Практическая задача по механике

Квант 2007, №5 с. 51, 55 Тег ELIF

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Ю.НОСОВ

ВОЗЬМЕМ ДЕРЕВЯННЫЙ БРУСОК РАЗМЕРОМ 2 ѣ 3 ѣ 10 СМ.

Зажмем брусок в тиски, как показано на рисунке, и начнем распиливать его вдоль длинной стороны на две части. В процессе работы будем следить за тем, чтобы ножовкой не задеть винт тисков. Полностью распилим брусок от края до края, ослабим тиски и вынем два новых более тонких бруска. Подчеркнем, что вся операция производится при одном и том же исходном сжатии тисков и не делается никаких перестановок или передвижек бруска. Как же получается, что тиски – несмотря на то, что сжимают брусок, – не мешают разрезать его на две части?

Разумеется, эта задача представляет собой практическую (лабораторную) работу по механике, для которой строгого решения дать нельзя. Но вполне можно удовлетвориться следующими качественными рассуждениями. В нашем эксперименте удержание деревянного бруска обеспечивается силой сжатия тисков F, создаваемой винтом (см. рисунок). Чтобы сдвинуть брусок вниз, надо приложить силу $F_{вниз}$ , превышающую силу трения покоя

$F_{тр} = kF$ , где k – коэффициент трения между губками тисков и бруском. Величина силы F столь велика, что сдвинуть брусок рукой в сжатых тисках не удается. Почему же нам удается перемещать полотно пилы вверх – вниз при продольном разрезании бруска? Оказывается, что для этой пары материалов (полотно пилы – дерево) сила трения покоя $F_{тр1}$ существенно меньше $F_{тр}$ , и, как следствие, сила, необходимая для перемещения пилы, существенно меньше $F_{вниз}$ . Для этой пары

$F_{тр1} = k_{1} F_{1}$ ,

где $k_{1}$ – коэффициент трения между полотном пилы и бруском, $F_{1}$ – сжимающая сила. Сила сжатия полотна пилы $F_{1}$ во столько раз меньше полной силы сжатия тисков F, во сколько раз площадь сжатого полотна пилы меньше полной площади губок тисков, т.е.

$F_{1} =$ l F, L где l – ширина полотна пилы и L – полная ширина губок тисков. Чтобы уменьшить силу $F_{1}$ , в нашем эксперименте мы применяем пилу с малой шириной полотна l, например полотно ножовки по металлу. Используя примерные размеры l = 15 мм и L = 150 мм, получим $F_{1} = 0,1 F$ . Коэффициент трения покоя (и скольжения) $k_{1}$ также много меньше k, так как в случае пилы в контакт с деревом вступает в основном гладкая поверхность стального полотна, а не гофрированная поверхность губок тисков. Таким образом, в нашем опыте $F_{1} = F$ и $k_{1} = k$ , что приводит к выводу

$F_{тр1} = F_{тр}$ .

Однако в проводимом эксперименте мы не только перемещаем пилу вверх – вниз, но и разрушаем древесные волокна при распиливании. Это требует приложения дополнительной силы $F_{2}$ вдоль направления разрезания. Уменьшить величину силы $F_{2}$ можно, используя пилу с очень мелким зубом, например опять же ножовку по металлу или лобзик. Одно замечание. На первый взгляд может показаться, что при распиливании бруска область В, где уже распил осуществлен, перестает принимать участие в удержании бруска в тисках. Это не так. В силу упругости дерева и малой толщины полотна пилы (: 0,5 - 0,7 мм ) область В сжата практически с такой же силой, как и область А, где распила еще нет. Таким образом, при действии пилы брусок всегда сжат по всей ширине губок тисков. Реальный успех в проведении обсуждаемого опыта показывает, что рука экспериментатора вполне может развить силу, превышающую $F_{тр1}$ и $F_{2}$ , и успешно провести распиливание бруска, сжатого тисками. Хочется надеяться, что приведенное решение задачи позволит вам самостоятельно ответить (на качественном уровне) на следующие вопросы. Как влияет на результат эксперимента: сила сжатия тисков; ширина полотна пилы; породы дерева бруска; силы, прикладываемые к пиле?

Информацию о журнале «Квант» и некоторые материалы из журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ по адресам:

Редакция журнала «Квант» kvant.info Московский центр непрерывного математического образования kvant.mccme.ru Московский детский клуб «Компьютер» math.child.ru Костромской центр дополнительного образования «Эврика» ceemat.ru

ОЛИМПИАДЫ

См. задачу 5 для 9 класса. 6. Существуют ли ненулевые числа a, b, c такие, что при любом n > 3 можно найти многочлен вида $P_{n} ( x ) = x^{n} + K K + ax^{2} + bx + c$ , имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней? Н.Агаханов, И.Богданов
Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров? А.Заславский

В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого $k ( 2^{£} k^{£} N )$ при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2k – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании. И. Богданов, Г. Челноков

Призеры олимпиады

Дипломы I степени по 8 классам получили Ивлев Федор – Москва, гимназия 1543, Матдинов Марсель – Оренбург, гимназия 1;

по 9 классам – Ерохин Станислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Брагин Владимир – Снежинск, гимназия 127;

Янушевич Леонид – Москва, дистанционная школа «i- школа», Поляков Владимир – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Бажов Иван – Екатеринбург, гимназия 9, Андреев Михаил – Москва, Московская государственная Пятьдесят седьмая школа;

по 11 классам – Есин Алексей – Краснодарский кр., ст.Старонижестеблиевская, школа 55.

по 11 классам – Волков Владислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 10 кл., Илюхина Мария – Москва, лицей «Вторая школа», Матвеев Константин – Омск, лицей 66, Дроздов Сергей – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Митрофанов Иван – Коломна, гимназия 2, Лысов Михаил – Москва, лицей «Вторая школа», Сафин Станислав – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Лишанский Андрей – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Логунов Александр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Сеплярскмя Анна – Черноголовка, школа 82, Ярушин Дмитрий – Челябинск, лицей 31, Арутюнов Владимир – Москва, гимназия 1543.

Дипломы II степени

Дипломы III степени по 8 классам получили Медведь Никита – Москва, лицей «Вторая школа», Мокин Василий – Саратов, ФТЛ 1, Блинов Андрей – Москва, школа-интернат «Интеллектуал»;

по 8 классам получили Бондаренко Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Юдин Сергей – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Голова Анна – Краснодар, школа 74, Исаак Евгений – Курган, школа 38, Печина Анна – Долгопрудный, школа 5, Пивень Никита – Майкоп, школа 8, Беляков Сергей – Омск, лицей 64, Кондратьев Михаил – Майкоп, гимназия 22, Курносов Артем – Нижнекамск, лицей-интернат 24, Сергиенко Ярослав – Краснодар, лицей «ИСТЭК», 7 кл., Степанов Борис – Екатеринбург, гимназия 9, Южанин Денис – Киров, ФМЛ, Довгалюк Екатерина – Нижний Новгород, лицей 165;

по 10 классам – Ардинарцев Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Горинов Евгений – Киров, ФМЛ, Кевер Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Омельяненко Виктор – Белгород, лицей 38, 8 кл., Бабичев Дмитрий – Долгопрудный, школа 5, Кудык Никита – Омск, школа 117;

по 9 классам – Ненашев Глеб – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Погорелов Дмитрий – Нижний Новгород, лицей 165, Гусев Даниил – Дзержинск, школа 2, Орлов Олег – Пермь, школа 146, Шабалин Филипп – Киров, ФМЛ, Бочкарёв Михаил – Пермь, школа 9, Глюз Борис – Майкоп, гимназия 22, Нижибицкий Евгений – Краснодар, школа 73, Русских Марианна – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Семенов Александр – Белорецк, Белорецкая компьютерная школа, Царьков Олег – Москва, лицей «Вторая школа», Кондакова Елизавета – Москва, лицей «Вторая школа», Попов Леонид – Пермь, школа 146, Черкашин Данила – Санкт-Петербург, лицей 533, Кушнир Андрей – Иркутск, лицей 2, 8 кл., Савенков Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл., Савчик Алексей – Москва, Московская государственная Пятьдесят седьмая школа;

по 9 классам – Климовицкий Иосиф – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл., Лукьянец Евгений – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Горбачева Ирина – Краснодар, школа 64, 8 кл., Гусев Антон – Омск, лицей 64, Кузнецов Ростислав – Киров, ФМЛ, Радонец Алексей – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Тыщук Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл., Устинов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл.;

по 10 классам – Бойкий Роман – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, по 10 классам – Машковский Артем – Челябинск, лицей 31,

ОЛИМПИАДЫ

когда напряжение на конденсаторе максимально, его емкость скачкообразно уменьшают на долю $\varepsilon^{=} \Delta C C$ . Через четверть периода $\pi LC 2$ емкость скачком увеличивают до прежнего значения, еще через четверть периода емкость вновь скачкообразно уменьшают на долю $\varepsilon$ и так далее. При определенных условиях в схеме могут возбудиться незатухающие электрические колебания. В схему включен нелинейный элемент (лампочка накаливания Л), вольт-амперная характеристика которой представлена на рисунке 12. Найдите минимальное значение $\varepsilon_{min}$ , при котором в схеме возбуждаются незатухающие колебания, если L = 0,1 Гн, С $= 10^{-} 7$ Ф. Найдите также амплитуду $U_{0}$ установившихся колебаний напряжения на лампочке, если $\varepsilon^{=}$ 3%. Примечание. Необходимые построения следует выполнять непосредственно на данном рисунке. С.Жак

Рис. 12

Призеры олимпиады

Дипломы I степени по 9 классам получили

Соболев Антон – Санкт-Петербург, Григорьевых Даниил – Удмуртская Республика, Землянов Владислав – Ханты-Мансийский автономный округ, Кравчук Петр – Санкт-Петербург, Бычин Андрей – Алтайский край, Бычина Ольга – Алтайский край;

по 10 классам – Зеленеев Андрей – Кировская область, Плешаков Руслан – Приморский край, Степанов Евгений – Москва, Мельников Игорь – Челябинская область, Самойлов Леонид – Саратовская область, Сашурин Александр – Москва;

по 11 классам – Кулиев Виталий – Кировская область, Дроздов Илья – Санкт-Петербург, Ефимов Сергей – Алтайский край, Мыльников Дмитрий – Самарская область, Пех Павел – Красноярский край.

Дипломы II степени по 9 классам получили

Лисицкий Дмитрий – Республика Башкортостан, Мосунова Дарья – Нижегородская область, Старков Григорий – Ямало-Ненецкий автономный округ, Либерзон Даниил – Кировская область, Берсенев Никита – Москва, Горностаев Дмитрий – Республика Мордовия, Мельников Михаил – Санкт-Петербург, Толмачев Лев – Москва, Кузнецов Иван – Москва, Усманова Динара – Челябинская область, Чернышов Иван – Москва;

по 10 классам – Матвеев Харитон – Москва, Павлов Артем – Республика Коми,

Шалашугина Елена – Свердловская область, Шульчевский Дмитрий – Москва, Ларченко Илья – Брянская область, Фейзханов Рустем – Москва, Анисимов Кирилл – Саратовская область, Барсков Кирилл – Омская область, Кузьмин Александр – Новосибирская область, Малышев Евгений – Санкт-Петербург;

по 11 классам – Белан Сергей – Республика Адыгея, Бельтюков Ярослав – Санкт-Петербург, Власов Владислав – Красноярский край, Соловьева Ксения – Пермский край, Будкин Григорий – Санкт-Петербург, Пестременко Максим – Санкт-Петербург, Поташёв Александр – Москва, Дербышев Андрей – Ярославская область, Котов Андрей – Москва, Еловиков Андрей – Алтайский край, Кострыгин Анатолий – Санкт-Петербург, Проскурин Михаил – Ханты-Мансийский автономный округ.

Дипломы III степени по 9 классам получили

Кудряшова Нина – Алтайский край, Корольков Андрей – Московская область, Дорошенко Андрей – Омская область, Галашин Павел – Санкт-Петербург, Куняев Дмитрий – Московская область, Трегубов Дмитрий – Кировская область, Матросов Михаил – Воронежская область, Рунов Борис – Санкт-Петербург, Лебедев Вадим – Санкт-Петербург, Штенников Михаил – Пермский край, Даниленко Иван – Москва, Захаров Дмитрий – Московская область, Алюшин Алексей – Тамбовская область, Булдашев Иван – Челябинская область, Казеев Александр – Камчатская область;

по 10 классам – Маслов Ярослав – Кемеровская область,