Bài toán

29

KMS

Bài toán

4 đội tham gia giải bóng đá vòng tròn. Đội ghi được 3 điểm chiếm vị trí thứ hai “thuần túy”. Khôi phục kết quả của tất cả các trận đấu. Vị trí thứ hai rõ ràng có nghĩa là không còn đội nào có cùng số điểm và có đúng một đội có nhiều điểm hơn. Một trận thắng được tính 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm. A. Blinkov

mẹ sau 4 phút là một “đốm hình chữ nhật” có kích thước bằng $6\times 10$ ô đơn (xem hình bên phải). E. Sokolov

Lena đi dạo với chú chó con trong công viên. Ngay khi cô thấy mình đang ở đầu con đường dài 41 m chạy dọc công viên, cô bạn Katya đã xuất hiện ở cuối con đường này. Chú chó con bắt đầu vui vẻ chạy từ Lena đến Katya rồi chạy ngược lại nhiều lần cho đến khi những người bạn gặp nhau ở khoảng cách 13 m tính từ đầu đường. Tổng cộng, chú chó con đã chạy được 85 m. Anh ta đã chạy bao xa về một hướng và bao xa về hướng kia? G. Galperin

Nhà máy sản xuất bộ năm con voi trắng với nhiều kích cỡ và trọng lượng khác nhau. Nếu bạn sắp xếp những con voi theo chiều cao thì theo tiêu chuẩn, sự khác biệt về khối lượng của những con voi lân cận sẽ giống nhau. Liệu thanh tra viên có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng cân chảo không có quả nặng không? Điều gì sẽ xảy ra nếu bộ gồm có bốn con voi? A. Shapovalov

Trên mặt phẳng có hai hình chữ nhật P và Q, giao điểm của chúng là một hình bát giác đều (không nhất thiết phải đều). Chứng minh rằng P và Q là các hình vuông có chung tâm. K. Matveev

Minh họa của D. Grishukova

Quan sát sự lan rộng của vết mực trên giấy thấm, Petya đã xây dựng định luật lan truyền vết mực: mỗi điểm mà vết mực chạm tới sẽ trở thành nguồn của các vết mực tròn thứ cấp (xem hình ở bên trái) và tốc độ phát triển của vết mực thứ cấp là 1 ô mỗi phút. Cho rằng luật này là công bằng, hãy tìm xem lĩnh vực nào sẽ được áp dụng

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

31

ĐẾN

dưới cùng: trong gương, sàn nhà sẽ ở trên cùng, cao nhất và mọi người sẽ đi lộn ngược trên đó. Nếu bạn muốn đổi chỗ cho bên phải và bên trái, bạn cũng có thể thực hiện cách này: đặt một chiếc gương ở bên cạnh. Đây chính xác là những gì đã xảy ra vào năm bài toán, khi bài báo bắt đầu: Tôi đang đi xe buýt vào đêm khuya và cửa sổ bên của xe buýt đóng vai trò như một tấm gương. Đồng thời, các con số đi theo thứ tự ngược lại: 2051 ® 1502. Khi phản chiếu, hai số biến thành số 5 và ngược lại, và trên đồng hồ trong gương tôi thấy 12:05. Điều gì sẽ xảy ra nếu chiếc gương đứng trước đồng hồ (hình5)? Trong trường hợp này, để nhìn thấy đồng hồ điện tử và ảnh trong gương cùng một lúc, cần phải

Hình 5

để đồng hồ trong suốt. Nhưng khi đó cả đồng hồ và gương đều có cùng số. Nếu đồng hồ mờ đục thì tôi sẽ không nhìn thấy những gì nó hiển thị, hoặc (nếu tôi đang ngồi giữa đồng hồ và gương) tôi sẽ phải quay đầu lại để nhìn nó từ phía bên kia. Trong khi đó, điều kiện chỉ nói “hướng ánh mắt”. Điều gì xảy ra với cuốn sách? Và điều gì xảy ra với một người “qua kính nhìn”? Ở đây phải tính đến hai yếu tố: (1) không thể có sự đối xứng trong không gian, (2) nhưng hai đối xứng có thể được thực hiện đồng thời. Và sự đối xứng thực sự “mặt sau của đầu”, bằng cách thực hiện hai phép đối xứng, ngay lập tức biến thành sự đối xứng “từ phải sang trái” mà chúng ta cho là đã quan sát được. Đây là cách nó xảy ra. Cuốn sổ không giống như biển số, mờ đục. Để hiển thị văn bản của cô ấy trong gương, bạn phải xoay văn bản của cô ấy về phía gương, tức là hoán đổi vị trí “trước” và “sau” của nó (bạn không còn giữ cuốn sách về phía mình giống như khi đọc: không phải với văn bản mà là mở bìa). Nhưng chúng ta không thể chỉ thay đổi mặt trước và mặt sau: trong không gian ba chiều của chúng ta không thể tạo ra sự phản chiếu chỉ trong một mặt phẳng, nhưng chúng ta có thể thực hiện nó đồng thời trên hai mặt phẳng. Sự phản xạ trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau cùng một lúc là một phép quay $180 ^\circ$. Vì vậy, thay vì phản chiếu cuốn sách (điều này là không thể), bạn xoay cuốn sách theo $180 ^\circ$, trước tiên thay đổi mặt trước và mặt sau, sau đó là bên phải và bên trái. Kết quả là, một người nhìn vào văn bản trong gương sẽ thấy rằng mặt trước và mặt sau của cuốn sách trong gương được đặt ở vị trí bình thường: trang mở ở ngay trước mắt, lẽ ra phải như vậy, nhưng bên phải và bên trái thực sự đã thay đổi vị trí. Có thể

M

Sh

Hình 6

Có thể lật sách theo cách khác sao cho bên phải vẫn ở bên phải, nhưng trên và dưới (hình6) sẽ thay đổi, nhưng thường thì không ai cầm ngược sách. Nếu điều này trở thành một thói quen trong chúng ta, có lẽ chúng ta sẽ có xu hướng nghĩ rằng sự lên xuống bị đảo ngược trong gương. Nhưng điều đó khó xảy ra. Rốt cuộc, còn có một lập luận chính khác: người đàn ông trong gương. Có phải anh ấy thực sự có vẻ như có tay phải ở bên trái? Nhưng ở đây, câu chuyện cũng giống như trong cuốn sách. Một người không thể tìm thấy chính mình trong một tấm gương soi. Nhưng thật dễ dàng để tưởng tượng cách đi vòng qua gương và đứng ở phía bên kia. Sau đó tâm lý bắt đầu. Một người gần như đối xứng với mặt phẳng chia anh ta thành hai nửa bên phải và bên trái. Và nó không đối xứng so với mặt phẳng chia nó thành hai nửa trước và sau. Phần sau đầu nằm đối xứng với khuôn mặt nhưng lại hoàn toàn khác. Nhưng tay trái khá giống tay phải. Hãy tưởng tượng rằng Vitya đang đứng trước một mặt phẳng nhất định mà chúng ta thường gọi là “tấm gương”, nhưng qua đó người ta có thể đi qua, và người anh em song sinh Mitya của anh ấy đã đi qua mặt phẳng này. Anh ấy đứng giống hệt Vitya (mũi hướng về phía bắc, quay đầu về phía nam). “Nhưng,” Vitya nghĩ, “anh ấy hoàn toàn khác với hình ảnh phản chiếu của tôi: xét cho cùng, trong gương tôi nhìn thấy mũi của mình chứ không phải phía sau đầu.” - Nào, quay lại đi! - anh ra lệnh cho Mitya. Mitya quay lại… Đây là nơi điều quan trọng nhất xảy ra. Một người không thể thực hiện một phản xạ (sao cho trái tim ở bên phải), nhưng anh ta có thể dễ dàng thực hiện hai phản xạ cùng một lúc: xét cho cùng, kết quả (thành phần) của hai phản xạ là một lượt, trong trường hợp này là một lượt $180^\circ.$ Vì vậy, Mitya quay, tức là được phản ánh đồng thời trên hai mặt phẳng: “trước-sau” (bắc và nam đổi chỗ) và “phải-trái” (thay đổi tây và đông). “Bây giờ,” Vitya nghĩ, “Mitya đã đứng dậy một cách chính xác, giống hệt như hình ảnh phản chiếu của tôi. Chỉ có tay phải của anh ấy đối diện với tay trái của tôi - trong gương thì sẽ không như vậy. Điều này có nghĩa là trong gương của tôi có đôi, chính bên phải và bên trái đổi chỗ cho nhau.” Không, Vitya thân mến! Gương đôi trán và sau đầu đổi chỗ; Bạn so sánh anh ta với Mitya, không nhận thấy rằng Mitya đã thực hiện một phản xạ kép. Sai lầm của bạn xuất phát từ đây.

33

Hình 9

Hình 12

Hình 12

Hình 13

Hình 10

Hình 11

chưa ai thành công trong việc tạo ra một hình vuông chỉ cho phép xếp gạch không định kỳ!

Bạn có biết rằng:

1. Mặt phẳng có thể được chia thành các hình bảy cạnh không lồi giống hệt nhau.

2. Nếu mặt phẳng được chia thành các hình bảy cạnh lồi thì trong số đó có một hình nhỏ tùy ý hoặc một hình lớn tùy ý. 3. Có một ví dụ về việc chia không gian thành 38 mặt lồi bằng nhau, nhưng không ai biết liệu số 38 có thể thay thế bằng số lớn hơn hay không. 4. Có một bộ ba đa giác lồi có thể được sử dụng để xếp một mặt phẳng theo vô số cách, nhưng mỗi cách này đều không tuần hoàn. Tuy nhiên, không ai biết liệu số 3 có thể rút gọn được hay không - đây là một bài toán mở. Trong không gian bài toán đã được giải quyết - có một khối đa diện có thể được sử dụng để lát toàn bộ không gian, nhưng chỉ không theo định kỳ. 5. Người ta chưa biết khối tứ diện nào có thể được sử dụng để bao phủ toàn bộ không gian. 6. Có 3 loại hình lục giác lồi và 14 loại hình ngũ giác lồi có thể dùng để bao phủ toàn bộ mặt phẳng. Bài toán về những cái không lồi là mở. 7. Không ai biết liệu có một thuật toán lấy đa giác làm đầu vào hay không và ở đầu ra cho biết liệu có thể xếp toàn bộ mặt phẳng bằng đa giác này hay không. S. Markelov Các bình luận về bài viết có thể được gửi tới tác giả tại [email protected].

Tài liệu của bài viết này có sẵn tại www.mccme.ru/ ~markelov. Bất cứ ai cũng có thể sao chép bài viết hoặc một phần của nó dưới bất kỳ hình thức nào mà không cần sự cho phép của tác giả.