Cầu treo

22

treo
cầu

Y. S. PETROV

Cầu treo… Họ ngạc nhiên với sự táo bạo trong thiết kế, sự thuần khiết và hoàn hảo trong đường nét của họ. Những sợi cáp mỏng thẳng đứng, đi xuống từ những sợi dây võng cong duyên dáng, dễ dàng giữ trên không một dải nhựa đường nhiều tông màu dọc theo đó các máy tự động vội vã chạy qua. Hãy nhìn vào hình - thật là một cảm giác va chạm và nhẹ nhàng! Nhưng đằng sau sự nhẹ nhàng này là hướng đi kỳ diệu của mọi mắt xích của công trình, và sự tĩnh lặng hùng vĩ của nơi lơ lửng phía trên mắt sông là hệ quả của sự cân bằng của những lực vô hình to lớn được tâm trí của các công trình thuần hóa.

Trước khi trở thành một công trình hoàn chỉnh bằng thép và bê tông, công trường được thiết kế và tính toán cẩn thận bởi rất nhiều kỹ sư xây dựng. Nhưng việc thiết kế các vị trí cấu trúc đi trước sự phát triển của lý thuyết toán học tổng quát, lời giải của nhiều toán học chính và toán học cụ thể bài toán. Một trong những bài toán này được đề cập trực tiếp khi bạn nhìn vào một cây cầu treo: đường cong như thế nào, hình dạng nào, dây võng phải đảm bảo thăng bằng?

Thông thường câu hỏi được đặt ra sẽ được trả lời một cách tự tin đáp số-

23

vectơ *). lời giải này chính là nội dung của ghi chú này.

Phần chịu lực ở nơi cao nhất gồm có các sợi dây và thanh treo chúng ta giả sử là thẳng đứng, nằm cách nhau một khoảng bằng nhau và chịu tải như nhau (xem hình). Chúng ta sẽ chạy vượt qua sức nặng của những thanh và sợi dây này. Cuối cùng, chúng ta sẽ giả sử rằng sợi dây đối xứng với một đường thẳng đứng nào đó và nó tuyệt đối mềm dẻo và không thể giãn ra được. Chúng ta hãy lấy mặt phẳng thẳng đứng chứa sợi dây làm mặt phẳng tọa độ, đường thẳng giao nhau của nó với mặt phẳng cao, được coi là nằm ngang, là trục Ox và trục đối xứng là trục Oy. Chúng ta hãy biểu thị bằng khoảng cách giữa các thanh và bằng (x_k, y_k) tọa độ của đỉnh M_k (xem sơ đồ). Giả sử rằng lực căng của liên kết ngang

*) Bạn có thể đọc về vectơ trượt trong bài viết của Yu. P. Solovyov và A. B. Sosinsky trong số tạp chí này. Tuy nhiên, để hiểu lưu ý này, không cần thiết phải chia nhỏ toàn bộ bài viết này một cách chi tiết.

Phần chịu lực của nơi:
dây thừng bị đứt
… M₀M₁M₂M₃ …
thanh treo - phần
… M₁P₁, M₂P₂, M₃P₃, …

23

24

nhưng theo hướng ngược lại.
Theo thông điệp đối xứng, chỉ cần xem xét một nửa sợi dây (chẳng hạn như nửa sợi dây có hoành độ dương). Đỉnh $M_1$ cân bằng dưới tác dụng của ba lực: $T_0$, $F_1$ và $T_{12}$, từ đâu

$$tg a_1 = \frac{|F_1|}{|T_0|} = \frac{p}{T_0}.$$

Đỉnh $M_2$ cân bằng dưới tác dụng của các lực $T_{21}$, $F_2$ và $T_{23}$ nên $tg a_2 = 2p/T_0$. Tương tự như vậy, $tg a_k = kp/T_0$.

Bây giờ chúng ta có thể tính tọa độ $(x_k, y_k)$ của đỉnh $M_k$. tọa độ của đỉnh $M_1$ bằng $(a/2, b)$, trong đó $b$ là khoảng cách từ liên kết ngang đến trục $Ox$. tọa độ của các đỉnh còn lại có thể được tính tuần tự bằng các công thức

$$x_k = x_{k-1} + a, \quad y_k = y_{k-1} + a \ tg a_{k-1}.$$

Kể từ đây,

$$x_k = \frac{a}{2} + (k-1)a,$$

$$y_k = b + \frac{ap}{T_0} [1 + 2 + \ldots + (k-1)] = b + \frac{k(k-1)ap}{2T_0}.$$

Công thức cho $y_k$ có thể thu được bằng cách khác. Để suy ra nó, chỉ cần thay thế các ngoại lực tác dụng lên phần $M_1 M_2 \ldots M_k$ của sợi dây tạo thành một hệ vectơ tương đương với 0 là đủ, do đó tổng mô men của chúng so với điểm $M_k$ bằng 0.