[Tưởng nhớ D. G. Von der Flaass]

16

KVANT 2010/№5

Vào tháng 6 năm nay, Dmitry Germanovich Von Der Flaass (1962 – 2010), một nhà toán học và giáo viên tuyệt vời, một người thông minh và quyến rũ, qua đời không đúng lúc. Độc giả của chúng tôi đã hơn một lần bắt gặp cái tên này - tạp chí «Kvant» thường đăng nó bài toán. Dmitry Germanovich đã làm việc thành công trong lĩnh vực khoa học lớn, nhưng đây chỉ là một phần hoạt động của ông. Cuộc thi thứ hai bao gồm các kỳ thi Olympic toán học dành cho học sinh: ông làm việc trong ban giám khảo của các kỳ thi Olympic toàn Liên minh và toàn Nga, và trong những năm gần đây, các kỳ thi Olympic quốc tế. Ông giảng dạy ở nhiều trại và trường toán khác nhau, đồng thời là một trong những huấn luyện viên của đội chúng tôi tại Olympic Toán quốc tế. Chúng tôi xin gửi đến các bạn bản ghi âm (có viết tắt một chút và giữ nguyên văn phong của tác giả) bài giảng của D. Von Der Flaass tại Trung tâm Trẻ em Toàn Nga “Orlyonok” năm 2009.

Các định lý của nhà ngụy biện Gorgias và toán học hiện đại

D. FLAASS VON DER

CÓ MỘT GORGIAS SOPHIST CỔ ĐẠI. Ông nổi tiếng vì đã đưa ra ba định lý. Định lý đầu tiên như thế này: không có gì trên thế giới tồn tại. Định lý thứ hai: và nếu một cái gì đó tồn tại thì con người không thể biết được. Định lý thứ ba: nếu một điều gì đó vẫn có thể biết được thì nó không thể truyền đạt được cho hàng xóm của mình. Nói cách khác, không có gì cả, và nếu có điều gì đó thì chúng ta sẽ không biết gì về nó, và ngay cả khi chúng ta có tìm ra điều gì đó, chúng ta cũng sẽ không thể nói cho ai biết. Tôi sẽ bổ sung thêm định lý thứ tư vào ba định lý này: ngay cả khi chúng ta có thể nói được điều gì đó thì cũng sẽ không có ai quan tâm. Và bốn định lý này, nói đúng ra, là những vấn đề chính của toán học hiện đại.

Định lý đầu tiên của Gorgias

Hãy bắt đầu với điều đầu tiên - không có gì trên thế giới tồn tại, hoặc dịch sang ngôn ngữ toán học, toán học làm một điều gì đó không thể hiểu được. Ở một khía cạnh nào đó, điều này là đúng. Rốt cuộc, các đối tượng toán học không tồn tại trên thế giới. Điều đơn giản nhất, nơi mọi thứ bắt đầu và là thứ mà các nhà toán học luôn sử dụng, là các số tự nhiên. Tất cả chúng ta đều biết số tự nhiên là gì - chúng là 1, 2, 3, 4, v.v. Và việc tất cả chúng ta đều hiểu ý nghĩa của từ “vân vân” là một bí ẩn lớn. Bởi vì “vân vân” có nghĩa là có “vô số” số. Không có chỗ nào trong thế giới của chúng ta có thể chứa vô số thứ gì đó. Nhưng tất cả chúng ta đều chắc chắn rằng khi nghĩ về số tự nhiên, chúng ta đều nghĩ về cùng một điều. Nếu số 7 của tôi theo sau là số 8 thì số 7 của bạn sẽ theo sau là số 8. Nếu số 19 của tôi là số nguyên tố thì số 19 của bạn sẽ là số nguyên tố. Đó là lý do tại sao? Có vẻ như vật thể này không tồn tại trên thế giới nhưng chúng ta biết về nó và biết mọi thứ

Dmitry Germanovich Von Der Flaass cũng nói về điều tương tự. Tất nhiên, đây không phải là một câu đố toán học, mà là một câu đố triết học, hãy để các triết gia thảo luận. May mắn thay, đối với chúng tôi, chỉ cần chúng tôi vẫn có ý tưởng về các đối tượng toán học là đủ và tất cả những ai bắt đầu nghĩ về chúng cũng vậy. Và do đó toán học là có thể. Nhưng vấn đề triết học lớn vẫn còn đó. Nếu, theo thông lệ của các nhà toán học, bạn nghĩ về điều này một cách nghiêm túc, tức là cố gắng bằng cách nào đó nghĩ về điều này một cách nghiêm túc, thì sẽ nảy sinh các vấn đề mà tôi sẽ nói đến bây giờ. Chúng xuất hiện trong ký ức của nhân loại khá gần đây, theo đúng nghĩa đen là trong một trăm năm qua.

17

CÁC ĐỊNH LÝ

sophista

GORGIAS

Có rất nhiều thứ trong toán học ngoài số tự nhiên. Có mặt phẳng Euclide của chúng ta, trên đó chúng ta vẽ đủ loại hình tam giác, góc và chứng minh các định lý về chúng. Có số thực, có số phức, có hàm, có thứ còn khủng khiếp hơn… Ở đâu đó vào đầu thế kỷ 19 - 20, rất nhiều công việc đã được thực hiện (mặc dù tất nhiên là bắt đầu sớm hơn một chút), mọi người nhận ra rằng về nguyên tắc, toàn bộ các đối tượng toán học có thể được rút gọn thành một khái niệm duy nhất - khái niệm về tập hợp. Tất nhiên, nếu chúng ta chỉ có ý tưởng trực quan về tập hợp là gì và “v.v.” là gì, thì về cơ bản chúng ta có thể xây dựng tất cả các phép toán. một bộ là gì? Vâng, nó chỉ là rất nhiều thứ. Câu hỏi là: bạn có thể làm gì với các bộ? Nếu chúng ta có một loại tập hợp nào đó thì việc chúng ta có nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là về bất kỳ phần tử nào trong thế giới của chúng ta, thế giới của các đối tượng toán học, chúng ta có thể hỏi liệu nó có nằm trong tập hợp này hay không và nhận được đáp số. Đáp số rõ ràng, hoàn toàn độc lập với ý muốn của chúng tôi. Đây là điều cơ bản đầu tiên bạn có thể làm với tập hợp - tìm hiểu xem một phần tử có thuộc tập hợp hay không. Tất nhiên, bằng cách nào đó chúng ta vẫn cần phải tự mình xây dựng những bộ này. Vì vậy, cuối cùng, toàn bộ kho tàng đối tượng toán học sẽ được xây dựng từ chúng. Làm thế nào chúng có thể được xây dựng? Ví dụ: bạn có thể xây dựng một tập hợp trống: $\emptyset$. Đầu tiên, đơn giản nhất. Chúng ta biết gì về anh ấy? Rằng bất kể phần tử nào chúng ta hỏi nó có thuộc tập hợp này hay không, đáp số sẽ luôn là - không, nó không thuộc về. Và bằng cách này, tập trống đã được xác định duy nhất. Tất cả các câu hỏi về anh ấy đều nhận được ngay lập tức đáp số. Hoan hô! Bây giờ chúng ta đã có tập trống này. Và chúng ta có thể xây dựng một tập hợp không chứa gì ngoài tập hợp trống: ${ \emptyset }$. Một lần nữa, việc chúng ta có bộ này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là chúng ta có thể hỏi về bất kỳ phần tử nào xem nó có thuộc tập hợp này hay không. Và nếu phần tử này là một tập hợp trống thì đáp số sẽ là “có”. Và nếu phần tử này là bất kỳ phần tử nào khác thì đáp số sẽ là “không”. Vì vậy, bộ này cũng được đưa ra. Đây là nơi tất cả bắt đầu. Có một số thao tác trực quan hơn mà bạn có thể sử dụng. Nếu chúng ta có hai bộ thì chúng ta có thể kết hợp chúng lại. Chúng ta có thể nói rằng bây giờ sẽ có một tập hợp trong đó sẽ có các phần tử từ tập hợp này hoặc tập hợp khác. Một lần nữa, đáp số đối với câu hỏi liệu một phần tử có thuộc tập hợp kết quả hay không là không rõ ràng. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể xây dựng một công đoàn. Và vân vân. Đến một lúc nào đó, chúng ta phải tuyên bố riêng rằng, xét cho cùng, chúng ta có một loại tập hợp nào đó trong đó có vô số phần tử. Vì chúng ta biết rằng có các số tự nhiên nên chúng ta tin rằng tồn tại một tập hợp vô hạn. Chúng tôi thông báo rằng tập hợp số tự nhiên cũng có sẵn cho chúng tôi. Ngay khi một tập hợp vô hạn xuất hiện, thì bạn có thể gặp đủ loại rắc rối và xác định mọi thứ

VÀ

HIỆN ĐẠI

TOÁN HỌC

bất cứ điều gì. Số nguyên có thể được xác định. Một số nguyên là số 0 hoặc số tự nhiên, có hoặc không có dấu trừ. Tất cả điều này (có thể không hiển nhiên như tôi nói) có thể được thực hiện bằng ngôn ngữ lý thuyết tập hợp. Số hữu tỷ có thể được xác định. Số hữu tỉ là gì? Đây là một cặp gồm hai số - một tử số và một mẫu số (khác 0). Bạn chỉ cần xác định cách cộng chúng, cách nhân chúng với nhau. Và điều kiện nào để các cặp như vậy được coi là cùng một số hữu tỉ. Số thực là gì? Đây là một bước thú vị. Ví dụ, bạn có thể nói rằng đó là số thập phân vô hạn. Đó sẽ là một định nghĩa rất tốt. Điều này có nghĩa là gì - một phần thập phân vô hạn? Điều này có nghĩa là chúng ta có một số loại dãy số vô hạn, tức là với mỗi số tự nhiên, chúng ta biết chữ số nào đứng ở vị trí đó của số thực. Tất cả các chuỗi như vậy tạo thành số thực. Một lần nữa, chúng ta có thể xác định cách cộng chúng, cách nhân chúng, v.v. Nhân tiện, đây không phải là cách các nhà toán học thích định nghĩa số thực mà là cách thức. Hãy lấy tất cả các số hữu tỉ - chúng ta đã có chúng rồi. Bây giờ chúng ta hãy khai báo rằng số thực là tập hợp các số hữu tỉ nhỏ hơn nó. Đây là một định nghĩa rất phức tạp. Trên thực tế, nó rất giống với cái trước. Ví dụ: nếu chúng ta có một số thực 3.1415926… (có một chuỗi số vô tận theo sau mà tôi không thuộc lòng), thì chẳng hạn, những số hữu tỷ nào sẽ nhỏ hơn nó? Hãy cắt phân số ở vị trí thập phân thứ hai. Chúng tôi nhận được số 3,14, nó ít hơn số của chúng tôi. Hãy cắt bỏ phân số ở vị trí thập phân thứ tư - chúng ta nhận được 3,1415, một số hữu tỉ khác nhỏ hơn số hữu tỉ của chúng ta. Rõ ràng là nếu chúng ta biết tất cả các số hữu tỉ nhỏ hơn số của chúng ta thì số này được xác định duy nhất. Bạn có thể hình dung rõ ràng một bức tranh giống như trên hình $1._{Рис.} 1$ Đường thẳng đều là các số thực, trong số đó ẩn số của chúng ta nằm ở đâu đó, và ở bên trái của nó có rất, rất nhiều số hữu tỷ nhỏ hơn nó. Theo đó, tất cả những lý trí khác sẽ lớn hơn nó. Bằng trực giác, rõ ràng là có một khoảng cách duy nhất giữa hai tập hợp số hữu tỉ này và chúng ta sẽ gọi khoảng cách này là một số thực. Đây là một ví dụ về cách, bắt đầu với khái niệm về một tập hợp, tất cả toán học dần dần được giải quyết. Tại sao điều này là cần thiết? Rõ ràng là trong thực tế, tất nhiên không ai sử dụng điều này. Chẳng hạn, khi một nhà toán học nghiên cứu hàm số của một biến phức, anh ta không nhớ rằng số phức là một cặp số thực, số thực là một tập hợp vô hạn các số hữu tỉ, số hữu tỉ là một cặp số nguyên, v.v. Nó đã hoạt động với các đối tượng được hình thành đầy đủ. Nhưng về nguyên tắc mọi thứ đều có thể

20

KVANT 2010/№5

Không. Những tuyên bố mà chúng tôi không thể chứng minh từ những tiên đề này và chúng tôi cũng không thể bác bỏ. Lý thuyết tập hợp đang phát triển mạnh mẽ và hiện nay nó đang tiến gần nhất đến vấn đề này: chúng ta thường phải đối mặt với một tình huống trong đó một số câu hỏi nghe có vẻ khá tự nhiên, chúng ta muốn đạt đáp số cho chúng, nhưng người ta đã chứng minh rằng chúng ta sẽ không bao giờ biết đáp số, bởi vì cả đáp số và đáp số kia đều không thể suy ra được từ các tiên đề. Phải làm gì? Trong lý thuyết tập hợp, bằng cách nào đó họ cố gắng chống lại điều này, cụ thể là, họ cố gắng đưa ra những tiên đề mới mà vì lý do nào đó vẫn có thể được thêm vào. Mặc dù, có vẻ như mọi thứ hiển nhiên bằng trực giác đối với nhân loại đã được quy giản thành những tiên đề của lý thuyết tập hợp được phát triển vào đầu thế kỷ 20. Và bây giờ hóa ra bạn vẫn muốn một cái gì đó nhiều hơn nữa. Các nhà toán học rèn luyện trực giác của họ hơn nữa để một số phát biểu mới đột nhiên có vẻ rõ ràng về mặt trực giác đối với tất cả các nhà toán học vì lý do nào đó, và sau đó chúng có thể được chấp nhận như những tiên đề mới với hy vọng rằng với sự trợ giúp của chúng, đáp số có thể thu được cho một số câu hỏi này. Tất nhiên, tôi không thể cho bạn biết tất cả những điều này xảy ra như thế nào, có những tuyên bố cực kỳ phức tạp và bạn cần phải nghiên cứu sâu về lý thuyết tập hợp, trước tiên, để hiểu những gì chúng phát biểu, và thứ hai, để hiểu rằng những tuyên bố này thực sự có thể được coi là hiển nhiên về mặt trực giác và được chấp nhận như những tiên đề. Đây chính là điều mà một trong những lĩnh vực bí ẩn nhất của toán học hiện nay đang phải giải quyết - lý thuyết tập hợp.

Định lý thứ hai của Gorgias

Định lý thứ hai của Gorgias nghe như thế này: nếu có thứ gì tồn tại thì con người không thể biết được. Bây giờ tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về các phát biểu thuộc loại này. Với lý thuyết tập hợp đã có một vấn đề, liệu chúng ta có quyền đặt những câu hỏi như thế này: “tiên đề lựa chọn có đúng không?” Nếu chúng ta chỉ muốn làm toán mà không gặp phải mâu thuẫn thì về nguyên tắc, chúng ta có thể vừa chấp nhận tiên đề lựa chọn vừa chấp nhận rằng nó không đúng. Trong cả hai trường hợp, chúng ta sẽ có thể phát triển toán học, thu được một số kết quả trong trường hợp này, kết quả khác trong trường hợp khác, nhưng chúng ta sẽ không bao giờ đi đến mâu thuẫn. Nhưng bây giờ tình hình đã khác. Rõ ràng là có những kết quả mà đáp số rõ ràng tồn tại và rõ ràng là nó được xác định rõ ràng, nhưng nhân loại có thể không bao giờ biết được điều đó. Ví dụ đơn giản nhất là bài toán (3N + 1) mà tôi sẽ nói đến bây giờ. Hãy lấy bất kỳ số tự nhiên nào. Nếu chẵn thì chia đôi. Và nếu nó là số lẻ thì nhân nó với 3 và cộng 1. Chúng ta làm tương tự với số kết quả, v.v. Ví dụ: nếu chúng ta bắt đầu với số ba, chúng ta sẽ nhận được

$3\to 10\to 5\to 16\to 8\to 4\to 2\to 1$

Nếu chúng ta bắt đầu với số bảy, quá trình này sẽ lâu hơn một chút. Đã bắt đầu với một số

Đối với những số nhỏ, chuỗi này có thể khá dài, nhưng nó sẽ luôn kết thúc bằng một. Có một giả thuyết cho rằng dù chúng ta bắt đầu bằng số nào, nếu xây dựng một chuỗi như vậy thì chúng ta sẽ luôn đạt được 1. Đây là bài toán (3N + 1) - giả thuyết này có đúng không? Đối với tôi, dường như tất cả các nhà toán học hiện nay đều tin rằng điều đó là đúng. Và một số người liều lĩnh nhất thậm chí còn cố gắng chứng minh điều đó. Nhưng không có gì hiệu quả cho bất cứ ai. Và nó đã không xuất hiện trong nhiều thập kỷ. Vì vậy đây là một trong những bài toán hấp dẫn. Tất nhiên, những nhà toán học nghiêm túc sẽ coi thường nó - chỉ như một câu đố vui. Không biết cái gì sẽ ở đó và ai cần biết cái gì sẽ ở đó. Nhưng các nhà toán học không nghiêm túc vẫn quan tâm đến việc liệu giả thuyết đó có đúng hay không. Và cho đến khi nó được chứng minh, hoàn toàn chuyện gì cũng có thể xảy ra ở đây. Đầu tiên, rõ ràng là câu hỏi đáp số này có một câu trả lời có hoặc không rõ ràng. Đúng là, bắt đầu từ bất kỳ số tự nhiên nào, chúng ta sẽ trượt về phía một, hoặc điều đó không đúng. Rõ ràng bằng trực giác rằng ở đây đáp số không phụ thuộc vào bất kỳ sự lựa chọn tiên đề nào hoặc bất kỳ ý chí nào của con người. Vì vậy, có một giả định rằng nhân loại sẽ không bao giờ biết đáp số cho câu hỏi này. Tất nhiên, nếu ai đó chứng minh giả thuyết này thì chúng ta sẽ biết đáp số. Nhưng chứng minh có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là anh ấy sẽ giải thích cho chúng ta lý do tại sao bất kỳ số tự nhiên nào cũng hội tụ về 1 và những lý do này sẽ rõ ràng với chúng ta. Có thể xảy ra trường hợp ai đó chứng minh rằng một số có bảy mươi ba chữ số có những đặc tính chính xác đến mức nếu chúng ta chạy chuỗi này từ nó, chắc chắn chúng ta sẽ nhận được những số lớn tùy ý. Hoặc nó sẽ chứng minh rằng chuỗi này sẽ lặp lại ở một nơi khác. Một lần nữa, đây sẽ là lý do tại sao giả thuyết này không chính xác. Nhưng chẳng hạn, tôi gặp một cơn ác mộng khủng khiếp: điều gì sẽ xảy ra nếu câu nói này là đúng nhưng không có lý do? Đúng, nhưng không có lý do gì cho câu nói này mà một người có thể hiểu và giải thích cho người khác. Rồi chúng ta sẽ không bao giờ biết được đáp số. Bởi vì tất cả những gì còn lại là đi qua tất cả các số tự nhiên và kiểm tra giả thuyết cho từng số đó. Và điều này, tất nhiên, nằm ngoài khả năng của chúng tôi. Định luật bảo toàn năng lượng không cho phép thực hiện vô số phép toán trong một thời gian hữu hạn. Hoặc sự hữu hạn của tốc độ ánh sáng. Nói chung, các định luật vật lý không cho phép chúng ta thực hiện vô số phép toán trong một thời gian hữu hạn và biết được kết quả. Rất nhiều bài toán chưa được giải quyết chính xác thuộc về lĩnh vực này, tức là về nguyên tắc có $очень_{Бернхард}$ Riemann

22

KVANT 2010/№5

Những gì còn lại là phần máy tính, kể từ đó cũng đã được thử nghiệm trên nhiều máy tính, thậm chí viết lại chương trình, chỉ bằng cách thực hiện cùng một tìm kiếm. Rốt cuộc, nếu người ta nói chính xác những gì cần được lặp lại, thì mọi người có thể viết chương trình của riêng mình và kiểm tra xem kết quả có như mong muốn hay không. Và đối với tôi, chẳng hạn, có vẻ như việc sử dụng các tìm kiếm máy tính lớn như vậy trong quá trình chứng minh không phải là vấn đề. Tại sao? Nhưng vì lý do tương tự, đã xuất hiện trong ví dụ về bài toán bốn màu - rằng bằng chứng máy tính được tin tưởng nhiều hơn bằng chứng của con người chứ không phải ít hơn. Họ hét lên rằng máy tính là một cái máy, nhưng nếu nó bị hỏng ở đâu đó, bị thất lạc, tính toán sai thì sao… Nhưng điều này là không thể. Bởi vì nếu máy tính vô tình bị hỏng ở đâu đó và xảy ra lỗi - số 0 vô tình bị thay thế bằng số một - điều này sẽ không dẫn đến kết quả sai. Điều này sẽ không dẫn đến kết quả gì, chỉ là chương trình cuối cùng sẽ bị hỏng. Một hoạt động điển hình mà máy tính thực hiện là gì? Họ lấy số như vậy từ một sổ đăng ký như vậy và chuyển quyền kiểm soát nó đến một nơi như vậy. Đương nhiên, nếu có sự thay đổi một bit trong con số này, quyền điều khiển sẽ được chuyển đến một đích không xác định; một số lệnh được viết ở đó sẽ sớm phá hủy mọi thứ. Tất nhiên, có thể có lỗi khi viết chương trình máy tính, nhưng đây là lỗi của con người. Một người có thể đọc chương trình và kiểm tra xem nó có đúng hay không. Một người cũng có thể đọc bằng chứng của người khác và kiểm tra xem nó có đúng hay không. Nhưng con người có nhiều khả năng mắc lỗi hơn máy tính. Nếu bạn đang đọc bài chứng minh của người khác đủ dài và có sai sót trong đó thì rất có thể bạn sẽ không nhận ra điều đó. Tại sao? Trước hết, vì chính tác giả của chứng minh đã mắc sai lầm này nên điều đó là hợp lý về mặt tâm lý. Tức là anh ta làm điều đó một cách tình cờ là có lý do - về nguyên tắc, đây là nơi mà một người bình thường có thể mắc sai lầm như vậy. Điều này có nghĩa là bạn có thể mắc lỗi tương tự khi đọc đoạn văn này và do đó không nhận thấy nó. Do đó, xác minh của con người, bằng chứng của con người, là một phương pháp xác minh kém tin cậy hơn nhiều so với việc kiểm tra kết quả của một chương trình máy tính bằng cách chạy lại nó trên một số máy khác. Điều thứ hai thực tế đảm bảo rằng mọi thứ đều ổn, và điều thứ nhất chỉ là may mắn. Và bài toán này - tìm ra lỗi trong văn bản toán học do con người viết ra - ngày càng trở nên khó khăn, thậm chí đôi khi không thể thực hiện được - đây là một bài toán nghiêm trọng của toán học hiện đại. Chúng ta cần phải chiến đấu với nó. Làm thế nào - bây giờ không ai biết. Nhưng vấn đề này rất lớn và đã nảy sinh nghiêm trọng ngay bây giờ – có một số ví dụ về điều này. Đây có lẽ ít được biết đến hơn, nhưng là một trong những hiện đại nhất. Đây là giả thuyết cũ của Kepler. Cô ấy nói về việc sắp xếp các quả bóng trong không gian ba chiều. Trước tiên chúng ta hãy xem điều gì xảy ra trong không gian hai chiều, tức là trên một mặt phẳng. Hãy để chúng tôi

có những vòng tròn giống hệt nhau. Cách dày đặc nhất để vẽ chúng trên một mặt phẳng để chúng không giao nhau là gì? Có đáp số - bạn cần đặt tâm của các vòng tròn tại các nút của mạng lục giác. Tuyên bố này không hoàn toàn tầm thường, nhưng nó rất dễ dàng. Và trong không gian ba chiều, bạn sẽ gói các quả bóng thật chặt như thế nào? Đầu tiên, chúng ta xếp các quả bóng lên mặt phẳng như trong hình 6. Sau đó, chúng ta đặt một lớp tương tự khác lên trên, nhấn hết cỡ, như minh họa trong hình 7. Sau đó, trên cùng $еще^{Рис.} 6$ một trong các lớp tương tự, v.v. Rõ ràng bằng trực giác rằng đây là cách dày đặc nhất để đóng gói các quả bóng trong không gian ba chiều. Kepler lập luận (và dường như là người đầu tiên phát biểu) rằng sự đóng gói này phải là sự đóng gói dày đặc nhất trong không gian ba chiều. Điều này xảy ra vào thế kỷ 17 và giả thuyết này đã tồn tại kể từ đó. Vào thế kỷ $начале_{Рис.} 7$ 21, bằng chứng của nó đã xuất hiện. Và bất kỳ ai trong số các bạn đều có thể lấy nó và đọc nó. Nó có sẵn công khai trên Internet. Đây là một bài viết khoảng hai trăm trang. Nó được viết bởi một người và cũng chứa cả một số lý luận toán học thuần túy và tính toán máy tính. Đầu tiên, tác giả sử dụng lý luận toán học để giảm bài toán để kiểm tra một số trường hợp hữu hạn. Sau đó, đôi khi sử dụng máy tính, anh ấy kiểm tra lần cuối này, nhưng số lượng rất lớn các trường hợp, mọi thứ đều phù hợp, và - hoan hô! – Giả thuyết của Kepler đã được chứng minh. Và đây là vấn đề với bài viết này - không ai có thể đọc được nó. Bởi vì nó nặng, bởi vì ở một số chỗ, người ta không hoàn toàn rõ ràng rằng nó thực sự là quá mức cần thiết, bởi vì đọc nó rất nhàm chán. Hai trăm trang tính toán nhàm chán. Một người không thể đọc nó. Nói chung, mọi người đều tin rằng bài viết này chứa đựng bằng chứng cho định lý này. Nhưng mặt khác, vẫn chưa có ai xác minh điều này một cách trung thực, đặc biệt, bài viết này chưa được đăng trên bất kỳ tạp chí bình duyệt nào, tức là không có nhà toán học tự trọng nào sẵn sàng ký $ут-_{Иоганн}$ Kepler

23

CÁC ĐỊNH LÝ

sophista

GORGIAS

niềm tin rằng “đúng, mọi thứ đều đúng và giả thuyết của Kepler đã được chứng minh”. Và đây không phải là tình huống duy nhất; điều này cũng xảy ra trong các lĩnh vực khác của toán học. Gần đây tôi đã xem qua một danh sách các vấn đề chưa được giải quyết trong lý thuyết tập hợp, lý thuyết mô hình, trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Và đối với một giả thuyết, có những bình luận như thế này: nó được cho là đã bị bác bỏ trong một bài báo nọ, nhưng không ai tin điều đó. Đây là tình huống. Một người đã chứng minh một tuyên bố, nhưng anh ta không thể truyền đạt nó cho người khác, kể nó cho người khác. Tất nhiên, ví dụ khủng khiếp nhất là việc phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn. Tôi sẽ không trình bày chính xác nó là gì, nhóm nào, nhóm hữu hạn là gì, nếu muốn bạn có thể tự tìm hiểu. Theo một nghĩa nào đó, các nhóm hữu hạn đều được tập hợp từ các khối đơn giản, được gọi là nhóm đơn giản và chúng không thể tách rời thành các khối nhỏ hơn nữa. Có vô số nhóm đơn hữu hạn này. Danh sách đầy đủ của họ trông như thế này: đây là mười bảy bộ truyện vô tận, cuối cùng có thêm 26 nhóm riêng biệt, được xây dựng theo một cách riêng biệt nào đó và không được bao gồm trong bất kỳ bộ truyện nào. Người ta khẳng định rằng danh sách này chứa tất cả các nhóm đơn hữu hạn. Bài toán cực kỳ cần thiết cho toán học. Do đó, vào những năm 70, khi một số ý tưởng và hy vọng đặc biệt xuất hiện cho lời giải của nó, hàng trăm nhà toán học từ các quốc gia khác nhau, từ các viện nghiên cứu khác nhau đã tấn công bài toán, mỗi người lấy phần riêng của mình. Có thể nói, có những kiến ​​trúc sư của dự án này, những người đã tưởng tượng đại khái về cách tất cả những điều này sau này sẽ được thu thập thành một bằng chứng duy nhất. Rõ ràng là mọi người đã vội vàng và cạnh tranh. Kết quả là các tác phẩm họ thực hiện có tổng cộng khoảng 10.000 trang tạp chí và đó chỉ là những gì đã được xuất bản. Và cũng có những bài báo tồn tại dưới dạng bản in trước hoặc bản sao đánh máy. Bản thân tôi đã từng đọc một bài báo như vậy; nó chưa bao giờ được xuất bản, mặc dù nó bao gồm một phần đáng chú ý của bằng chứng hoàn chỉnh này. Và 10.000 trang này nằm rải rác trong các tạp chí khác nhau, được viết bởi những người khác nhau, với mức độ dễ hiểu khác nhau, và đối với một nhà toán học bình thường không liên quan đến điều này và không phải là một trong những kiến ​​trúc sư của lý thuyết này, không những không thể đọc hết 10.000 trang mà còn rất khó hiểu được chính cấu trúc của chứng minh. Hơn nữa, một số kiến ​​​​trúc sư này đã chết kể từ đó. Họ thông báo rằng việc phân loại đã hoàn tất, mặc dù bằng chứng chỉ tồn tại ở dạng văn bản mà không ai có thể đọc được, và điều này dẫn đến rắc rối sau. Các nhà toán học mới ít sẵn sàng đi sâu vào lý thuyết nhóm hữu hạn. Càng ngày càng ít người làm việc này. Và rất có thể trong 50 năm nữa sẽ không có một người nào trên Trái đất có thể hiểu được bất cứ điều gì trong bằng chứng này. Sẽ có những truyền thuyết: tổ tiên vĩ đại của chúng ta đã biết cách chứng minh mọi thứ đều hữu hạn

VÀ

HIỆN ĐẠI

TOÁN HỌC

Một số nhóm đơn giản được liệt kê trong danh sách này và không có nhóm nào khác, nhưng hiện tại kiến ​​thức này đã bị mất. Một tình huống khá thực tế. Nhưng may mắn thay, tôi không phải là người duy nhất coi tình huống này là thực tế nên họ đang đấu tranh chống lại nó, và tôi nghe nói rằng họ thậm chí còn tổ chức một dự án đặc biệt “Các vấn đề triết học và toán học liên quan đến việc chứng minh phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn”. Có những người đang cố gắng đưa bằng chứng này sang dạng có thể đọc được và có thể một ngày nào đó nó sẽ thực sự thành công. Có những người đang cố gắng tìm hiểu xem phải làm gì với tất cả những khó khăn này. Nhân loại ghi nhớ bài toán này, và điều đó có nghĩa là cuối cùng họ sẽ đương đầu với nó. Tuy nhiên, rất có thể sẽ xuất hiện những định lý phức tạp không kém khác có thể được chứng minh, nhưng cách chứng minh của nó thì không ai có thể đọc được, không ai có thể nói cho ai biết.

Định lý thứ tư

Chà, bây giờ định lý thứ tư, mà tôi sẽ kể cho bạn nghe một chút, thậm chí có thể khủng khiếp nhất - “ngay cả khi anh ấy có thể nói với bạn, sẽ không có ai quan tâm.” Một phần nhất định của vấn đề này đã được nghe thấy. Người ta không còn quan tâm đến việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn nữa. Ngày càng ít người làm việc này và khối lượng kiến ​​thức được lưu giữ dưới dạng văn bản không còn cần thiết đối với bất kỳ ai, không ai biết cách đọc nó. Đây cũng là vấn đề đe dọa nhiều lĩnh vực của toán học. Rõ ràng là một số lĩnh vực toán học rất may mắn. Ví dụ, lý thuyết đồ thị và tổ hợp tương tự. Để bắt đầu thực hiện chúng một cách nghiêm túc, bạn cần biết rất ít. Bạn đã học được một chút, giải được các bài toán Olympic, một bước - và bạn đang phải đối mặt với một bài toán chưa được giải. Có điều gì đó cần phải đảm nhận - hoan hô, hãy tiếp tục, nó thú vị, chúng ta sẽ nghiên cứu nó… Nhưng có những lĩnh vực toán học mà ngay cả để cảm thấy rằng lĩnh vực này thực sự đẹp và rằng bạn muốn nghiên cứu nó, bạn cần phải học rất nhiều. Và đồng thời, bạn sẽ học được nhiều điều hay ho khác trên đường đi. Nhưng bạn không nên bị phân tâm bởi những vẻ đẹp mà bạn gặp trên đường đi, và cuối cùng bạn đã đến đó, vào vùng hoang dã, bạn đã nhìn thấy vẻ đẹp ở đó, và thậm chí sau đó, sau khi học được rất nhiều, bạn vẫn có thể nghiên cứu lĩnh vực toán học này. Và khó khăn này là một vấn đề đối với những khu vực như vậy. Để lĩnh vực toán học phát triển, nó cần phải được thực hành. Phải có đủ số người quan tâm đến nó thì họ mới vượt qua được mọi khó khăn, đến được đó và sau đó tiếp tục làm. Và hiện nay toán học đang đạt đến mức độ phức tạp đến mức đối với nhiều lĩnh vực, đây đang trở thành vấn đề chính. Tôi không biết nhân loại sẽ đối phó với tất cả những vấn đề này như thế nào, nhưng sẽ rất thú vị để xem. Thực ra đó là tất cả.