расстояния $r$ (от центра сферы) внутри и вне сферы. Постройте соответствующие графики.

Вначале показем, что напряженность поля внутри сферы равна нулью. Для этого возьмем произвольную точку $A$ и построим два симметричных конуса с одинаковыми малыми углами при вершине, как показано на рисунке 1. На поверхности сферы конуса вырезают малые сферические участки $S_1$ и $S_2$, которые можно считать плоскими. Конуса подобны другому, так как углы при вершине равны. Из подобия следует, что пло-

34

сферы, где поля нет, работа не совершается, то есть к уже совершенной работе ничего не добавляется. Это и означает, что для любой точки внутри сферы потенциаль такой же, как на ее поверхности. Зависимость φ=φ(r) показана на рисунке 3, б.

Задача 2. Точенный заряд +q помещен в центр незаряженной проводящей сферы, внутриный радиус которого a, а внешний b. Где и какое заряды при этом возникют? Изображение картины линей направления и потенциаль электрического поля от расстояния r до центра сферы.

Изображение также картину линей направления внутри и вне сферы при смешении заряда +q в произвольную точку внутри сферы.

При внесении заряд +q на внутри и внешней поверхности сферы индуцируются заряды. Пусть они равны q₁ и q₂ соответственно. Известно, что силовые линии электросケого поля (линия направления) всегда начинаются на положительных зарядах и оказываются на отрицательных. Поскольку поля в проводящей только стенок сферы нет, то нет там и силовых линей. Внутри сферы силовые линии начинаются на точном заряде q и оказываются на наведенных зарядах q₁

внутренней поверхности. Отсюда следует, что полный заряд внутри сферы равен нулю:

$$q + q_1 = 0, \quad q_1 = -q.$$

В свою очередь, из электронной плотности проводящей сферы для заряда на ее внешней поверхности имеем

$$q_2 = -q_1 = q.$$

В силу симметрии индуцированные заряды распределены по обеим поверхности сферы равномерно. Картина силовых линей имеет вид, приведенный на рисунке 4.

Для нахождения напряженности и потенциальа поля, создаваемого всей системой зарядов, применим принцип суперпозициции. Поле вне сферы совпадает с суммарным полем точчных зарядов q, q₁ и q₂, помещенных в центр сферы. Так как наведенные заряды равны по величины и противоположны по знаку: q₁ = -q₂, суммарное поле создается только точным зарядом q:

$$\text{при } r > b \quad E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \quad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$$

В толще сферы поле отсутствует, напряженность равна нулю, а потенциаль одинаков во всех точках и равен потенциальу на внешней поверхности сферы:

$$\text{при } a < r < b \quad E = 0, \quad \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}.$$

Внутри сферы поле также совпадает с полем только точного заряда q (поскольку заряды q₁ и q₂ внутри

35

сферы поля не создают; см. задач 1):

при $r < a$ $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, $\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.

Графики зависимости $E = E(r)$ и $\varphi = \varphi(r)$ показаны на рисунках 5, а и 6.

Рассмотрим теперь последний вопрос задачи. При смешении заряда $+q$ из центра сферы в какую-то другую точку величины индуцированных зарядов, очевидно, остanetся прежней, но изменится плотность распределения зарядов на внутренней поверхности. Отрицательные заряды перераспределятся так, чтобы поле в тольце стенок оставалось равным нулю. Плотность этих зарядов будет больше в том месте внутренней поверхности, которое расположено близке к заряду $+q$. В этой же области внутренний сферы будет больше и устота силовых линии. Поскольку сфера представляется собой поверхность равного потенциала, силовые линии искривляются так, чтобы подойти к эквивпотенциальной поверхности под прямым углом. Заряды на внешней поверхностиникакого отношения к полю внутренней сферы не имеют; там их суммарный вклад равен нулю. «Внешние» заряды по-прежнему распределены равномерно. Таким образом, поле внешней сферы остается без изменений; оно не зависит от распределения заряда $+q$ внутренней сферы. Картина силовых линии в этом случае изобравена на рисунке 6.

Задача 3. Две концентрические металлические сферы радиусов $R_1$ и

$R_2$ имеют заряды $q_1$ и $q_2$. Нарисуйте графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния $r$ до центра системы.

Рассмотрим случай сферического конденсатора ($q_1 = -q_2$) и найти его ею emкость.

Пусть $q_1 > q_2$. Тогда

$$\begin{align*} \text{при } 0 < r < R_1 & \left\{ \begin{array}{l} E = 0, \\ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_2}{R_2} \right); \end{array} \right. \\ \text{при } R_1 < r < R_2 & \left\{ \begin{array}{l} E = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \\ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R_2} \right); \end{array} \right. \\ \text{при } r > R_2 & \left\{ \begin{array}{l} E = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \\ \varphi = \frac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0} r. \end{array} \right. \end{align*}$$

Соответствующие графики показаны на рисунках 7, а и 6.

Сферический конденсатор имеет заряды обкладок, равные по величины и противоположные по значку: $q_1 = -q_2$. Поэтому напряжение и потенциал во внешней области обращаются в нуль, а между обкладками ($\text{при } R_1 < r < R_2$) имеют вид

$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} r^2, \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_2} \right).$$

Зависимости $E = E(r)$ и $\varphi = \varphi(r)$ для этого случая представлены на рисунках 8, а и 6. Для определения ею системы сферического конденсатора найдем разность потенциальов на его об-

36

Кладках. Так как потенциаль внешней сферы равен нулю, разность потенциальов

$$\Delta \varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right).$$

Отсюда емкость конденсатора

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$$

Задача 4. Незаряженный металлический шар радиуса r окружающий проводящий оболочкой радиуса R с потенциальом φ. Чему станет равен потенциальом оболочки, если шар заземлить (рис. 9)?

До заземления потенциаль оболочки φ создается неокоторым зарядом q: φ = $\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$. Поскольку шар не заряжен, он имеет тот же самый потенциаль. После заземления потенциаль шара обратился в нуль. Это означает, что на нем появился каои-то заряд. Его величины $q'$ найдем из условия, что суммарный потенциаль, создаваемый зарядами q и $q'$, на поверхности шара равен нулю:

$$\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 r} = 0, \text{ и } q' = -\frac{r}{R} q.$$

Тепер легко найти новый потенциаль оболочки, который создается теми же зарядами q и $q'$:

$$\varphi' = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q(R-r)}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{R-r}{R} \varphi.$$

Задача 5. Пробой ввоздуке наступает в электрическом поле с напряженною $E_M = 3 \cdot 10^4 \text{ B/cm}$. Имеется сфericalный конденсатор с воздушимзаром, наружная обкладка которого имеет радиус R=4 см, а радиус внутренней обкладки подбигается таким, чтобы конденсатор не пробивался при возможно большем значении разности потенциальов. Определите эту максимальную разность потенциальов.