Задачи

Задачи

В Солнечном городе образованы три партии коротышек: винтиков, шпунтиков и болтиков. Оказалось, что для любых трех членов партий найдется партия, в которую входят по крайней мере двое из них. Верно ли, что все члены одной из партий являются членами какой-то из двух других партий? Д.Калинин

Колонна солдат-новобранцев выстроилась несколькими одинаковыми шеренгами, составляющими прямоугольник. По команде «смирно» некоторые из солдат с перепугу сделали поворот направо, некоторые – налево, другие – кругом, а кое-кто вообще остолбенел и остался неподвижен. Далее через каждую секунду происходит следующее: каждый новобранец, оказавшийся лицом к лицу с другим солдатом, делает поворот направо. а) Докажите, что рано или поздно такие повороты прекратятся. б) Прекратятся ли повороты, если поворачиваются не оба солдата, оказавшиеся лицом к лицу, а только один из них? И.Акулич

Для любых неотрицательных чисел a, b справедливо неравенство

$2^{3}$

$3^{2}$

$(^{a} +^{b} )$ ³ $(^{a} +^{b} )$.

2

3

Докажите это.

В.Сендеров

В круг площади 1 вписали квадрат, а в него – новый круг, который закрасили в синий цвет. Затем в квадрат площади 1 вписали круг, а в него – квадрат, который закрасили в синий цвет. Чья площадь больше: синего круга или синего квадрата? В.Произволов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрация Д.Гришуковой

Числа от 1 до 9 расставьте в кружки фигуры так, чтобы сумма трех чисел, расположенных в кружкахвершинах всех белых треугольников, была одной и той же, а во всех зеленых – тоже одной и той же, но на 3 больше. Н.Авилов