Nghịch lý của chiếc bàn có bốn chân

14

KVANT 2007/№5

Nghịch lý của chiếc bàn có bốn chân

TẠI SAO TÁC GIẢ CHO NGƯỜI ĐỌC CÂU CHUYỆN về một đồ vật đơn giản như chiếc bàn gỗ? Quên rằng bạn đang sống ở thế kỷ hai mươi mốt? Không, tôi chưa quên. Câu chuyện được đề xuất thực sự không chứa đựng bất cứ điều gì mà các chuyên gia không biết. Tuy nhiên, nó rất mang tính hướng dẫn, vì nó cho thấy rằng ngay cả trong trường hợp đơn giản nhất với lời giải vật lý bài toán một số giả định có vẻ hợp lý chắc chắn được đưa ra dựa trên đức tin có thể dẫn đến những kết luận nghịch lý nhất. Điều này sẽ được minh họa bằng cách sử dụng một chiếc bàn gỗ đơn giản làm ví dụ. Nỗ lực đầu tiên để tìm hiểu làm thế nào

Nếu chân bàn chất đầy các vật đứng trên bàn sẽ dẫn chúng ta đến một nghịch lý nào đó. Giải quyết xong, chúng ta sẽ thấy mình phải đối mặt với một bức tranh hoàn toàn mới và những nhiệm vụ mới. Giai đoạn nghiên cứu này – việc phát hiện ra một nghịch lý trong quá trình nghiên cứu lý thuyết và tìm kiếm lối thoát cho nó – vốn có trong nhiều vấn đề vật lý, bao gồm một số vấn đề trong vật lý hiện đại. Điều này khiến tác giả nhớ lại câu chuyện được mô tả dưới đây. Trong những năm sinh viên, tôi đã đọc hồi ký của một người thợ cơ khí nổi tiếng người Nga. Thật không may, bảy thập kỷ trôi qua kể từ đó đã xóa tên nhà khoa học này khỏi trí nhớ. Chỉ còn lại một tình tiết sống động mà anh kể. Tác giả của cuốn hồi ký đã phát hiện ra một điều đáng kinh ngạc - các phương pháp thống kê thực hiện được một nhiệm vụ đơn giản như tính lực của các chân bàn đặt vật nặng lên đó nếu bàn có bốn chân. Và điều này mặc dù thực tế là bài toán quyết định về một chiếc bàn có ba chân là điều cơ bản. Có chuyện gì vậy? Đừng nghĩ rằng phép toán bài toán về chiếc bàn bốn chân khó đến mức không ai giải được. Ngược lại, bài toán là đơn giản cơ bản, và, như bất kỳ nhà toán học nào cũng sẽ nói, việc tìm ra lời giải hoàn chỉnh của nó không khó. Tuy nhiên… Chúng ta hãy chuyển sang lời giải bài toán về một chiếc bàn có bốn chân. Ngoài lực hấp dẫn (bàn và các vật nặng đứng trên nó), còn có bốn lực nữa tác dụng lên bàn, ngăn cản bất kỳ chân nào trong bốn chân rơi qua. Đây là các phản lực hỗ trợ (sàn) được áp dụng cho chân bàn tại các điểm tiếp xúc với sàn. Tất cả các lực này được định hướng theo chiều dọc. Không có lực ma sát vì bàn đứng yên và không ai cố gắng

Minh họa của V. Ivanyuk

G.LYUBARSKY

17

NGHỊCH LÝ

BÀN

tam giác đang được kiểm tra – chúng tôi đồng ý gọi nó là cơ bản. Mỗi pha này có khu vực tồn tại riêng, tức là tập hợp các vị trí của trọng tâm cho phép một pha nhất định. Diện tích của pha (1234) được ký hiệu bằng ký hiệu $\Gamma_{0}$. Đặt $\Gamma_{3}$ là diện tích của pha (123) và $\Gamma_{4}$ là diện tích của pha (124). Chúng ta hãy sử dụng trục tọa độ X và Y được hiển thị trong hình. Chúng ta hãy ký hiệu x và y là tọa độ hình chữ nhật của trọng tâm của hệ “bàn + quả cân”. Gọi a là hoành độ của điểm 2 và b là hoành độ của điểm 3. Từ các định luật tĩnh học, chúng ta thu được ngay

$( F_{3} + F_{4} ) b = Py$,

$( F_{2} + F_{3} ) a = Px$,

$F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} = P$.

Trong thực tế, do khả năng nén của các chân nên những đẳng thức này chỉ mang tính chất gần đúng. Tuy nhiên, chúng có thể được sử dụng nếu sự khác biệt về chiều dài của các chân ở trạng thái không tải và có tải không vượt quá vài mm và cạnh a và b của hình chữ nhật nối các điểm gắn của chân bàn là khoảng một mét. Vì vậy, ví dụ, nếu sự khác biệt về chiều dài của hai chân, do sản xuất không chính xác, là ba milimét, thì điều này sẽ thay đổi khoảng cách giữa hai đầu của chúng ít hơn một phần hai trăm milimét. (Điều này có thể dễ dàng xác minh bằng cách sử dụng định lý Pythagore.) Do đó, một tứ giác có các đỉnh tại các điểm mà hai chân chạm sàn có thể được xem xét với độ chính xác cao bằng hình chữ nhật 1234. Do đó, độ lệch của các chân so với phương thẳng đứng hóa ra vào cỡ một phần trăm nghìn radian. Sự khác biệt giữa các hệ thức cuối cùng mà chúng ta thu được và các hệ thức chính xác do cơ học quy định là nhỏ như nhau. Giả định cơ bản cho ước tính của chúng tôi được thỏa mãn nếu vật liệu chế tạo chân bàn đủ cứng và chiều dài không tải của chúng khác nhau một chút. Vì vậy, trong tương lai chúng ta sẽ không quan tâm đến những tác động liên quan đến sự thay đổi khoảng cách giữa hai đầu chân bàn. Làm thế nào để tìm các khu vực của các giai đoạn có thể? Loại định luật tĩnh học không phụ thuộc vào giai đoạn của bảng. Sự khác biệt ảnh hưởng đến chúng ta theo những cách khác. Do đó, trong pha (1234) cả bốn lực đều dương, và trong các pha còn lại, một lực bằng 0, vì chỉ có ba chân chạm sàn. Ví dụ, trong pha (123)

$F_{i} > 0$ với i = 1, 2, 3 và $F_{4} = 0$.

Một điểm khác biệt nữa là đối với pha (1234), điều kiện đồng phẳng $\lambda_{1} + \lambda_{3} = \lambda_{2} + \lambda_{4}$ nhất thiết phải được thỏa mãn và đối với tất cả các pha khác, nó được thay thế bằng bất đẳng thức, vì trong mỗi pha, một trong hai chân nằm ở trên sàn. Giả sử đối với pha (123), bất đẳng thức $\lambda_{1} + \lambda_{3} > \lambda_{2} + \lambda_{4}$ là đúng. Hãy giải thích nó. Bất bình đẳng có thể chuyển thành bình đẳng nếu

TRÊN

BỐN

CHÂN

nhẩm duỗi chân 4 sao cho đầu của cả 4 chân nằm trên cùng một mặt phẳng - mặt phẳng của sàn. Do đó, sự bất bình đẳng của chúng tôi có nghĩa là trước khi kéo dài, đầu dưới của chân 4 nằm trên sàn. Điều kiện này, cùng với ba phương trình thu được từ các định luật tĩnh học, cho phép chúng ta tìm diện tích pha (123). Bài toán về bảng cho thấy rằng trong quá trình nghiên cứu một đối tượng vật lý, đôi khi cần phải sửa đổi đáng kể mô tả các đặc tính của nó, từ bỏ một mô hình quá đơn giản để chuyển sang một mô hình thực tế hơn. Trong trường hợp chúng tôi đã xem xét, mô hình đơn giản ban đầu hóa ra là không đầy đủ - nó không cho phép chúng tôi tìm ra mô hình đúng duy nhất lời giải. Tuy nhiên, đây chỉ là một mặt của đồng xu. Nếu bạn không nhìn vào mặt khác của nó, bạn có thể đi đến niềm tin sai lầm sâu sắc rằng các biểu diễn đơn giản hóa (mô hình đối tượng) là cái bẫy đối với các nhà nghiên cứu thiếu kinh nghiệm. Độ dài của bài viết không cho phép chúng tôi phát triển ý tưởng này một cách đầy đủ, vì vậy chúng tôi sẽ giới hạn ở hai ví dụ để không hoàn toàn vô căn cứ. Định luật Kepler cho chúng ta bức tranh đơn giản nhất có thể có về chuyển động của các hành tinh quanh Mặt trời: các hành tinh chuyển động theo hình elip. Sự hiện diện của các hành tinh khác phần nào làm lu mờ bức tranh này, nhưng điều này chỉ được các nhà thiên văn học quan tâm. Nếu bạn thích, luật của Kepler rất dân chủ. Thật vậy, nếu những định luật này vẫn còn trong bản thảo của nhà khoa học dưới dạng nguyên liệu thô, như một phép tính gần đúng đầu tiên để xử lý các kết quả quan sát và chỉ những công thức tinh tế mới được đưa vào tạp chí và sách giáo khoa, thì công chúng sẽ biết gì về Hệ Mặt trời của chúng ta? Và bản thân các nhà khoa học “sẽ gặp khó khăn”. Chúng ta hãy nhớ rằng hành tinh Sao Hải Vương được phát hiện do những sai lệch quan sát được so với định luật Kepler trong chuyển động của Sao Thiên Vương, mà (những sai lệch) không thể giải thích được bằng ảnh hưởng của tất cả các hành tinh khác được biết đến vào thời điểm đó. Ví dụ thứ hai là lý thuyết dao động nhỏ. Khoa học và công nghệ nợ nó những khái niệm cơ bản như tần số và dao động tự nhiên, bội số tần số và sự phân tách, quang phổ, âm bội, v.v. Trong khi đó, tất cả những khái niệm này là không thể, hoặc ít nhất là rất khó xác định nếu không đề cập đến lý thuyết gần đúng rõ ràng về dao động nhỏ. Bản thân lý thuyết này nảy sinh do sự tuyến tính hóa của các hệ phương trình vi phân có liên quan, tức là loại bỏ một cách “không khách quan” các hình vuông, hình khối và tất cả các mức độ cao hơn của những sai lệch nhỏ cần tìm của hệ thống đang được nghiên cứu khỏi trạng thái cân bằng của nó. Kết luận - việc chuyển sang các mô hình gần đúng một cách có ý thức có thể rất hiệu quả.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Giáo sư M.I. Kaganov vì sự hỗ trợ của ông trong quá trình thực hiện bài viết.