Bài toán

36

KMS

KVANT 2010/№2

Bài toán

Số CUBE là một khối lập phương. Chứng minh rằng số SHAR không phải là số lập phương. (Như thường lệ, các chữ in hoa khác nhau biểu thị các số khác nhau.) A. Khachaturian

Các hình tròn có bán kính 1 (và do đó có diện tích $\pi )$ được xếp chồng lên nhau sao cho ranh giới của chúng tạo thành một chiếc khăn ăn bằng ren (xem hình). Tìm diện tích của hình là giao của các hình tròn này. N. Avilov

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Từ lâu, con người đã có thể đạt được nhiệt độ thấp cần thiết để bảo quản thực phẩm mà không cần tủ lạnh. Để làm điều này, họ cho đá vào hầm vào mùa đông, và vào mùa hè họ trộn đá nghiền với muối. Khi trộn đá với muối, nhiệt độ của hỗn hợp có thể giảm xuống $-^{21} \infty^{C}$ (kiểm tra điều này bằng thực nghiệm), như trong tủ đông hiện đại. Tại sao cần gạt nước rắc muối vào mùa đông? Họ có muốn giảm nhiệt độ bên ngoài không? E. Sokolov

Vị Lạt ma thông thái có hai học trò lười biếng. Một ngày nọ, Lạt ma quyết định dạy cho họ một bài học và đề nghị chơi một trò chơi cổ xưa. Họ ngồi xuống một chiếc bàn tròn có 999 que diêm được đổ ra. Học sinh ngồi bên tay trái của Lạt ma được phép đánh 1, 3 hoặc 5 que diêm mỗi lượt. Học sinh ngồi bên tay phải của Lạt ma đánh 2, 4 hoặc 6 que diêm mỗi lượt. Lama do trí tuệ nên luôn thắng đúng 1 trận. Nước đi đầu tiên được thực hiện bởi lạc đà không bướu, sau đó các nước đi được thực hiện lần lượt theo chiều kim đồng hồ. Bất cứ ai không thể thực hiện một động thái sẽ bỏ lỡ nó. Người nào thực hiện trận đấu cuối cùng sẽ thắng. Ai sẽ thắng? Văn hóa dân gian

Minh họa của D. Grishukova

Sasha cầm một cây bút có ngòi mỏng và viết chữ (hình1) vào các ô một cách đẹp đẽ, như được dạy. Artem lấy một chiếc bút dạ dày và viết một từ khác rất đẹp (hình2). Và Masha lấy một cây bút áp phích rộng và viết từ thứ ba (hình3). Masha đã viết từ gì? E. Sokolov

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

39

ĐẾN

M

Sh

Hình 14

Hình 17

Sử dụng định lý tương tự, nhưng đối với vòng tròn 3, đẳng thức có thể tiếp tục:

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$ và hơn thế nữa (khoanh tròn 1)

$CO \cdot OD = EO \cdot OF '$.

Hình 15

Đo phẳng lời giải

Hãy quay lại bài toán ban đầu và xem xét ba vòng tròn giao nhau (1, 2 và 3 trên hình 16). Chúng ta hãy vẽ hai dây cung chung: một cho vòng tròn 1 và 3 và dây thứ hai cho vòng tròn 2 và 3. Như chúng ta đã thấy, các điểm trên dây thứ nhất có cùng bậc so với vòng tròn 1 và 3, và các điểm trên dây thứ hai có cùng bậc so với đường tròn.

Hình 16

điểm 2 và 3. Điều này có nghĩa là điểm chung của hai dây này có cùng bậc đối với cả ba đường tròn. Do đó, nó cũng nằm trên dây chung của đường tròn 1 và 2. Đây là điều cần chứng minh. lời giải này có thể được diễn đạt lại để nó trở thành hoàn toàn “trường học” và không sử dụng khái niệm mức độ (hình17). Vẽ hai dây chung AB (vòng 2 và 3) và CD (vòng 1 và 3). Gọi O là giao điểm của chúng. Hãy vẽ một đường thẳng đi qua điểm O và một trong hai điểm giao nhau của đường tròn 1 và 2 (giả sử là điểm trên của hình) - điểm E. Nếu câu bài toán sai thì đường thẳng này sẽ cắt đường tròn 2 và 1 tại các điểm khác nhau. Hãy gọi chúng là F và $F '$. Bây giờ chúng tôi lưu ý rằng

So sánh điểm đầu và điểm cuối của chuỗi đẳng thức này, ta có

$EO \cdot OF = EO \cdot OF '$, tức là F và $F '$ là cùng một điểm, cần phải chứng minh.

Câu hỏi và bài toán

1. Hãy chú ý đến cách định vị màng để tách các bong bóng xà phòng. Nó bị uốn cong theo hướng nào? Bong bóng nào có áp suất lớn hơn? (Phim này khó nhìn thấy trong ảnh của chúng tôi, vì vậy rất đáng để xem xét các bong bóng thật.) 2. Độ của một điểm nằm ở khoảng cách d tính từ tâm của một đường tròn bán kính r so với đường tròn này là bao nhiêu? 3. Chúng ta đã xác định được bậc của các điểm bên trong đường tròn. Đưa ra định nghĩa hình học cho các điểm bên ngoài đường tròn sao cho công thức bài toán 2 vẫn đúng. 4. Xét hai đường tròn (có giao nhau hay không). Tìm quỹ tích các điểm có cùng bậc (theo nghĩa bài toán trước đó) so với hai đường tròn này. Đáp số: đây là một đường thẳng; nó được gọi là trục đẳng phương của một cặp đường tròn. 5. Tìm trục đẳng phương của một cặp đường tròn tiếp tuyến. 6. Có ba đường tròn tiếp tuyến theo cặp. Qua mỗi điểm tiếp tuyến, một tiếp tuyến chung được vẽ đến cặp tương ứng. Chứng minh rằng ba đường thẳng này đi qua một điểm. 7. Trong mọi lập luận của mình, chúng ta đã ngầm giả định rằng các đường tròn không chỉ giao nhau theo từng cặp mà cả ba đường tròn đều chồng lên nhau (có một điểm nằm bên trong cả ba). Nếu không có điểm đó thì lý luận của chúng ta không còn hiệu quả nữa. Tuy nhiên, hãy chứng minh rằng trong trường hợp này ba hợp âm chung (chính xác hơn là phần mở rộng của chúng) giao nhau.

$EO \cdot OF = AO \cdot OB$

bằng định lý về đoạn hai cát tuyến (ở vòng tròn 2).

41

ĐẾN

M

Sh

Họa tiết băng trên kính

Đá trên kính. Vào mùa đông, cửa sổ xe buýt thường bị phủ sương hoặc sơn hoa văn băng giá ở bên trong. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào nhiệt độ và độ ẩm trong cabin. Ở độ ẩm thấp và làm mát dần dần từ 0 đến –6 $\infty^{C}$, một lớp băng lỏng mờ đục đồng nhất lắng đọng trên bề mặt kính. Trong trường hợp này, toàn bộ kính ở dưới điểm sương và hơi ẩm từ không khí đồng thời ngưng tụ trên toàn bộ bề mặt kính, phủ lên từng lớp và tạo thành trạng thái băng vô định hình, mờ đục. Nếu kính được làm mát ở độ ẩm không khí cao và trong quá trình làm mát, điểm sương được vượt qua, khi đó nước ngưng tụ trên kính sẽ kết tinh dưới dạng các hình dạng băng giá, tương tự như bàn chân hoặc cành cây lạ, đồng thời lấy đi nhiệt từ các khu vực lân cận của kính. Những mô hình này được gọi là đuôi gai. Khi kính được làm mát thêm, một lớp sương mỏng sẽ lắng đọng giữa các sợi nhánh, sau đó trên chính các sợi nhánh. Đôi khi nhiệt độ và độ ẩm cao đến mức kính đã lau đóng băng ngay trước mắt bạn, bị bao phủ bởi các tinh thể băng. Bằng cách nào đó, sau khi tan băng, trời đột nhiên trở nên lạnh hơn và các mẫu đuôi gai lớn hơn bao phủ phần dưới của kính cửa sổ, trong khi ở phía trên các tinh thể nhỏ hơn đáng kể. Tại sao? Nó không khó để giải thích. Tinh thể được hình thành từ nước ngưng tụ trên thủy tinh và do trọng lực, nó chảy và tích tụ bên dưới. Vào mùa đông, không khí lạnh có thể xâm nhập vào bên trong xe buýt qua các vết nứt khung và cửa sổ mở. Không khí ấm áp và ẩm ướt của cabin tiếp xúc với nó, đồng thời nguội đi, mất đi độ ẩm dư thừa. Tại sao cửa sổ không bị sương mù và đóng băng khi không khí bên ngoài lọt vào? Trong trường hợp này, hai quá trình xảy ra bên trong cabin: không chỉ không khí ấm được làm mát mà cả không khí lạnh đi vào cabin sẽ nóng lên và hấp thụ nước khi khả năng giữ ẩm của nó tăng lên. Điều này dễ dàng được xác nhận bằng thực nghiệm.

Nếu bạn đeo kính, bạn biết (mặc dù mọi người đều biết điều này) rằng vào mùa đông, khi bạn từ ngoài đường bước vào một căn phòng ấm áp, sương mù sẽ bay lên. Nhưng ít người chú ý đến điều sau: ngay khi bạn ra ngoài trời lạnh mà không lau kính, hơi ẩm sẽ bốc hơi hoàn toàn khỏi kính. Thực hiện thí nghiệm này với một mảnh thủy tinh, tốt nhất bạn không nên cầm nó trên tay mà bằng một loại khung nào đó. Hãy để tôi cung cấp cho bạn một vài quan sát thêm. Có lần tôi hít vào một khu vực được lau trên cửa sổ đóng băng, và nó nhanh chóng bị bao phủ bởi sương mịn, với những chiếc kim dài hơn phần còn lại của kính. Một lần khác, ở nhiệt độ bên ngoài -25 $\infty^{C}$, một lớp sương dày hơn xuất hiện trên khu vực được lau trong 5–7 phút so với trên kính chưa được lau, và lần này không cần phải thở trên kính. Rõ ràng, quá trình hình thành một lớp sương trên kính phụ thuộc vào sự kết hợp của một số điều kiện nhất định: nhiệt độ và độ ẩm trong cabin và bên ngoài cửa sổ. Các tinh thể băng xuất hiện trên kính, lớn dần trước mắt chúng ta, dưới dạng sợi băng (trichites) hoặc các mẫu băng ở dạng chân vân sam (đuôi gai). Điều thú vị là trong quá trình sinh trưởng, chúng được bao quanh bởi một vùng kính nhỏ không có sương giá. Đúng như dự đoán trước đó, năng lượng giải phóng của nước kết tinh ảnh hưởng đến các điều kiện trong không gian xung quanh dendrite, ngăn cản sự hình thành các tinh thể khác ở gần và xung quanh các tinh thể đang phát triển. Theo phép đo của các nhà khoa học, sự lắng đọng của băng trên bề mặt đi kèm với sự dao động nhiệt độ gần nó lên tới +5 $\infty^{C}$, ảnh hưởng đến sự tồn tại trong khu vực này sự giải phóng nhiệt đáng chú ý và sự truyền nhiệt của nó bằng sự đối lưu. Điều này được xác nhận qua quan sát sau đây về một đoàn tàu điện đang đỗ trong kho. Kính cửa sổ tàu gấp đôi, nhiệt độ không khí bên ngoài khoảng –12 $\infty^{C}$. Trên bề mặt bên ngoài của tấm kính bên ngoài có những hạt băng - từ những giọt nước hiếm đóng băng. Kính bên trong phía hành khách được phủ một lớp sương trắng với những đốm kính sạch hình tròn, tâm của chúng trùng với vị trí của những giọt nước đóng băng bên ngoài.

43

THUỘC VẬT CHẤT

tiến hành một thí nghiệm đơn giản trong đó các bức ảnh kỹ thuật số có cùng kích thước hình học được hình thành bởi số lượng điểm sáng và điểm tối khác nhau, tức là “kích thước pixel” (hoặc kích thước hình nón) của chúng tăng dần (hình2). Bắt đầu với một số điểm nhất định,

Hình 2

Với một chút trí tưởng tượng, có thể “nhận ra” người được miêu tả (quen thuộc với chúng ta qua các bức chân dung). Trên nền sương mù sáng, toàn bộ hình người và khuôn mặt của người đó trông tối tăm một cách tự nhiên. Độ sáng tương đối tối đa của các điểm trên mặt được xác định bởi hệ số phản xạ ánh sáng và khoảng 0,5. Ngoài ra còn có các vùng tối hơn của hình ảnh khuôn mặt trên võng mạc - độ tương phản lên tới 1,0, được định nghĩa là tỷ lệ chênh lệch giữa độ sáng tối đa và tối thiểu của các điểm với độ sáng tối đa. Bạn có thể biểu thị giá trị này dưới dạng phần trăm, khi đó độ tương phản tối đa sẽ là 100%. Phạm vi độ sáng từ 0,5 đến 0,1 (hoặc tương phản từ 0 đến 80%) có thể được chia thành nhiều phần. Hơn nữa, để nhận dạng chi tiết một cách đáng tin cậy, điều cần thiết là ở ranh giới của các điểm, độ sáng phải thay đổi đột ngột ở mức đáng chú ý. Nếu mức thay đổi độ sáng là 20% thì chỉ có bốn mức là đủ để “lấp đầy” toàn bộ phạm vi (80/20 = 4 = 2 bit). Do đó, lượng thông tin tối thiểu (tính bằng bit) cần thiết để nhận dạng khuôn mặt của một người là khoảng $30 \times 30 \times 2 = 1,8 \times 10^{3}$. Sau đó, trong trường hợp không có sương mù và trong điều kiện ánh sáng bình thường, một người có kích thước đầu đặc trưng là 20 cm có thể nhận ra khuôn mặt của người đó từ khoảng cách bằng 0,3 m $\times ( 20$ cm 4 cm $) \times \times ( 800 30 ) = 40$ m. Ở đây 0,3 m là khoảng cách có tầm nhìn tốt nhất, hệ số nhân (20 cm/4 cm) đảm bảo “vị trí” hình ảnh khuôn mặt của người đó trên hố mắt trung tâm và hệ số nhân (800/30) “điều chỉnh” kích thước hình ảnh hình nón lên tới độ lớn $30 \times 30$. Trong điều kiện bài toán khoảng cách được chỉ định – 10 bước hoặc 7 m – nhỏ hơn 40 m, tức là. Không phải trường hợp này (giảm kích thước hình ảnh trên võng mạc) khiến bạn không thể nhận ra một người trong sương mù. Nếu có sương mù “được chiếu sáng” giữa mắt người quan sát và vật đang được xem xét thì độ tương phản của ảnh sẽ

KHÔNG BẮT BUỘC

Tổn thương trên võng mạc giảm dần theo khoảng cách từ đối tượng quan sát, giảm dần về 0. Điều này là do hai quá trình xảy ra đồng thời. Đầu tiên, khi bạn di chuyển ra xa nguồn sáng, ánh sáng dần tiêu tan nhưng đây không phải là điều quan trọng nhất. Và điều chính là (thứ hai) khi độ dày của lớp sương mù giữa nguồn sáng và mắt tăng lên, cái gọi là đèn nền cũng tăng lên. Tỷ lệ ánh sáng đi thẳng vào mắt người quan sát từ nguồn sáng (ảnh) giảm và tỷ lệ ánh sáng từ các nguồn khác, bị phân tán bởi những giọt sương mù và rơi vào mắt, tăng lên. Trong loạt ảnh (hình3) được đưa ra để minh họa hiện tượng này (ngược sáng), có thể thấy rõ rằng độ sáng của môi trường xung quanh không thay đổi, các điểm sáng trong ảnh càng trở nên sáng hơn và các điểm tối dần sáng lên cho đến khi cả hai đều có độ sáng tương đương với môi trường xung quanh. Quá trình chuyển đổi từ cặp ảnh đầu tiên (ở bên trái) sang ảnh thứ hai, v.v. (ở bên phải) tương ứng với sự gia tăng “mật độ” của sương mù lên một số lần nhất định. Dần dần, các bức ảnh trở nên mờ nhạt đến mức khó có thể nhận ra ai bằng khuôn mặt, nhưng chú thích trên ảnh vẫn có thể đọc được. Điều này cho thấy các đường nét tối, sắc nét rất quan trọng để nhận dạng hình ảnh, đặc biệt là khuôn mặt người. Những đường như vậy đặc trưng cho hình dạng của mắt, lông mày, miệng và mũi. Chính nhờ những đường nét này mà chúng ta nhận ra những người được mô tả trong hình hoặc trong bức ảnh. Hãy quay lại bài toán của chúng ta. Khi nói về khả năng nhận dạng từ xa, họ thường cho rằng “một cái nhìn thoáng qua” là đủ cho thao tác này. Do đó, chúng tôi sẽ làm cho bài toán dễ dàng hơn bằng cách chỉ định 20% ​​làm độ tương phản tối thiểu. Các giọt sương mù có đường kính 10 micron lớn hơn đáng kể so với chiều dài của tất cả các sóng ánh sáng mà mắt có thể nhìn thấy được, vì vậy chúng ta có thể cho rằng sự tán xạ ánh sáng không phụ thuộc vào bước sóng, tức là Ánh sáng của tất cả các màu bị phân tán như nhau bởi những quả bóng như vậy và thực tế không bị hấp thụ. Vì ánh sáng chiếu vào các giọt nước giữa hai người từ mọi hướng nên mỗi giọt nước là một nguồn sáng hình cầu có độ sáng hoặc cường độ sáng nhất định. Bức tường sương mù trắng là một bức tường vững chắc của những quả bóng như vậy, vì dù chúng ta nhìn theo hướng nào, đường ngắm ở một khoảng cách nào đó chắc chắn sẽ “đánh trúng” một trong những quả bóng. Nếu trên đường tới đối tượng quan sát, 80% diện tích hình ảnh được bao phủ bởi các quả bóng thì trong trường hợp này độ tương phản của hình ảnh nhìn thấy được sẽ không vượt quá 20%. Do đó, có thể tìm thấy mối liên hệ giữa kích thước của các quả bóng nhỏ $D_{к}$, nồng độ của chúng trong không khí $n_{к}$ và khoảng cách L mà tại đó không thể nhận ra một người trong sương mù. Xét một lớp sương mù có diện tích S và độ dày x nhỏ. Tập Sx chứa $n_{к} Sx$ giọt. Họ chiếm $\pi D_{к}^{2} n_{к} \times x 4$ phần của khu vực,

(

) tức là chỉ còn chưa được khám phá

$( 1 - \pi D n \times x 4 )$ -phần diện tích thứ-

2 đến để đi. Nếu có nhiều lớp như vậy thì khi số lượng lớp tăng lên, tỷ lệ diện tích không được che chắn sẽ ngày càng nhỏ hơn. Với tổng độ dày lớp

Hình 3