Bài toán 11—15

27

ĐẾN

M

Sh

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: [email protected] (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

11. Đặt các dấu số học và dấu ngoặc đơn giữa các số ở vế trái của đẳng thức $7^{5} 7^{4} 7^{3} 7^{2} 7 1 = 2009$ để đẳng thức trở thành đúng. M. Murashkin

12. Gọi một số tự nhiên tăng dần nếu mỗi chữ số tiếp theo lớn hơn chữ số trước đó (ví dụ: số 23689). Chứng minh rằng nếu nhân một số tăng dần với 9 thì tổng các chữ số của số đó luôn đúng bằng 9. Văn học dân gian (do L. Shteingarts đề xuất)

13. Từ các ô vuông được đánh số $фишек^{1} ¥^{1}$, một hình được tạo ra có chứa hai $квадрата^{2} ¥^{2}$ và mảnh có số 4 là mảnh chung (hình1). Các ô của mỗi ô vuông 2¥2 có thể được xoay xung quanh

Hình 1

Hình 3

Hình 2

tâm của nó một góc, $кратный^{90\infty}$. Có thể đạt được sự sắp xếp như trong Hình 2 và 3 bằng cách sử dụng các phép quay như vậy không? N. Avilov

14. Chứng minh $неравенство^{a} +^{b} +^{c} \ge^{3}$ nếu biết ab + bc + ca = 1 và có ít nhất hai số a, b, c dương. V.Aslanyan

15. Chứng minh rằng một tứ giác lồi có thể cắt thành bốn phần tạo thành hình chữ nhật. S.Volchenkov

Gió đuôi có cản trở chim không?

N. KONSTANTINOV

KHI TÔI ĐÃ HỌC ĐỌC, TÔI TÌM ĐƯỢC MỘT CUỐN SÁCH về những người du hành - Tôi quên mất chính xác cuốn sách nào, nhưng tôi chỉ nhớ được một tình tiết trong đó. Các du khách dựng trại trong khu rừng cạnh hồ nước, nơi một đàn ngỗng hoang dã hạ cánh nghỉ ngơi trong quá trình di cư. Buổi tối đã đến và không thể đi săn được nữa. “Ngày mai sẽ có một cuộc đi săn vinh quang,” một người nói. – Bạn không nghĩ rằng chim sẽ bay đi vào lúc bình minh sao? - một người khác nói. - Chúng không bay đi vì gió bắc thuận lợi cho ngỗng. Chim không bay theo gió đuôi, vì gió thổi dưới lông bay của cánh chúng.

Cuộc trò chuyện này có vẻ kỳ lạ đối với tôi. Nếu tôi là những con chim, tôi sẽ vui mừng trước cơn gió thuận - bạn có thể bay nhanh trên đó, nhanh hơn gió. Nhưng tôi còn nhỏ, và mọi điều viết trong sách đều đúng với tôi. Vì thế tất cả những gì tôi nhớ được là tôi không hiểu điều gì đó. Hai mươi lăm năm đã trôi qua. Tôi học cao học, người hướng dẫn tôi là Alexey Andreevich Lyapunov, một nhà toán học nổi tiếng, người lúc đó rất quan tâm đến điều khiển học và các phương pháp toán học trong sinh học. Ông được kết nối bởi những mối quan tâm khoa học và tình bạn cá nhân với nhà lý sinh học lớn của chúng ta, một trong những người sáng lập khoa học lý sinh - Nikolai Vladimirovich Timofeev-Resovsky. Qua

28

KVANT 2009/№6

Theo lời khuyên của Alexey Andreevich, tôi đã tham dự một buổi hội thảo về vật lý sinh học do Nikolai Vladimirovich tổ chức tại trạm sinh học Miassovo ở Urals. Câu chuyện do Nikolai Vladimirovich kể khiến tôi nhớ đến cuốn sách tôi đã đọc khi còn nhỏ. Hóa ra đã có lúc (và tôi vừa tìm ra) ý tưởng tương tự được lặp đi lặp lại từ bài này sang bài khác, từ cuốn sách này sang cuốn sách khác - rằng một cơn gió lành thổi qua dưới cánh chim. Và một nhóm các nhà sinh vật học, bao gồm Timofeev-Resovsky, trong một số ấn phẩm đã giải thích cho các nhà sinh vật học về sự sai lầm của ý tưởng này và nói về nguyên lý tương đối của Galileo. Một tình tiết khác nhắc nhở tôi rằng một số học sinh trung học ở thời đại chúng ta vẫn chưa trưởng thành để hiểu bức tranh về thế giới nảy sinh sau những khám phá của Galileo. Một nhóm xây dựng gồm sinh viên và học sinh đã làm việc vào mùa hè tại Trạm sinh học Biển Trắng của Đại học Tổng hợp Moscow (tôi đã là giáo viên). Chúng tôi đang trở về sau một chuyến du ngoạn biển trên con tàu “Nauchny”. Một nhóm người xin phép thuyền trưởng được ngồi không phải trên tàu mà trên một chiếc thuyền được kéo phía sau tàu (ở đó dễ chịu hơn nhiều). Và đằng sau chiếc thuyền, cách nó khoảng ba mét, là một chiếc thuyền nhỏ khác, không có ai ngồi. Và vì vậy, người trẻ nhất trong chúng tôi, Lesha Kuvshinov, lúc đó đang học lớp 10, muốn chuyển sang trượt ván. Và theo tôi, để làm được điều này khi đang di chuyển là không thể. Ít nhất, điều đó rất khó khăn: ngay cả khi bạn kéo chiếc thuyền nhỏ lên thuyền, việc chuyển sang nó mà không bị lật úp là điều không thể tưởng tượng được. Nhưng Lesha đã nghĩ ra một cách khác: “Tôi sẽ nhảy lên cao, và trong khi tôi đi xuống, chiếc thuyền nhỏ sẽ ở bên dưới tôi.” Và sau đó tất cả học sinh trung học (và đây đều là học sinh toán, và họ không thể coi thường) bắt đầu ganh đua với nhau để giải thích nguyên lý tương đối của Galileo cho Lesha. Họ nói, trái đất có thể được coi là một hệ quy chiếu quán tính. Điều này có nghĩa là nếu không có ngoại lực nào tác dụng lên vật (hay chính xác hơn là nếu tất cả các lực tác dụng lên vật bù trừ cho nhau) thì vật đó duy trì trạng thái đứng yên hoặc đồng đều.

chuyển động thẳng đều so với Trái Đất. Tất nhiên, có những tình huống trong đó hệ quy chiếu gắn với Trái đất không thể coi là quán tính. Một ví dụ rõ ràng về điều này là con lắc Foucault. Trong hệ quy chiếu quán tính, mặt phẳng trong đó con lắc dao động không đổi, nhưng trên thực tế, chẳng hạn, nếu thí nghiệm được thực hiện ở Moscow, thì mặt phẳng dao động sẽ quay chậm. Một ví dụ khác là các con sông chảy ở bán cầu bắc cuốn trôi bờ phải. Và nếu hệ thống gắn liền với Trái đất là quán tính thì cả hai ngân hàng sẽ có quyền ngang nhau. Nhưng đây đều là những hiệu ứng khá tinh tế, được quan sát bằng các phép đo rất chính xác hoặc trong khoảng thời gian rất dài. Trong trường hợp của chúng tôi, hệ quy chiếu gắn liền với Trái đất có thể được coi là quán tính. Điều này có nghĩa là bất kỳ hệ quy chiếu nào khác chuyển động đều và thẳng so với Trái đất cũng có thể được coi là quán tính. Con thuyền của chúng tôi chỉ là một hệ quy chiếu như vậy. Và sau đó, theo nguyên lý tương đối của Galileo, tất cả các định luật vật lý trong hệ thống xuồng cứu sinh đều giống như trong hệ thống gắn liền với Trái đất. Và sau khi nhảy lên thuyền, bạn sẽ hạ cánh tại đúng điểm trên con thuyền mà bạn đã xuất phát, giống như khi ở trên bờ. Ở đây, một trong những người của chúng tôi phản đối rằng nếu trên mặt đất cứng, tức là trên bờ, bắn thẳng đứng lên trên, thì viên đạn sẽ không rơi ở điểm ban đầu, ngay cả khi không khí hoàn toàn bất động so với Trái đất. Điều này thực sự đúng, nhưng đây là một trường hợp khác chứng minh tính phi quán tính của hệ quy chiếu Trái đất. Vì ảnh hưởng này không đáng kể nên có thể bỏ qua trong thí nghiệm của chúng tôi. Tuy nhiên, Lesha không bị thuyết phục bởi tất cả những lời giải thích này. Họ cũng trích dẫn cho anh ta lý luận của Galileo, người đã giải thích với những người cùng thời với anh ta rằng nếu một cuộc đấu tay đôi bằng súng lục diễn ra khi một con tàu đang di chuyển, thì không ai trong số những đấu thủ, cho dù anh ta nhìn từ đuôi tàu đến mũi tàu hay ngược lại, có lợi thế hơn. Và họ nhắc lại cách anh ấy, Lesha, đi trên chuyến tàu đến Biostation, chơi một quả bóng trong toa và quả bóng chuyển động so với toa xe giống như cách nó di chuyển trên một trái đất đứng yên với những cú đánh giống nhau. Nhưng nó không có ích gì. Lesha chắc chắn muốn nhảy, nhưng chúng tôi phản đối, vì chiếc thuyền có thể bị rò rỉ do va chạm. Nhưng cuối cùng họ đã nhượng bộ và Lesha đã nhảy xuống. Lẽ ra anh ta phải chìm xuống điểm xuất phát (và con thuyền lắc lư nhiều đến mức phải hứng một lượng nước nhất định). Lesha suy nghĩ rất lâu. Và có lẽ ông đã nhớ mãi nguyên lý tương đối của Galileo. Tôi sẽ nhân cơ hội này để chỉ ra những ví dụ về việc học sinh thường học bài một cách hời hợt như thế nào. Một ngày nọ, một sinh viên đang đi đến Trạm sinh học Biển Trắng. Anh ta đến Poyakonda bằng tàu hỏa, từ đó anh ta sẽ được đưa đến nơi bằng thuyền. Đã đi bộ đến

29

ĐI BỘ

Ba giờ sáng mới cập bờ (đêm trắng), còn lâu lắm thuyền mới cập bến. Không một bóng người xung quanh. Anh đặt chiếc ba lô nặng nề của mình xuống đất và đi khám phá xung quanh. Và khi tôi quay lại, chiếc ba lô đã biến mất. Trộm cắp là điều không thể xảy ra - ngôi làng rất nhỏ và người dân thậm chí không khóa cửa. Người học trò ngồi xuống một phiến đá và chìm đắm trong những suy nghĩ nặng nề về những thăng trầm của cuộc đời. “Cái gì trôi nổi trên biển vậy?” - cậu sinh viên nghĩ. “Không, nó không nổi, nhưng có lẽ nó đứng yên.” Tôi đã nhìn kỹ hơn. “Đúng, đây là ba lô của tôi!” – học sinh đoán. May mắn thay anh ấy đang đi ủng - anh ấy đi đến ba lô của mình ở vùng nước nông. Người sinh viên quên rằng biển có thủy triều. Nhưng anh ấy đã học điều này ở trường và có lẽ thậm chí còn đạt điểm A cho một bài học được ghi nhớ hoàn hảo. Nhưng thực tế của vấn đề là bạn có thể ghi nhớ nó và không nghĩ về nó. Một trường hợp khác lại xảy ra ở Biển Trắng. Một nhóm du khách đi dạo và một trong số họ, Sacha Codreanu, ở lại bên bếp lửa để pha trà. Anh là một cậu học sinh rất thông minh, vừa đạt giải nhất Olympic Toán toàn Liên đoàn. Anh ta đi đến cái giếng, và bên cạnh đó là biển - nước trong đó rất trong và vui đùa dưới ánh mặt trời. Và anh ta đổ đầy một xô nước biển. Anh ta quên rằng nước biển có vị mặn, nhưng có lẽ anh ta đã biết về điều đó. Nhưng đây là kiến ​​thức để lấy điểm chứ không phải để sống. Nước (mặn) vừa sôi vừa lúc đoàn người mệt mỏi quay về. Hóa ra kiến ​​thức ở trường có thể là vô ích. Điều này xảy ra nếu họ không kết nối với những quan sát cuộc sống. Một người phải có hai “trường học” - một trên đường phố và ở nhà, một ở trường và chúng phải được kết nối với nhau. Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Đây là một người đàn ông đang đi dạo trong thành phố, anh ta mười lăm tuổi và có tầm nhìn một trăm phần trăm. Nhưng anh ấy không nhìn thấy gì cả. Anh ta không nhận thấy rằng chim bồ câu và quạ là những loài chim khác nhau. Tôi không để ý rằng xe đẩy có còi trên nóc (chúng được gọi một cách khoa học là cần tiếp điện). Anh chưa bao giờ nhìn thấy cầu vồng và cũng không để ý rằng các đám mây tích thường có bề mặt đáy phẳng. Tôi không bịa ra tất cả những điều này - đây là kết quả của những quan sát. Tôi đã từng hỏi các thành viên trong nhóm của mình liệu có phải Mặt Trăng và Mặt Trời

VỚI

VẬT LÝ

có thể nhìn thấy trên bầu trời cùng một lúc. Một người nói rằng anh ta đã nhìn thấy nó một lần, những người còn lại không nhận thấy điều gì tương tự, và một số thậm chí còn ngạc nhiên rằng Mặt trăng có thể được nhìn thấy vào ban ngày. Nhưng… hãy quay lại với những chú chim. Tôi luôn được dạy rằng sổ tay của Leonardo da Vinci chứa đầy những hiểu biết sâu sắc. Và gần đây tôi cuối cùng đã quyết định đọc những cuốn sách này, tất nhiên, đã được xuất bản từ lâu bởi các nhà xuất bản học thuật có uy tín. Trong “Tác phẩm chọn lọc” của Leonardo da Vinci (M.: Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1955) có một chương “Về chuyến bay và chuyển động của các vật thể trong không khí”. Đây là một nghiên cứu chi tiết với nhiều quan sát thú vị và tuyệt vời hình. Nhưng hiểu được nó thì rất khó, đôi khi là không thể. Suy cho cùng, Leonardo tự viết cho mình mà không quan tâm đến việc giải thích ý nghĩa của các thuật ngữ được sử dụng. Chương này bao gồm phần “Tại sao chim di cư bay ngược chiều gió?” Tôi không thể tìm ra nó trong văn bản này, nhưng kết luận rõ ràng là không chính xác. Những bức ảnh cho thấy cách chim cất cánh - thực sự là luôn ngược chiều gió. Và khi chúng đã ở trên cao, bạn không thể nhìn thấy gió thổi theo hướng nào. Có thể giả định rằng điều này đã dẫn đến lỗi. Cần lưu ý rằng Leonardo liên tục đề cập đến các định luật tĩnh học do Archimedes phát hiện (ông đã nghiên cứu Archimedes từ các tác phẩm hoàn chỉnh, như được biết đến từ sổ ghi chép của ông, đã có sẵn cho ông). Nhưng số liệu thống kê không đủ để nghiên cứu chuyến bay. Nhưng động lực học như một môn khoa học vẫn chưa tồn tại, và Leonardo, người còn thiếu kiến ​​​​thức, đã liên tục sử dụng những phỏng đoán trực quan. Vì vậy, cả đời ông đã cố gắng tạo ra một chiếc máy bay nhưng đã thất bại. Phải mất bốn thế kỷ phát triển khoa học và công nghệ, con người cuối cùng mới có thể bay lên không trung. Vì vậy, tôi nghĩ rằng tôi đã đoán được từ đâu mà các nhà sinh vật học lại có ý tưởng sai lầm rằng gió ngược ngăn cản chim bay. Nó bắt nguồn từ các tác phẩm của Leonardo da Vinci. Và ý tưởng này vẫn tồn tại trong đầu một số người bởi vì kiến ​​thức vật lý của họ những người này chưa vượt qua được thời đại của Galileo. Nhưng đừng trách Leonardo đã không đi trước thiên tài đi sau ông…

ĐI BỘ VỚI VẬT LÝ

Làm thế nào để làm cho sữa trong?

(Xem phần mở đầu trang 4 của bìa)

… Hóa ra sau một thời gian, khi nồng độ đường trong dung dịch sữa trong nước đạt đến giá trị cần thiết thì dung dịch sẽ trở nên trong suốt trở lại. Tác dụng khai sáng của đường được giải thích khá đơn giản. Các vật thể không còn trong suốt khi bề mặt tiếp xúc giữa các môi trường có chiết suất ánh sáng khác nhau xuất hiện bên trong chúng. Trong sữa, đây là ranh giới giữa các giọt chất béo sữa (chiết suất n = 1,433 – 1,500) và nước (n = 1,333). Tại những ranh giới này, ánh sáng bị phản xạ theo nhiều hướng khác nhau, tức là tiêu tan. Đây là lý do tại sao sữa có màu đục. Nếu bạn tăng chiết suất của nước, nâng nó lên bằng chiết suất của chất béo sữa, chẳng hạn như bằng cách hòa tan đường trong đó, thì sữa có thể trở nên trong suốt. K. Bogdanov