Phỏng vấn A. B. Sosinsky

Kvant 2009, số 3 tr. 18-24 Thẻ V1E0

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

KVANT 2009/№3

đơn vị $10^{20} м^{-} 3$ . Theo quy định, bán kính Debye khá nhỏ (ví dụ: đối với plasma của lò phản ứng ITER có T = 10 keV và $n = 10^{20} м^{-} 3$ giá trị $\lambda_{D}$ là khoảng 100 micron) và nhỏ hơn đáng kể so với kích thước của chính vùng plasma.

Hạn chế về giới hạn tản nhiệt

Ở các sinh vật sống trên Trái đất, cường độ dòng nhiệt tuần hoàn do Mặt trời quy định. Một dòng nhiệt khoảng 1 kW $м^{2}$ đến bề mặt Trái đất từ Mặt trời, trong đó khoảng 300 W $м^{2}$ được hấp thụ. Đối với cây cao, dòng nhiệt này kích hoạt cơ chế chính là nước dâng lên trên thân cây (với sự bốc hơi của nước qua khí khổng). Hóa ra, mặc dù diện tích chiếm giữ của khí khổng chỉ bằng khoảng 1% diện tích lá, nhưng sự bốc hơi qua chúng xảy ra với tốc độ xấp xỉ như từ bề mặt mở. (Bản chất của nghịch lý này được mô tả trong bài viết “Những chiếc lá đang mỉm cười” của A. Mineev ở «Kvant» Số 4, 2006 - Ed.) Độ lớn của dòng nhiệt riêng được loại bỏ qua da động vật trong quá trình bay hơi nói chung là giống nhau. Vì vậy, đối với một người ở trạng thái bình tĩnh, nó là khoảng 50 W $м^{2}$ . Với nỗ lực thể chất tối đa, chẳng hạn như một vận động viên chạy nước rút phá kỷ lục, tỷ lệ nhiệt năng giải phóng trong quá trình chạy trên diện tích bề mặt cơ thể của người chạy có thể đạt tới 2 kW $м^{2}$ . Cơ thể con người không còn thời gian để loại bỏ lượng nhiệt này

(lên đến 1 kW $м^{2} ),$ được loại bỏ qua da và trong khi chạy, nhiệt độ cơ thể của một vận động viên chạy nước rút kỷ lục như vậy phải tăng lên. Và dòng nhiệt trong thiết bị plasma có thể đạt tới những giá trị nào? Trong lò phản ứng năng lượng, plasma phải được làm nóng đến nhiệt độ khoảng 100 triệu độ bằng cách đưa một nguồn nhiệt nhất định từ bên ngoài thông qua các cửa sổ đầu vào đặc biệt. Dòng nhiệt cụ thể đạt được là $10^{-} 50$ MW $м^{2}$ (ở dạng chùm hạt hoặc điện từ) Phần chính của năng lượng nhiệt hạch đến từ neutron (ví dụ, trong phản ứng $D^{+} + T^{+}$ ® $He^{+} + + n$ neutron mang đi năng lượng: 14 MeV), đối với chúng, thông lượng nhiệt riêng tới các thành xung quanh plasma là 1 - 3 MW $м^{2}$ Cần lưu ý rằng song song với việc lắp đặt nhiệt hạch trong lò phản ứng ITER sẽ tạo ra một giá đỡ đặc biệt để thử nghiệm vật liệu dưới tác động của neutron nhiệt hạch. Giá đỡ này là một máy gia tốc lớn, từ đó một chùm deuteron chạm vào mục tiêu lithium. Phản ứng $D +^{6} Li ®^{8} Be + n$ tạo ra neutron có phổ gần giống với nhiệt hạch để đạt được tải neutron ở mức $1^{-} 2$ MW $м^{2}$ cần thiết cho vật liệu thử nghiệm từ nguyên tử deuterium đến mục tiêu lithium đạt 1000 MW $м^{2}$ ! lithium lỏng di chuyển dọc theo một băng tải được thiết kế đặc biệt ở tốc độ cao (: 20 m/s).

PHỎNG VẤN CỦA CHÚNG TÔI

Phỏng vấn A.B. Sosinsky

Alexey Bronislavovich Sosinsky là nhà toán học nổi tiếng, tác giả của nhiều sách và bài báo khoa học và khoa học đại chúng, trong đó có chuyên khảo (chung với V.V. Prasolov) “Nút thắt, mắt xích, bím tóc và đa tạp ba chiều”, cuốn sách khoa học đại chúng (được dịch sang 6 thứ tiếng) “Nút thắt. Niên đại của một lý thuyết toán học”. Trong nhiều năm, Alexey Bronislavovich là biên tập viên khoa toán «Kvant». Ông là một trong những cộng tác viên thường xuyên của tạp chí chúng tôi, một giảng viên và giáo viên xuất sắc. Trên trang web mathnet.ru bạn có thể xem phim bài giảng “Định lý Gödel” của ông. Chúng tôi cũng khuyên bạn nên làm quen với báo cáo “Toán học tung hứng” do Jean-Christophe Novelli và Florent Iver đọc, trong đó A.B. Sosinsky đóng vai trò là người phiên dịch (xem trang web mccme.ru). Đây không phải là ngẫu nhiên: Alexey Bronislavovich đã nói tiếng Pháp và tiếng Anh từ khi còn nhỏ. Nhiều nhà toán học Nga đã học cách viết các bài báo khoa học bằng tiếng Anh từ A.B. Cuốn sách “Cách viết một bài báo toán học bằng tiếng Anh” của Sosinsky. Alexey Bronislavovich là một người có số phận thú vị, và chúng tôi hân hạnh được giới thiệu với độc giả câu chuyện của ông về bản thân ông, về các nhà toán học và toán học.

– Có lẽ bạn có thể cho chúng tôi biết trước tiên về gia đình bạn, bố mẹ bạn là ai…

– Nói sơ qua về phả hệ của tôi thôi. Cha tôi là một trong những quý tộc không có đất (cha ông, ông nội tôi, là một kỹ sư đường sắt rất nổi tiếng), đã chiến đấu chống lại những người Bolshevik, di cư sau khi nội chiến kết thúc và định cư ở Paris trong nhiều năm. Ở đó, ông gặp mẹ tôi, Ariadna Chernova, con gái của Viktor Mikhailovich Chernov, lãnh đạo và nhà lý luận chính của Đảng Cách mạng Xã hội Chủ nghĩa, Chủ tịch Quốc hội Lập hiến trước khi đảng này bị những người Bolshevik giải tán. Tôi nghĩ chẳng ích gì khi kể cho độc giả «Kvant» về cuộc đời của bố mẹ tôi và thời thơ ấu của tôi. Hãy để tôi bắt đầu ngay từ thời điểm tôi theo học tại Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Moscow. Tôi được nhận vào Khoa Cơ và Toán ở tuổi 19 vào thẳng năm thứ hai. Trước đó tôi sống và học tập ở nước ngoài. Tôi sinh ra ở Pháp và nhận bằng đại học đầu tiên ở Hoa Kỳ vào năm 1957 - bằng cử nhân của Đại học New York. Đồng thời, tôi được mời vào học cao học tại Viện Toán học Courant, nhưng tôi từ chối, nhận ra rằng vào thời điểm đó, tức là vào giữa những năm 50, Moscow (và đặc biệt là Đại học Tổng hợp Moscow) là một trong những trung tâm toán học hàng đầu - nếu không muốn nói là mạnh nhất trên thế giới.

Bây giờ lại thế này à? - Thật không may là không. Mọi người đều biết rằng một số lượng lớn các nhà toán học Nga rất giỏi đã ra nước ngoài. Chúng ta có thể nói rằng hầu hết tất cả các nhà toán học xuất sắc của Nga đều

CỦA CHÚNG TÔI

thường xuyên ở nước ngoài, hoặc làm việc ở nước ngoài và chỉ thỉnh thoảng xuất hiện ở Nga. Ngoài ra, đối với Khoa Cơ và Toán, trình độ của nó cũng sa sút rất nhiều so với những năm 60.

– Hiện tại có nhiều người ra đi nhưng vào những năm 50, nhiều người ở Nga đã mơ ước được rời đi để đến phương Tây thịnh vượng. Và bạn gần như là người duy nhất tôi biết đã đến. Bạn có hối hận không? Mọi người đều đi về một hướng (ít nhất là họ đã mơ), còn bạn thì đi theo hướng khác? “Tôi hiểu rất rõ rằng mình đang đi sai hướng.” Nhưng tôi không hối hận chút nào khi đến đây, mặc dù những sự kiện tiếp theo không diễn ra như tôi ngây thơ nghĩ lúc đó. Sau đó tôi cho rằng Khrushchev sẽ sớm bị loại bỏ và thay vào đó là một nhà cai trị thông minh, tự do, rằng “chủ nghĩa xã hội với bộ mặt con người” sẽ xuất hiện ở Nga, nhưng mọi chuyện lại diễn ra hoàn toàn ngược lại. Nhưng bất chấp điều này, tôi không bao giờ hối hận vì đã đến: vào thời điểm đó, Khoa Cơ và Toán là một ốc đảo hoàn toàn độc đáo, nơi có những người có trình độ chuyên môn cao nhất cũng như trình độ văn hóa cao nhất.

– Bạn có nhớ trường của mình không? Giáo viên của bạn có ảnh hưởng đến sự lựa chọn nghề nghiệp của bạn không? – Tôi học ở một trường trung học ở Pháp, giáo viên dạy toán đầu tiên của tôi khá yếu, nhưng ngay khi chúng tôi có “đại số với các chữ cái” thay vì số học và hình học xuất hiện, tôi đã rất hứng thú. Khi đó tôi mới 13 tuổi và tôi tin rằng mình hiểu biết nhiều hơn thầy cô. Vì vậy, chính toán học đã ảnh hưởng chứ không phải giáo viên. Tuy nhiên, khi học những lớp cuối cùng của Lyceum ở Pháp, tôi đã có một giáo viên dạy toán xuất sắc, và trước đó, ở một Lyceum khác, trong sáu tháng đã có một giáo viên độc đáo, độc đáo và giỏi về môn này. Tất nhiên, chúng ảnh hưởng rất lớn đến sự lựa chọn cuối cùng của tôi. Bởi niềm đam mê năm 13 tuổi của tôi có thể đã biến mất nếu không có những người thầy tuyệt vời này.

– Vậy năm 12 tuổi bạn vẫn là một đứa trẻ bình thường chứ không phải thần đồng? Họ không nói cho bạn biết khi bạn sáu tuổi rằng bạn có khả năng toán học vượt trội? – Trên thực tế, tôi thực sự là một thần đồng, nhưng niềm yêu thích thực sự của tôi đối với toán học nảy sinh từ năm 13 tuổi. Tôi kém các bạn cùng lớp một tuổi vì đã trượt một lớp ở trường trung học.

– Bạn bắt đầu đi học lúc bao nhiêu tuổi? - Rõ ràng là từ sáu; nhưng trong những năm chiến tranh, tôi ở trên lãnh thổ Pháp bị chiếm đóng, nơi trường học đôi khi hoạt động và đôi khi không. Có lúc tôi đến lớp dự bị tiểu học.

– Vậy là không có bài học ở nhà à? – Không, tất nhiên là có việc học ở nhà. Hơn nữa, nó rất nghiêm trọng. Nhưng cha mẹ tôi không dạy tôi những môn khoa học hay số học chính xác, và nền giáo dục của tôi mang tính nhân đạo. Ở đâu đó từ năm bốn tuổi, tôi đã biết viết bằng tiếng Nga, và tôi học viết bằng tiếng Pháp sau đó một chút, khi đã ở trường. Cha mẹ tôi, những người rất có học thức, đã khiến tôi quan tâm đến văn học và thơ ca Nga.

Làm sao họ đạt được điều này? Làm thế nào để trẻ thông minh? – Chà, tôi nghĩ rằng di truyền ảnh hưởng đến điều này nhiều hơn là việc tập luyện. Khi tôi còn rất nhỏ, chúng tôi sống như một gia đình rất hạnh phúc. Đó là một kiểu chế độ mẫu hệ - bà tôi, ba cô con gái của bà, chồng của họ, nếu họ có mặt, bởi vì trong chiến tranh không phải tất cả họ đều ở bên chúng tôi, và nhiều người

PHỎNG VẤN

những đứa trẻ. Trong gia đình chúng tôi có phong tục đọc to. Đồng thời không có sự ép buộc; không ai bắt tôi phải nghe khi họ đọc. Đôi khi mẹ tôi đặc biệt đọc cho tôi nghe và điều đó luôn khiến tôi thấy thú vị. Và sự quan tâm đến văn học, văn hóa và hội họa đã tự nó được hấp thụ qua không khí.

– Gia đình bạn có nói được hai thứ tiếng không? – Không, gia đình chỉ nói tiếng Nga. Và tôi đã thông thạo tiếng Pháp ngay khi bước ra sân; Tôi không nhớ mình không biết tiếng Pháp. Lúc khoảng hai hoặc ba tuổi tôi đã nói được hai thứ tiếng.

– Và tiếng Anh chỉ sau này? – Tiếng Anh sau. Tôi đến Mỹ năm 10 tuổi và sau đó học tiếng Anh rất nhanh. Bố mẹ ngay lập tức gửi tôi đến một trường học ở Mỹ, tôi học ở đó hai năm nhưng không thu được kiến thức gì mới. Được biết, trường học ở Mỹ - xưa và nay - đều ở mức thấp thảm hại. Nhưng tôi đã học được ngôn ngữ và thích nghi với cuộc sống ở Mỹ. Sau đó, bố mẹ tôi chuyển tôi đến trường Lyceum của Pháp ở New York.

– Khi bạn học có tổ chức Olympic toán không? – Thế vận hội vẫn không tồn tại ở Pháp. Ở Mỹ, khi tôi còn là sinh viên, cuộc thi Putnam đã được tổ chức và tôi đã tham gia. Đối với truyền thống của Pháp, có cái gọi là Concours General (nghĩa đen - cuộc thi chung), do Napoléon thành lập. Cuộc thi này bao gồm lời giải khó bài toán trong các phần nâng cao của chương trình giảng dạy ở trường chứ không phải từ “olympiad” bài toán sự khéo léo; tuy nhiên, tôi đã không tham gia vào nó.

– Khi nào bạn nhận ra mình sẽ trở thành một nhà khoa học? – Khoảng 14 tuổi.

Đã? Và rất tự tin? - Vâng, tự tin. Tôi có thể kể cho bạn nghe câu chuyện sau đây. Khi tôi 14 tuổi, tôi đang nghĩ về hình học và đi đến kết luận rằng hình học Euclide là không nhất quán. Và hình học chính xác được thiết kế theo cách mà nếu các đường tiếp tục, cuối cùng chúng sẽ đóng lại.

– Vậy là bạn đã nghĩ ra hình học xạ ảnh? – Giống hình cầu hơn. Tôi không hiểu rõ ràng rằng hình học này không thể định hướng được. Và tôi đã viết tác phẩm toán học đầu tiên của mình bằng chữ viết thư pháp, trong đó tôi trích dẫn một lối ngụy biện nào đó đã “chứng minh” sự mâu thuẫn của hình học Euclide. Và ở đó anh ấy giải thích một chút về cách hoạt động của hình học “thực”. Ví dụ, tôi hiểu rằng tổng các góc lớn hơn 180 độ. Nói chung đó là một bài viết rất ngu ngốc.

Sự ngụy biện là gì? – Nó gắn liền với sự cường điệu. Yếu tố của cơ phóng xạ

KVANT 2009/№3

leniya. Tôi tin rằng các đường tiệm cận sẽ kết nối một cách tự nhiên. Đây không phải là ngụy biện, nhưng tôi đã viết một số công thức, tôi đã biết rằng cường điệu có dạng “một chia cho x”; từ những công thức này, nó “tuân theo” rằng các đường tiệm cận sẽ đóng lại và đường cong sẽ trở thành hình bầu dục. Tôi cho văn bản vào một phong bì và dán kín. Sau đó, dưới ảnh hưởng của Saint-Exupery, tôi tin rằng người lớn vẫn chưa thể hiểu được điều gì là quan trọng và sâu sắc. Ít nhất thì giáo viên của tôi cũng không thể hiểu được những suy nghĩ “đổi mới” của tôi. Và tôi quyết định rằng khi lớn lên, tôi sẽ mở phong bì ra và nói rằng đã có lúc tôi phát hiện ra tất cả những điều này. Và sự phát triển tiếp theo của cốt truyện như sau. Tôi được Kagan tặng một cuốn sách tuyệt vời về Lobachevsky bằng tiếng Nga. Từ đó tôi biết được mọi chuyện thực sự diễn ra như thế nào, tôi cảm thấy rất xấu hổ, tôi xé bài luận toán đầu tiên của mình và ném nó đi. Đây là câu chuyện vui của tôi.

– Bạn nhận được thông tin chủ yếu từ thầy cô hay từ sách vở? - Chỉ từ giáo viên thôi. Tôi không có cuốn sách toán nào khác ngoài sách giáo khoa. Cuốn sách toán học đầu tiên là cuốn sách của Kagan về Lobachevsky. Trước khi vào đại học, tôi chưa từng đọc một cuốn sách toán nào ngoài sách giáo khoa. Và Kagan. Sau này tôi bắt đầu đọc nhiều về toán học, khi tôi còn là sinh viên của Đại học New York.

Và bạn đã đọc gì? – Trong môn toán “người lớn”, lần đầu tiên tôi quan tâm đến hình học xạ ảnh. Rõ ràng, điều này có liên quan đến sở thích thời thơ ấu của tôi. Và tôi đã đọc một số cuốn sách về hình học xạ ảnh, thậm chí tôi còn có nghiên cứu của riêng mình về vấn đề này và kết thúc như sau. Khi tôi được giới thiệu vào trường cao học tại Viện Courant, tôi đã được mời đến phỏng vấn với Lipman Bers (một tác phẩm kinh điển nổi tiếng về phân tích phức tạp đa biến). Tại cuộc phỏng vấn, anh ấy hỏi tôi đã học những khóa học nào và bắt đầu hỏi tôi nhiều câu hỏi khác nhau về hình học và giải tích. Tôi trả lời nhanh chóng, chính xác và rõ ràng Bersu thích nó. Và sau đó anh ấy hỏi liệu tôi có đang làm gì ngoài bối cảnh của các khóa học bắt buộc không. Và tôi khiêm tốn nhìn xuống, nói rằng - vâng, tôi hơi quan tâm đến một số câu hỏi về hình học xạ ảnh phức tạp - và định nói những gì tôi đang làm. Bers xòe tay nói: “Anh không hiểu sao, hình học xạ ảnh đã chết từ lâu rồi. Sau công trình của Veblen, chẳng còn gì ở đó cả, không có bài toáns nào chưa giải quyết được, đây là một môn khoa học đã chết, anh không thể làm được điều này!” Tôi trở nên rất bối rối và không nghiên cứu hình học xạ ảnh nữa. Tôi nhận ra mình đã sai lầm như thế nào khi, với tư cách là một nhà tôpô và nghiên cứu sinh tại Đại học quốc gia Moscow, tôi gặp Semyon Gindikin và Gennady Henkin, những người, theo sau Roger Penrose, đã thực hiện một công trình xuất sắc về hình học xạ ảnh phức tạp, mà đối với tôi, điều mà tôi coi là một môn khoa học đã chết.

– Bạn có thể giải thích ngắn gọn cho các em học sinh cấu trúc liên kết là gì không? – Topo có thể được mô tả theo nhiều cách. Ví dụ như thế này. Trong hình học Euclide, điều quan trọng nhất là khoảng cách giữa các điểm. Trong hình học affine, điều chính là tỷ lệ khoảng cách giữa các điểm. Trong hình học xạ ảnh, điều chính là cái gọi là tỷ lệ kép của bốn điểm trên một đường thẳng. Trong hình học Euclide, chuyển động không làm thay đổi khoảng cách. Nhưng trong cấu trúc liên kết không có bất biến đơn giản nào như khoảng cách. Bạn có thể tưởng tượng rằng bạn đang nghiên cứu một hình hình học làm bằng cao su. Bạn có thể kéo dài nó, bạn có thể nén nó, bạn có thể làm biến dạng nó. Và cấu trúc liên kết nghiên cứu các tính chất sâu sắc nhất của các hình hình học, cụ thể là những tính chất không thay đổi dưới những biến dạng như vậy. Có những loại nào?

bất biến trong cấu trúc liên kết? Đơn giản nhất và được nhiều độc giả biết đến nhất, «Kvant», là đặc tính Euler. Nếu bạn lấy một chiếc bánh rán, dù bạn có biến dạng nó thế nào đi chăng nữa thì nó cũng sẽ có một cái lỗ. Sự hiện diện của lỗ này là một bất biến và bất biến này (số lỗ được gọi là loại bề mặt) có thể được mô tả bằng đại số. Điều này được thực hiện bằng cấu trúc liên kết đại số, nhưng chính xác như thế nào thì không thể nói trong hai hoặc ba câu.

– Có khoa học chết không? – Rất khó để tuyên án tử hình đối với ngành khoa học này hay ngành khác, nhưng đôi khi điều này vẫn được thực hiện. Ở thế hệ của tôi, các nhà tôpô chúng tôi đã tuyên bố kết án tử hình đối với cấu trúc liên kết tổng quát, hay lý thuyết tập hợp. Tất cả chúng tôi đều nhất trí tuyên bố rằng đây là một môn khoa học đã chết. Nhưng không có gì đảm bảo rằng cô ấy sẽ không sống lại.

– Bản án tử hình vẫn còn hiệu lực phải không? – Hiện nay, các nhà nghiên cứu cấu trúc liên kết trước đây đã chuyển sang nghiên cứu đại số hơn về nền tảng của cấu trúc liên kết, không liên quan đến các đối tượng hình học cụ thể mà liên quan đến các không gian trừu tượng rất tổng quát. Cấu trúc liên kết trừu tượng cổ điển của trường phái Pavel Sergeevich Alexandrov ở Moscow, phát triển mạnh mẽ vào những năm 40, giờ đây đã lỗi thời. Chỉ có một số ít nhà nghiên cứu trên thế giới tiếp tục làm việc theo hướng này. Nhưng tôi sẽ cẩn thận. Bởi vì bạn không bao giờ biết được điều gì có thể hữu ích trong toán học. Có thể đột nhiên có nhu cầu về một cấu trúc liên kết chung.

– Thế còn lý thuyết tập hợp thì sao? – Tất nhiên, lý thuyết tập hợp hiện nay vẫn tiếp tục là trung tâm của nền tảng toán học. Nó đóng một vai trò rất quan trọng, kỳ lạ thay, trong các vấn đề liên quan đến máy tính, bởi vì những dữ kiện từ cái gọi là lý thuyết tập hợp mô tả đã dần dần được phát triển thành những định lý tuyệt vời của lý thuyết thuật toán. Do đó, định lý Gödel có ứng dụng sâu sắc đối với khoa học máy tính: về nguyên tắc không máy tính nào có thể giải được chuỗi bài toán. Ngoài ra, một số cấu trúc lý thuyết tập hợp có nguồn gốc từ nửa đầu thế kỷ 20 hiện đã tìm thấy những ứng dụng bất ngờ trong lý thuyết các hệ động lực, đặc biệt là trong mối liên hệ với cái gọi là các nhân hút lạ. Vì vậy lý thuyết tập hợp khó có thể được coi là một môn khoa học đã chết.

– Bạn có nghĩ toán học nên có ứng dụng? Toán học ứng dụng và cái gọi là toán học thuần túy có mối quan hệ như thế nào? – Về vấn đề này, tôi chỉ muốn đưa ra quan điểm của Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Khi tôi hỏi anh ấy câu hỏi này, anh ấy đã nói với tôi như sau. Không có toán học thuần túy cũng như toán học ứng dụng. Toán học có thể tốt và xấu. Toán học tốt có thể đến trực tiếp từ đầu ngòi bút, từ cái đầu của một nhà toán học phát triển toán học vì chính toán học, đơn giản chỉ vì sự tò mò thuần túy. Nhưng nếu việc anh ấy làm có ý nghĩa, thú vị và tốt thì sớm muộn gì nó cũng sẽ được áp dụng nghiêm túc. Và nếu đó là môn toán kém, mọi người sẽ quên nó trong một thế hệ. Đối với những kết quả phát sinh khi áp dụng thực tế lời giải bài toán, ở đây cũng cần phải phân biệt một kết quả chắc chắn với một kết quả bình thường. Nếu, trong khi giải một số bài toán ứng dụng bài toán, một nhà toán học đã đào sâu và tìm ra một phương pháp mới về cơ bản lời giải, thì từ đó một lý thuyết sẽ xuất hiện. Và nó sẽ là một lý thuyết toán học quan trọng như những lý thuyết trừu tượng tốt nhất xuất phát từ lý luận suy đoán của các nhà toán học. Vì vậy, đối với tôi, điều rất quan trọng là không tách biệt toán học ứng dụng và toán học thực tiễn khỏi cái gọi là toán học thuần túy. Và nhân tiện, đây là một đặc điểm rất hay của tiếng Nga

CỦA CHÚNG TÔI

trường toán bầu trời. Tất cả các nhà toán học lớn của Nga đều không đi đến cực đoan nào cả. Trong số các nhà toán học đang làm việc ngày nay, chỉ cần kể tên Vladimir Igorevich Arnold là đủ. Các công trình của Arnold có thể hoàn toàn thuần túy về toán học, chẳng hạn như những kết quả gần đây của ông về lý thuyết số. Mặt khác, anh ấy có rất nhiều công trình về hệ động lực, về lý thuyết phân nhánh, không thể gọi là áp dụng được, chúng không giải quyết được bài toán thực tế cụ thể, nhưng tính hữu ích của chúng đối với lời giải cụ thể bài toán là vô điều kiện và hiển nhiên.

Và Yu.I. Manin? – Manin hiện nay và trong 20 năm qua chủ yếu nghiên cứu vật lý lý thuyết. Chỉ riêng thực tế này đã cho thấy rằng ông không còn là một nhà toán học “thuần túy”. Nhưng thực tế là phần hay nhất trong công trình của ông, cả về toán học “thuần túy” và vật lý lý thuyết, có thể sẽ vẫn còn, và thậm chí một số sẽ có những ứng dụng rất cụ thể, là điều hoàn toàn được mong đợi. Cũng như thực tế là ngược lại, một thứ khác sẽ chết đi, coi như tạm thời và không cần thiết.

– Bạn có thích vật lý không? – Cả đời tôi rất yêu thích môn vật lý nhưng lại không may mắn gặp được thầy cô. Tôi chưa bao giờ có giáo viên vật lý giỏi. Không bao giờ: không ở trường, cũng không ở Đại học New York, cũng như khi tôi học cơ khí và toán học. Những bài giảng mà các giáo sư ở khoa vật lý dạy cho tôi đơn giản là rất tệ. Và tôi đã nghiên cứu vật lý lý thuyết từ các nhà toán học. Ngoài ra, lý thuyết về nút thắt, mà tôi đã nghiên cứu trong nhiều năm, hóa ra lại được các nhà vật lý yêu cầu.

– V. I. Arnold nói rằng toán học là một phần của vật lý. Bạn có đồng ý với điều này không? – Arnold không chỉ nói rằng toán học là một phần của vật lý, ông còn nói thêm rằng đây là một phần của vật lý mà chi phí thí nghiệm rất rẻ. Đây là một bổ sung rất quan trọng. Bản thân Arnold, đặc biệt là trong những năm gần đây, rất thích chứng minh rằng toán học là một môn khoa học thực nghiệm, và nhà toán học là người thực nghiệm. Anh ta tự nhủ: Tôi thử nghiệm bằng tay, tôi đếm, tôi tiến hành thí nghiệm và sau đó tôi rút ra kết luận từ những thí nghiệm này. Nhưng bạn có thể tiến hành thí nghiệm trên máy tính. Công việc của một nhà toán học liên quan chính xác đến việc tiến hành những thí nghiệm rẻ tiền như vậy. Tuy nhiên, tôi có thể nói rằng Arnold mang lại cho lời nói của mình một ý nghĩa triết học sâu sắc hơn. Và về vấn đề này, anh tự nhận mình là học trò của Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Arnold tin vào thực tế của những gì các nhà toán học nghiên cứu. Ông tin rằng ở một mức độ nào đó, toán học là một môn khoa học về thế giới xung quanh chúng ta. Năm 1990, tôi phỏng vấn Vladimir Igorevich (cuộc phỏng vấn được đăng trên «Kvant» Số 7, 1990), và hỏi ông câu hỏi sau: “Khi chứng minh một định lý, bạn tạo ra nó hay khám phá ra nó?” Anh ấy đã trả lời bằng câu trích dẫn sau đây của A.K. Tolstoy:

Vô ích, nghệ sĩ, bạn có tưởng tượng rằng bạn là người tạo ra những sáng tạo của mình không! Chúng mãi mãi lơ lửng trên trái đất, vô hình trước mắt… Có rất nhiều hình dạng vô hình và âm thanh không nghe được trong không gian, Có rất nhiều sự kết hợp tuyệt vời giữa từ ngữ và ánh sáng trong đó.

– Bạn có thể giải thích cho học sinh những ứng dụng thực tế của toán học hiện đại – không phải toán học của Newton và Euler, mà là toán học được tạo ra trong những thập kỷ gần đây không? Có ví dụ nào như vậy không? – Ví dụ như vậy có rất nhiều, không khó để liệt kê một số ví dụ, nhưng việc giải thích cho học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề thì không hề dễ dàng chút nào. Tôi sẽ nêu tên, không đi sâu vào chi tiết, ba ví dụ, với hy vọng rằng «Kvant» sẽ tìm được những tác giả có thể giải thích rõ ràng những điều cơ bản của toán học tương ứng

PHỎNG VẤN

lý thuyết và mô tả rõ ràng những lý thuyết này hoạt động như thế nào trong thực tế. Ví dụ đầu tiên là hình học đại số trên trường hữu hạn và mật mã. Lý thuyết toán học có thể được mô tả như hình học của các đường cong elip trong không gian đa chiều, nhưng được xem xét không phải trên trường số thực hoặc số phức mà trên các trường hữu hạn. Lý thuyết này cho phép xây dựng cái mà trong tiếng Anh gọi là “chức năng một chiều” - cơ sở của cái gọi là “mã hóa nguồn mở”. Phương thức mã hóa này được sử dụng trong thẻ ngân hàng thông thường. Kẻ lừa đảo dù biết cách mã hóa thẻ của bạn cũng sẽ không thể giải mã được thông tin cần thiết để rút tiền. Ví dụ thứ hai là các phương pháp toán tử (và lý thuyết liên quan đến đa tạp Lagrange và chỉ số Maslov) và các dự đoán về sóng thần và lốc xoáy. Ở đây chúng ta đang nói về các công trình của Viktor Pavlovich Maslov và trường phái của ông, ban đầu liên quan đến nghiên cứu lý thuyết về phương trình vi phân từng phần. Những công trình này giúp xây dựng các mô hình khá chính xác về sự lan truyền của các hiện tượng như lốc xoáy, lốc xoáy và sóng thần. Học trò của Maslov, Sergei Dobrokhotov, đã tìm ra bằng cách sử dụng lý thuyết được phát triển trong thập kỷ trước, một mô hình lốc xoáy rất hiệu quả và thực tế. Điều thú vị là phòng thí nghiệm của Viện Các vấn đề Cơ học, nơi Dobrokhotov làm việc, lại được gọi là Phòng thí nghiệm Cơ học về Thiên tai. Tôi sẽ không đảm nhận việc giải thích cho học sinh, ngay cả những học sinh rất giỏi, về lý thuyết hoặc mô tả toán học của mô hình cơn lốc xoáy. Tuy nhiên, chúng tôi có thể cho bạn biết chỉ số Maslov là gì, vì Arnold đã đưa ra một định nghĩa hình học tương đương, khá rõ ràng cho bất biến này. Ví dụ thứ ba là ngữ pháp và ngôn ngữ lập trình phi ngữ cảnh của Chomsky. Nhà ngôn ngữ học toán học người Mỹ Nahum Chomsky đã nghĩ ra một lớp ngôn ngữ hình thức mà ông gọi là không ngữ cảnh. Những ngôn ngữ này là các đối tượng toán học hình thức dựa trên các ngữ pháp hình thức hiện được đặt theo tên của Chomsky. Chính việc sử dụng chúng đã mang lại một cuộc cách mạng trong lập trình - sự chuyển đổi từ lập trình bằng mã sang ngôn ngữ cấp cao. Liên quan đến ví dụ này, điều đáng chú ý là ngay cả trước đó, khi những chiếc máy điện tử kỹ thuật số đầu tiên mới được tạo ra, điểm khởi đầu cho kiến trúc của chúng là ý tưởng về một cỗ máy Turing vạn năng, được phát minh bởi nhà toán học người Anh Alan Turing (có vẻ như trong Thế chiến thứ hai, ông đã làm việc trong cơ quan gián điệp MI-5).

– Nghề toán học là gì? – Mọi người đều biết rằng có những nhà vật lý lý thuyết. Mọi người đều biết rằng có những nhà sinh vật học. Nhưng kỳ lạ thay, hầu hết mọi người, thậm chí nhiều giáo viên dạy toán phổ thông, lại không biết rằng nghề “nhà toán học nghiên cứu” có tồn tại. Nhiều người nghĩ rằng toán học là một khối kiến thức rộng lớn được phát triển đặc biệt nhanh chóng trong thế kỷ XVII, XVIII và XIX, và hiện nay là một khối kiến thức đã được khẳng định, rất hữu ích cho thực tiễn. Tuy nhiên, đây là một quan điểm hoàn toàn sai lầm, bởi toán học cũng như vật lý lý thuyết vẫn tiếp tục phát triển mạnh mẽ. Và nó được phát triển bởi những người được gọi là nhà toán học nghiên cứu. Cuộc sống của họ thế nào? Một số nhà toán học nghiên cứu làm việc tại các trường đại học và sau đó họ giảng dạy. Họ được trả tiền đặc biệt cho việc giảng dạy. Nhưng họ coi đây hoàn toàn không phải là phần chính trong công việc của mình và họ coi công việc chính của họ là bằng chứng cho các định lý mới, phát minh ra các lý thuyết mới, lời giải cũ nhưng vẫn chưa được giải quyết bài toán. Ngoài ra, hiện nay trên thế giới có một số viện nghiên cứu nơi các nhà toán học được trả tiền chỉ để phát triển toán học.

KVANT 2009/№3

Nghề này khó lắm. Mức lương tương đối thấp và ở Nga chúng vẫn không đáng kể. Tất nhiên, một người giỏi toán sẽ kiếm được nhiều tiền hơn nếu anh ta gia nhập một công ty tài chính lớn nào đó với tư cách là nhà tư vấn tài chính.

– Bạn có lời khuyên nào cho độc giả trẻ của chúng tôi nên theo đuổi nghề này không? “Tôi thực sự khuyên họ không nên đến đó.” Và những người muốn, họ vẫn sẽ đi. Họ sẽ không nghe lời khuyên của tôi.

– Thầy thường giảng bài. Tại một trong số đó bạn đã có một nghệ sĩ tung hứng biểu diễn. – Đúng, đã có một trường hợp như vậy cách đây 5 năm. Vào thời điểm đó, tôi phụ trách phòng thí nghiệm toán học Pháp-Nga và hai nhà toán học trẻ người Pháp, chuyên gia về tổ hợp và lý thuyết biểu diễn, làm việc trong phòng thí nghiệm này theo lời mời của tôi. Và hóa ra một trong số họ là người tung hứng rất giỏi. Cùng với đồng nghiệp của họ - họ là bạn bè và cùng làm việc với chúng tôi - họ đã nghiên cứu lý thuyết tung hứng từ quan điểm toán học. Và họ đã có một bài giảng hết sức tuyệt vời. Một người trình bày lý thuyết, tôi dịch nó sang tiếng Nga, người còn lại trình bày các phương pháp tung hứng đã được trình bày về mặt lý thuyết. Ở đó, họ đã chứng minh một định lý nhất định về việc phân loại các trò tung hứng khác nhau với số lượng đồ vật khác nhau. Tôi cũng muốn nói rằng chuyên gia rất nổi tiếng về tổ hợp, nhà toán học vĩ đại người Mỹ Ron Graham, cũng là một nghệ sĩ tung hứng rất giỏi. Anh ấy có thể tung hứng sáu quả bóng. Điều này gần đến giới hạn khả năng của con người. (Cuộc phỏng vấn với Ron Graham đăng trên «Kvant» Số 4, 1988.)

– Bạn đã làm việc với A.N. Kolmogorov tại Trường Vật lý và Toán học. – Đúng vậy, Andrei Nikolaevich đã mời tôi đến Trường Vật lý và Cơ học từ năm thứ hai kể từ khi trường này tồn tại, và tôi đã làm việc ở đó khoảng sáu hoặc bảy năm rất chuyên sâu. Lúc đầu, tôi dạy các bài tập trong các bài giảng của Andrei Nikolaevich, và sau đó đến một lúc nào đó tôi bắt đầu dẫn dắt luồng tiếp theo. Có các khóa học hai năm và một năm, và tôi rất vui khi được làm việc tại trường nội trú trong những năm đầu tiên.

– Hãy kể cho tôi nghe điều gì đó thú vị về thời gian đó. – Việc tuyển chọn người dạy toán ban đầu được thực hiện bởi Andrei Nikolaevich. Và ông chỉ chọn những nhà toán học, ngoài kiến thức toán học, khả năng giảng dạy và thích làm việc với học sinh, còn có một số tài năng khác. Tất cả chúng tôi đều chia sẻ tài năng của mình với học sinh. Chẳng hạn, có một giáo viên như Dima Gordeev, một nghệ sĩ nghiêm túc. Zhenya Gaidukov chơi violin rất hay. Andrei Nikolaevich đã tổ chức những buổi tối âm nhạc tuyệt vời, nơi anh chơi các đĩa nhạc cổ điển. Có một nhà văn tuyệt vời Nikolai Ivanovich Gerasimov, người đã dạy những lớp văn học thú vị đến mức tôi luôn đồng ý với người điều phối sắp xếp lịch trình cho tôi sao cho ở đâu đó tôi có một khoảng thời gian để tôi có thể đến lớp học của anh ấy. Vinh quang chính của FMS những ngày đó là Yuliy Kim, thi sĩ nổi tiếng. Ông đã tổ chức các buổi biểu diễn sân khấu tuyệt vời, bây giờ chúng ta có thể nói là nhạc kịch, với sự giúp đỡ của học sinh, cực kỳ thành công. Họ có một chút mạo hiểm. Đó là điều rất khó khăn đối với giám đốc trường nội trú lúc bấy giờ. Giám đốc là một người phụ nữ tuyệt vời, Raisa Arkadyevna Ostraya, một người lính tiền tuyến tốt nghiệp IFLI, một người có văn hóa nhân đạo sâu sắc. Và cô ấy đã ở vào một tình thế rất khó khăn, bởi vì mọi thứ phải có trật tự theo quan điểm của chính phủ Liên Xô, trong khi các nhà toán học trẻ và các giáo viên khác

hướng về những giá trị tự do, những giá trị chưa bị chính quyền cộng sản thử thách vào thời đó. Chính quyền theo dõi những gì đang xảy ra rất chặt chẽ. Về việc giảng dạy của tôi ở trường nội trú, nó kết thúc bằng việc bị đảng ủy Khoa Cơ và Toán cấm tôi làm việc này. Số phận tương tự cũng ập đến với một số giáo viên khác, và khoảng mười năm sau khi trường nội trú mở cửa, vì lý do này hay lý do khác, gần như tất cả giáo viên do Andrei Nikolaevich đưa đến đều không còn làm việc ở đó nữa. Và sau đó tôi rời trường đại học, và kể từ năm 1975, tôi làm việc tại «Kvant», một lần nữa theo lời mời của Kolmogorov. Đồng thời, tôi đang làm công việc dịch thuật.

– Bạn đã viết cuốn sách “Cách viết một bài báo toán học bằng tiếng Anh” – Điều này xảy ra vào thời kỳ đầu của perestroika. Thực tế là tôi thông thạo tiếng Anh và đã đọc rất nhiều văn bản toán học bằng tiếng Anh trong đời. Tôi hiểu rằng vào thời kỳ đầu của perestroika, khi biên giới được mở ra, các nhà toán học của chúng ta thấy mình ở một vị thế cực kỳ bất lợi. Hầu như không một nhà toán học quốc tế hàng đầu nào có thể đưa ra một báo cáo về toán học, chứ đừng nói đến việc viết một bài báo. Rất thường xuyên, các bài báo được trả lại kèm theo những đánh giá về nội dung sau: có lẽ đây là một tác phẩm rất thú vị, nhưng nó được viết bằng tiếng Anh kém đến mức không thể hiểu được gì trong đó và tác phẩm này cần được chỉnh sửa bởi một người bản ngữ tự nhiên. Và tôi cảm thấy rằng vai trò của mình là giúp đỡ mọi người, tức là đồng nghiệp của tôi, các nhà toán học nói tiếng Nga, vượt qua rào cản này. Và tôi đã viết cuốn sách này. Đây hóa ra là một thử nghiệm rất thành công, tôi vẫn gặp những người nói: “Ồ, bạn chính là Sosinsky đã viết cuốn sách này!” Những người không biết đến tôi qua các tác phẩm toán học của tôi đều biết tôi là tác giả của cuốn sách này.

– Nhân tiện, tại sao bây giờ số lượng sách về toán học được dịch lại ít hơn thế? – Bằng tiếng Nga à? Rõ ràng là tại sao: thứ nhất, các nhà toán học chuyên nghiệp hiện nay đọc mọi thứ bằng tiếng Anh, họ không quan tâm cái gì bằng tiếng Nga hay cái gì bằng tiếng Anh. Lần này. Thứ hai. Thời Xô Viết, chúng tôi hoàn toàn bị cô lập. Không ai đến với chúng tôi, sau khi Khoa Cơ và Toán ngừng nhận ứng viên có quốc tịch Do Thái, cộng đồng thế giới phẫn nộ, và các nhà toán học phương Tây gần như không bao giờ đến Nga. Nhưng chúng tôi không được phép ra nước ngoài. Đó là lý do tại sao mọi người không biết tiếng Anh. Nhưng khi biên giới mở cửa, việc dịch sách dành cho học sinh vẫn có ý nghĩa, nhưng hầu như không còn ai dịch chuyên khảo nữa. Mặc dù một số nhà xuất bản dịch, ví dụ như nhà xuất bản MCNMO. Trên thực tế, chính các nhà xuất bản phương Tây sẽ dịch các cuốn sách khoa học phổ thông của chúng ta; về mặt này, như bài hát đã nói, chúng tôi đang dẫn trước phần còn lại…

– Thực sự trên đời này không có cuốn sách nào cần dịch sao? - Không, anh muốn bao nhiêu cũng được và việc đó sẽ được thực hiện từng chút một. Nhưng tôi sẽ lưu ý rằng hiện nay ở Mỹ có những nhà phổ biến khoa học tuyệt vời: Sergei Tabachnikov, Dmitry Fuks, Grigory Galperin, Alexander Soifer… Cũng có những người của riêng họ, nhưng số lượng họ ít hơn.

Rốt cuộc thì vẫn còn Gardner. – Gardner là một vĩ nhân, không có gì phải nghi ngờ về điều đó, nhưng gần như tất cả sách của ông đều đã được dịch.

– Có lẽ chúng ta chỉ khép kín trong vòng tròn của riêng mình: chúng ta biết những Fuchs, Halperin giống nhau và do đó chúng ta nghĩ rằng mình là người giỏi nhất? - Không không. Xét cho cùng, hiện nay, Nga là một quốc gia rất cởi mở, và trong mọi trường hợp, khi nói đến toán học - cả khoa học và khoa học đại chúng - chúng ta thường có thông tin khá đầy đủ. Tôi sẽ nói điều này: nếu bạn so sánh

CỦA CHÚNG TÔI

Các nhà toán học Nga và các nhà toán học Pháp thì chúng ta biết nhiều hơn về những gì đang được thực hiện ở nước ngoài so với những gì người Pháp làm ở bên ngoài nước Pháp.

– Nhưng tại sao Trung Quốc lại luôn đứng đầu ở Olympic quốc tế? Hay hiện tượng này có những lý do hoàn toàn khác nhau? – Thứ nhất, không phải lúc nào cũng vậy, đôi khi chúng tôi cũng vậy. Mùa hè năm ngoái chẳng hạn. Nhưng tôi muốn nói như sau: kết quả tại Olympic hoàn toàn không tương quan với mức độ phổ biến toán học ở một quốc gia nhất định. Và nhìn chung, theo quan điểm của tôi, Olympic quốc tế đã xuống cấp trong một thời gian rất dài. Đây là lý do tại sao điều này xảy ra. Các quốc gia dẫn đầu, tức là những quốc gia có truyền thống đạt vị trí cao tại các kỳ thi Olympic quốc tế, đã phát triển một hệ thống cực kỳ hiệu quả để đào tạo học sinh biểu diễn trong các kỳ Olympic. Thế vận hội đã trở thành một sự kiện chính trị. Khi người Mỹ vô địch Thế vận hội, họ được mời đến Nhà Trắng và tổng thống đã bắt tay họ. Điều đó cũng tương tự với chúng tôi. Điều này đã trở thành một hành động chính trị rất quan trọng. Và các nước hàng đầu đã học cách đào tạo vận động viên Olympic. Họ đặc biệt thành công trong việc này ở Trung Quốc. Sự lựa chọn là rất lớn, người Trung Quốc rất chăm chỉ, rất thông minh, rất có năng lực về toán học. Nhưng đồng thời, những người đứng đầu các phái đoàn này - tức là những người chọn bài toán cho Olympic bắt đầu hành động dựa trên tính hiệu quả, tức là chọn những bài toán mà họ tin tưởng rằng học sinh của họ sẽ có thể giải được chúng. Và do đó, hiện nay ưu tiên dành cho những vấn đề phức tạp về mặt kỹ thuật sử dụng các kỹ thuật toán học phức tạp đã biết và những nhà lãnh đạo biết rằng học sinh của họ sẽ giải chúng một cách chính xác. Và khi đột nhiên một bài toán trông đơn giản xuất hiện, mà lời giải đòi hỏi những ý tưởng mới, họ sợ: nếu người của chúng tôi không tìm ra nó thì sao?

Tổ hợp có phải là một khoa học không? – Israel Moiseevich Gelfand, phát biểu tại hội thảo của mình khoảng 25 năm trước, đã nói rằng khoa học toán học bao gồm các phần sau: giải tích, đại số, hình học và tổ hợp, và ngành khoa học quan trọng nhất trong số này là tổ hợp, nhưng nó vẫn chưa tồn tại.

– Và điều này vẫn công bằng? – Không, rất nhiều người trên thế giới nghiên cứu tổ hợp, trong đó có những nhà toán học hàng đầu. Ví dụ: nếu bạn tham dự Đại hội vừa qua ở Madrid, hai trong số bốn Huy chương Fields đã giành được bởi các nhà toán học chủ yếu dựa vào toán học tổ hợp hoặc thực sự làm toán học tổ hợp. Đây là nhà toán học xuất sắc người Mỹ gốc Trung Quốc Terence Tao và Andrei Okunkov của chúng tôi. Trong công việc của họ có sự cộng sinh đáng kinh ngạc giữa tổ hợp và các ngành khoa học khác. Ví dụ, Tao có thể có tổ hợp ngay từ đầu, nhưng anh ấy tự coi mình là chuyên gia về phân tích điều hòa và sử dụng rất nhiều lý thuyết xác suất để chứng minh các định lý cơ bản từ lý thuyết số! Kết quả chính của nó - sự tồn tại của các cấp số học dài tùy ý được tạo thành từ các số nguyên tố - là rõ ràng đối với bất kỳ độc giả nào «Kvant», và bằng chứng sử dụng một kho khái niệm toán học cực kỳ đa dạng và phức tạp, và đặc biệt, tổ hợp đóng vai trò gần như trung tâm trong đó. Nhân tiện, đây là một chủ đề khác sẽ được xuất bản trong «Kvant».

– Bạn có thể giải thích điều gì đó về giả thuyết Poincaré không? – Bạn có thể giải thích cho một học sinh hiểu nó là gì. Quả cầu có nhiều kích cỡ khác nhau. Hình cầu một chiều là hình tròn. Một hình cầu hai chiều là cái mà bạn gọi là hình cầu. Hình cầu ba chiều - việc tưởng tượng nó là gì đã khó khăn hơn, nhưng nó có thể được giải thích bằng hệ tọa độ: nó được đưa ra

PHỎNG VẤN

phương trình x + y + z + u = 1 trong không gian bốn chiều, đây là vật thể ba chiều, nó thuộc loại béo, nhưng trong không gian bốn chiều thì nó mỏng. Giả thuyết của Poincaré có liên quan đến đặc tính của hình cầu. Làm thế nào bạn có thể mô tả một hình cầu hai chiều? Nếu chúng ta vẽ bất kỳ đường dẫn khép kín nào trên một hình cầu hai chiều, thì nó có thể co lại liên tục thành một điểm. Poincaré phỏng đoán rằng một không gian nhỏ gọn được kết nối, được cấu trúc cục bộ như không gian Euclide ba chiều, sẽ là một hình cầu ba chiều khi và chỉ nếu nó có cùng một tính chất - đó là mọi đường cong khép kín đều co lại thành một điểm. Giả thuyết này thực chất không có gì đáng kể nhưng lại được các nhà toán học rất quan tâm vì nhiều nhà toán học vĩ đại đã cố gắng chứng minh nhưng suốt một thời gian dài họ không thể làm được. Tình huống tương tự như tình huống với định lý Fermat. Định lý Fermat, nói đúng ra, là một phát biểu nhỏ hoàn toàn không quan trọng của lý thuyết số, nó không có ý nghĩa toán học to lớn nào, nhưng nó có ý nghĩa lịch sử to lớn vì rất nhiều người tài giỏi đã cố gắng chứng minh nó, nhưng không ai thành công trước nhà toán học người Anh Andrew Wiles. Quay trở lại với giả thuyết Poincaré, tôi lưu ý rằng nhà toán học người Mỹ William Thurston đã đưa ra một giả thuyết khác, được gọi là giả thuyết hình học hóa. Đồng thời, Thurston chứng minh rằng giả thuyết Poincaré xuất phát từ giả thuyết hình học hóa. Và giả thuyết hình học hóa có ý nghĩa khái niệm to lớn đối với toàn bộ ngành toán học. Nó nói rằng một tập hợp các vật thể ba chiều nhất định có cấu trúc hình học. Những đối tượng này được xác định theo cấu trúc liên kết nhưng chúng có cấu trúc hình học. Đó là giả thuyết hình học hóa mà Grigory Perelman đã chứng minh. Đây thực sự là một công trình đặc biệt, một công trình xuất sắc sử dụng phân tích, cấu trúc liên kết, hình học. Perelman xuất bản ba bài báo liên tiếp nhưng trên Internet chứ không phải trên tạp chí. Nội dung của những tác phẩm này khá ngắn. Lúc đầu, không có một chuyên gia nào trên thế giới có thể kiểm tra mọi thứ. Và một số người nói rằng không phải mọi thứ đã được chứng minh ở đó, rằng nó chưa được thực hiện đầy đủ, nhưng khi họ bắt đầu xem xét, họ dần dần đi đến kết luận rằng không phải vậy. Chỉ có chi tiết bị thiếu. Các bộ phận ở từng vị trí cụ thể có thể được phục hồi bởi một chuyên gia trong lĩnh vực này. Nhân tiện, tôi biết rằng Grisha Perelman đã giải được bài toán từ “Bài toán Kvant.

– Điều này có nghĩa là Perelman là một nhà toán học độc đáo, người hiểu biết rất nhiều lĩnh vực khoa học. Có lẽ bây giờ có rất ít người như vậy. – À, Tao và Okunkov cũng là những người như vậy. Nhân tiện, Okunkov đã không giải được bài toán từ “Bài toán Kvant, không tham gia Olympic, Okunkov lần đầu tiên phục vụ trong quân đội. Đây là một trường hợp rất hiếm xảy ra đối với hoàn cảnh ở Nga. Khi anh vào Khoa Cơ và Toán, các bạn cùng lớp của anh, những người đã tốt nghiệp đủ loại trường ưu tú, coi thường anh và khịt mũi, “Okunkov này chắc chắn là ngu ngốc, anh ta xuất thân từ quân đội…

– Có đúng là các nhà toán học được chia thành hai loại: những người thích giải quyết vấn đề cụ thể bài toán, và những người thích phát triển lý thuyết, hay điều này rất có điều kiện? – Ở một mức độ nào đó, điều này đúng, tức là có cả người giải và người xây dựng lý thuyết, nhưng nếu bạn nhìn vào các nhà toán học lớn, họ thường biểu hiện dưới cả hai dạng. Sẽ chính xác hơn khi nói rằng hầu hết các nhà toán học đều thiên về bên này hay bên kia, nhưng ví dụ của các nhà toán học vĩ đại nhất cho thấy rằng có cả hai bên. Ngoại lệ nổi bật duy nhất là Erdős, người không tạo ra một lý thuyết nào và dành cả đời mình để giải quyết bài toán. Về vấn đề này, theo tôi, anh ấy đứng ngoài cuộc.

KVANT 2009/№3

– Toán học bằng cách nào đó luôn mở rộng, các lý thuyết khác nhau xuất hiện, hàng triệu bài báo được xuất bản mỗi năm. Mọi chuyện sẽ kết thúc như thế nào? Các nhà toán học sẽ ngừng hiểu nhau hoàn toàn? – Ngày nay các nhà toán học chưa hiểu rõ nhau và hầu như không có nhà toán học tổng quát nào có thể nhận thức được mọi thứ. Nhưng đáng ngạc nhiên là, bất chấp sự mở rộng, phân nhánh và số lượng bài báo về toán học rất lớn, những nhà toán học xuất sắc, giỏi nhất của thời đại chúng ta không phải là những chuyên gia hẹp. Họ đồng thời sử dụng nhiều phần toán học khác nhau trong công việc của mình và dường như chứng minh rằng toán học là một môn khoa học duy nhất. Nếu chúng ta lấy bốn người đoạt giải Fields cuối cùng, thì Tao và Okunkov hoàn toàn là những nhà toán học linh hoạt; không rõ công việc của họ thuộc về nhánh toán học nào. Về phần Perelman, anh ấy đã giải được tôpô bài toán, và có vẻ như anh ấy là một nhà tôpô, nhưng ý tưởng chính trong chứng minh của anh ấy lại xuất phát từ lý thuyết về phương trình vi phân. Ông sử dụng phép phân tích, cấu trúc liên kết, hình học và các công trình tuyệt vời của A.D. Aleksandrov về hình học. Và cuối cùng, Wendolin Werner là chuyên gia đầu tiên về lý thuyết xác suất nhận được Huy chương Fields - nhưng ông không phải là một chuyên gia hẹp, ông sử dụng rất nhiều phép phân tích phức tạp và tổ hợp, tức là công trình của ông không thể chỉ quy cho lý thuyết xác suất. Nhưng tất nhiên, số lượng bài báo được xuất bản về toán học ngày càng trở nên khổng lồ. Ví dụ, tôi được coi là chuyên gia về lý thuyết nút thắt. Bây giờ tôi không có thời gian để đọc dù chỉ một phần mười số bài viết về chủ đề này. Có một tạp chí chuyên ngành được xuất bản hai tháng một lần, trong đó có 20 bài viết về lý thuyết nút thắt. Và bên cạnh đó, các tạp chí hàng đầu về cấu trúc liên kết và các tạp chí toán học khác cũng xuất bản các bài báo về lý thuyết nút thắt và các ứng dụng của nó, về mối liên hệ của lý thuyết này với vật lý. Ngay cả các chuyên gia cũng không có thời gian để theo kịp những gì đang diễn ra trong lĩnh vực của họ. Điều này dẫn đến nhiều sự cố khác nhau khi các định lý được khám phá lại nhiều lần và tất nhiên điều này tạo ra những khó khăn lớn trong thực tế. Tuy nhiên, đáng ngạc nhiên là toán học thể hiện tính thống nhất một cách mạnh mẽ nhất.

– Bạn có thể cho tôi một danh sách bài toán chưa được giải quyết – giống như những gì Hilbert đã làm cách đây hơn một trăm năm không? Bây giờ có danh sách tương tự không? – Hiện nay ở Mỹ có một viện toán học từ thiện tên là Viện Clay. Nó được tạo ra bởi một tỷ phú học toán khi còn trẻ và sau đó chuyển sang kinh doanh. Cuối đời, ông luyến tiếc quay trở lại với những nghiên cứu đầu tiên của mình. Viện này tập hợp những nhà toán học giỏi nhất thế giới và mời họ chọn ra bảy vấn đề toán học hiện đại chính. Điều này đã được thực hiện. Đối với lời giải mỗi vấn đề này, Viện Clay hứa sẽ trả một triệu đô la. Trong số những vấn đề này có giả thuyết Poincaré mà chúng ta vừa thảo luận.

– Nhưng không hiểu sao Viện Clay vẫn chưa trả số tiền triệu này cho Perelman. – Thực tế là bây giờ không thể trả số tiền này, vì theo quy định, sau khi xuất bản phải hai năm, và việc xuất bản có vấn đề, vì một văn bản đăng trên Internet không được coi là xuất bản. Hóa ra Perelman không có tạp chí nào viết về chủ đề này cả.

– Anh ấy không muốn được xuất bản à? – Anh ấy sẽ không xuất bản tác phẩm của mình trên tạp chí. Perelman bị tra tấn bởi những nhà báo vô đạo đức, những người vì cảm xúc hoặc vì sự kém cỏi đã nhầm lẫn Huy chương Fields với Giải Clay; họ viết rằng Perelman đã từ chối một triệu đô la. Anh không từ chối - không ai cho anh một triệu

Tôi không đưa đồng đô la nào cả. Perelman đã từ chối Huy chương Fields, và tôi không biết anh ấy sẽ hành xử thế nào nếu - khi nào - anh ấy được trao một triệu đô la này.

– Khi tôi đặt câu hỏi, tôi đã nghĩ đến điều khác. Tôi muốn nói với độc giả «Kvant» về những vấn đề chưa được giải quyết trong danh sách của Viện Clay. – Trong số bài toán này, hầu hết không thể xây dựng công thức cho độc giả «Kvant» vì chúng đòi hỏi phải chuẩn bị quá nhiều. Tuy nhiên, có một điều, nói đúng ra, không liên quan nhiều đến toán học mà liên quan nhiều đến khoa học máy tính lý thuyết và được xây dựng rất ngắn gọn: N №NP, và ý nghĩa của công thức này có thể được giải thích cho độc giả «Kvant». Ngoài ra, danh sách bài toán của Clay không bao gồm bài toán nổi tiếng nhất từ lý thuyết số - phỏng đoán của Goldbach (rằng bất kỳ số chẵn nào lớn hơn hai đều là tổng của hai số nguyên tố), rất dễ giải thích cho bất kỳ học sinh nào, không chỉ với độc giả của «Kvant».

– Bạn có thể nêu tên những bài toán nào khác chưa được giải quyết, không nhất thiết phải là những cái cũ? – Tôi sẽ cố gắng xây dựng thêm một vài trong số này bài toán. Đầu tiên là: hãy có một cơ chế trong không gian bao gồm các thanh được nối với nhau bằng bản lề. Ví dụ, khung của một khối tứ diện hoặc hình khối. Cần phải tìm điều kiện cần và đủ cho tính vững chắc của cơ chế đó. (Vì vậy, một khối tứ diện là cứng, còn khối lập phương thì không, nó uốn cong thành một hình bình hành.) Bài toán cái này rất khó, và do đó thậm chí việc tiến một phần lên lời giải của nó cũng rất đáng quan tâm. Đây là cách thứ hai: tạo ra “hình dạng bình thường” cho các nút, cùng với việc uốn cong liên tục, đưa từng nút về hình dạng bình thường. Ở đây, một phần lời giải cũng được quan tâm. Trường hợp đặc biệt của những nút thắt tầm thường (bài toán về việc tháo gỡ) vốn đã rất khó; có lẽ một số kết quả cụ thể có thể thu được bằng cách sử dụng cái gọi là “năng lượng nút thắt” (chúng ta cũng có thể viết về nó cho «Kvant»).

– Hãy cho ví dụ về một hoặc hai tiểu học bài toán đẹp mà bạn thích. - Xin vui lòng, bao nhiêu tùy thích. Đầu tiên, tôi sẽ gọi bài toán cho lớp một. Bài toán như thế này. Masha có nhiều hơn Sasha tám quả táo. Masha đưa cho Sasha một quả táo. Hiện tại cô ấy còn bao nhiêu quả táo nữa? Trong số các mục yêu thích bài toán - có một con sông hoặc hồ có bờ thẳng, người cưỡi ngựa đang ở điểm A. Anh ta phải đi từ điểm A đến điểm B và tưới nước cho ngựa trên đường đi. Con đường ngắn nhất của anh ta nên là gì? Một ví dụ khác: từ sáu que diêm, tạo một biểu đồ có sáu cạnh, trong đó có bốn hình tam giác.

– Bạn có một bài báo lượng tử yêu thích? – Bài báo yêu thích của tôi trên tạp chí «Kvant», kỳ lạ thay, lại rất nhỏ. Đây là bài viết của Volodya Dubrovsky về cách xây dựng các bề mặt có độ cong âm bằng cách sử dụng hàm tạo. Một bài viết hoàn toàn tuyệt vời (xem «Kvant» Số 7, 1979). Lần này. Tôi thực sự yêu thích bài viết của Nikolai Borisovich Vasiliev về các đường cong đại số, “Các quẻ và đường cong khối của Pascal” («Kvant» Số 8, 1987).

– Bạn cảm thấy thế nào về kỳ thi Thống Nhất? - Cực kỳ tiêu cực. Tất nhiên, ý tưởng ban đầu - có cơ quan có thẩm quyền khách quan để xác định trình độ học sinh tốt nghiệp - không tệ chút nào, nhưng nó đã được thực hiện một cách đáng hổ thẹn. Thứ nhất, sẽ thật tệ nếu các câu hỏi toán học có nhiều câu trả lời. Tôi nghĩ rằng điều này ngu ngốc và bất lợi như thế nào đối với việc dạy toán thì không cần thiết phải giải thích cho độc giả «Kvant». Điều thứ hai tôi sẽ

(Cuối cùng xem trang 31)