Парадокс стола на четырёх ножках

14

КВАНТ 2007/№5

Парадокс стола на четырех ножках

ПОЧЕМУ АВТОР ПРЕДЛАГАЕТ ЧИТАТЕЛЯМ РАС- сказ о таком незатейливом предмете, как деревянный стол? Забыл, что живет в двадцать первом веке? Нет, не забыл. Предлагаемый рассказ действительно не содержит ничего неизвестного специалистам. Тем не менее, он весьма поучителен, так как показывает, что даже в простейшем случае при решении физической задачи неизбежно принимаемые на веру те или иные казалось бы правдоподобные предположения могут привести к самым парадоксальным выводам. Это будет показано на примере простого деревянного стола. Первая попытка выяснить, как распределяется меж-

ду ножками стола нагрузка со стороны стоящих на столе предметов, приведет нас к некоторому парадоксу. Разрешив его, мы окажемся лицом к лицу с совершенно новой для нас картиной и новыми задачами. Такой этап исследования – обнаружение парадокса в процессе теоретического исследования и поиски выхода из него – присущ многим физическим задачам, в том числе и некоторым задачам современной физики. Это и побудило автора вспомнить описанную ниже историю. В студенческие годы я прочел воспоминания одного известного русского механика. К сожалению, прошедшие с тех пор семь десятилетий стерли в памяти имя этого ученого. Остался только один рассказанный им яркий эпизод. Автор воспоминаний обнаруживает поразительную вещь – методы статики пасуют перед такой простой задачей, как расчет усилий ножек стола, на котором покоится гиря, если у стола четыре ножки. И это при том, что задача о столе с тремя ножками решается элементарно. В чем же дело? Не нужно думать, что математическая задача о четырехногом столе является настолько сложной, что никто не может ее решить. Наоборот, задача элементарно проста, и, как скажет любой математик, найти ее полное решение не составляет никакого труда. Однако… Приступим к решению задачи о столе о четырех ножках. Помимо сил тяжести (стола и стоящей на нем гири) на стол действуют еще четыре силы, которые не дают провалиться ни одной из четырех ножек. Это реакции опоры (пола), приложенные к ножкам стола в точках их соприкосновения с полом. Все эти силы направлены вертикально. Силы трения отсутствуют, поскольку стол неподвижен и никто не старается

Иллюстрация В.Иванюка

Г.ЛЮБАРСКИЙ

17

ПАРАДОКС

СТОЛА

сматриваемого треугольника – условимся называть его базовым. У каждой из этих фаз есть свой ареал существования, т.е. совокупность тех положений центра тяжести, которые допускают данную фазу. Ареал фазы (1234) обозначим символом $\Gamma_{0}$. Пусть $\Gamma_{3}$ – это ареал фазы (123), а $\Gamma_{4}$ – ареал фазы (124). Воспользуемся изображенными на рисунке осями координат X и Y. Обозначим через x и y прямоугольные координаты центра тяжести системы «стол + гиря». Пусть a – абсцисса точки 2, а b – ордината точки 3. Из законов статики сразу же получаем

$( F_{3} + F_{4} ) b = Py$,

$( F_{2} + F_{3} ) a = Px$,

$F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} = P$.

В действительности, из-за сжимаемости ножек, эти равенства являются приближенными. Тем не менее, ими можно пользоваться, если разности длин ножек как в ненагруженном, так и в нагруженном состоянии не превышают нескольких миллиметров, а стороны a и b прямоугольника, соединяющего точки крепления ножек стола, порядка одного метра. Так, например, если разность длин двух ножек, вызванная неточностью изготовления, составляет три миллиметра, то это изменит расстояние между их концами менее чем на одну двухсотую миллиметра. (В этом легко убедиться, воспользовавшись теоремой Пифагора.) Поэтому четырехугольник с вершинами в точках, в которых ножки касаются пола, можно с высокой степенью точности считать равным прямоугольнику 1234. Как следствие этого, отклонения ножек от вертикали оказываются порядка стотысячных долей радиана. Столь же мало и отличие полученных нами последних соотношений от точных соотношений, диктуемых механикой. Предположение, лежащее в основе наших оценок, выполняется, если материал, из которого сделаны ножки стола, является достаточно жестким, а их длины в ненагруженном состоянии достаточно мало отличаются друг от друга. Поэтому в дальнейшем мы не будем интересоваться эффектами, связанными с изменениями расстояний между концами ножек стола. Как найти ареалы возможных фаз? Вид законов статики не зависит от того, в какой фазе находится стол. Отличия сказываются в другом. Так, в фазе (1234) все четыре силы положительны, а в остальных фазах одна из сил равна нулю, поскольку только три ножки касаются пола. Например, в фазе (123)

$F_{i} > 0$ для i = 1, 2, 3 и $F_{4} = 0$.

Другое отличие состоит в том, что для фазы (1234) условие компланарности $\lambda_{1} + \lambda_{3} = \lambda_{2} + \lambda_{4}$ выполняется обязательно, а для всех остальных фаз оно заменяется неравенствами, поскольку в каждой из фаз одна из ножек находится над полом. Скажем, для фазы (123) справедливо неравенство $\lambda_{1} + \lambda_{3} > \lambda_{2} + \lambda_{4}$. Поясним его. Неравенство можно превратить в равенство, если

НА

ЧЕТЫРЕХ

НОЖКАХ

мысленно нарастить ножку 4 так, чтобы концы всех четырех ножек оказались в одной плоскости – плоскости пола. Наше неравенство означает, следовательно, что до наращивания нижний конец ножки 4 находился над полом. Это условие вместе с тремя уравнениями, полученными из законов статики, и позволяет найти ареал фазы (123). Задача о столе показала, что в процессе исследования физического объекта иногда приходится существенно модифицировать описание его свойств, отказываясь от излишне упрощенной модели в пользу более реалистичной. В рассмотренном нами случае исходная простая модель оказалась неполной – она не позволила найти единственно правильное решение. Однако, это только одна сторона медали. Если не посмотреть на другую ее сторону, то можно прийти к глубоко ошибочному убеждению, будто упрощенные представления (модели объектов) – это ловушки для неискушенных исследователей. Размеры статьи не позволяют развить эту мысль сколько-нибудь полно, поэтому ограничимся двумя примерами, чтобы не быть уж совсем голословными. Законы Кеплера дают нам максимально простую картину движения планет вокруг Солнца: планеты движутся по эллипсам. Наличие других планет несколько затуманивает эту картину, но это интересует только астрономов. Если хотите, законы Кеплера очень демократичны. Действительно, если бы эти законы остались в рукописях ученого как сырой материал, как первое приближение обработки результатов наблюдений, а в журналы и учебники попали только уточненные формулы, что бы знала широкая публика о нашей Солнечной системе? Да и самим ученым «пришлось бы не сладко». Вспомним, что планета Нептун была открыта благодаря наблюденным отклонениям от законов Кеплера в движении Урана, которые (отклонения) нельзя было объяснить влиянием всех остальных известных к тому времени планет. Второй пример – это теория малых колебаний. Наука и техника обязаны ей такими фундаментальными понятиями, как собственные частоты и колебания, кратность частот и их расщепление, спектры, обертоны и т.п.. Между тем, все эти понятия невозможно или, по крайней мере, очень трудно, определить, не обращаясь к заведомо приближенной теории малых колебаний. Сама же эта теория возникла в результате линеаризации относящихся к делу систем дифференциальных уравнений, т.е. «бесцеремонного» отбрасывания квадратов, кубов и всех более высоких степеней искомых малых отклонений изучаемой системы от ее равновесного состояния. Вывод – сознательное обращение к приближенным моделям бывает очень плодотворным.

Автор признателен профессору М.И.Каганову за оказанную помощь в процессе работы над статьей.