Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLII dành cho học sinh môn toán

Kvant 2016, số 2 tr. 55-56 Thẻ QJZY

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Thế Vận Hội

Giai đoạn khu vực của Olympic Toán học toàn Nga XLII được tổ chức vào ngày 5 và 6 tháng 2 năm 2016. Dựa trên kết quả của nó, thành phần những người tham gia giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga đã được hình thành, do đó, bài toán khá phức tạp đã được đưa vào các lựa chọn cho giai đoạn khu vực. Khó nhất là bài toán 8 đối với lớp 10 và lớp 11.

Bài toán

lớp 9

Ngày đầu tiên

Cho trước là các tam thức bậc hai $f_{1} ( x ), f_{2} ( x )$ , … $, f_{100} ( x )$ có các hệ số giống nhau đối với $x^{2}$ , các hệ số giống nhau đối với x, nhưng các số hạng tự do khác nhau; mỗi người trong số họ có hai gốc. Đối với mỗi tam thức $f_{i} ( x )$ , chúng ta chọn một nghiệm và đặt tên là $x_{i}$ . Tổng $f_{2} ( x_{1} ) + f_{3} ( x_{2} ) + …^{…} + f 100 ( x 99 ) + f 1 ( x 100 )$ có thể nhận những giá trị nào? N. Agakhanov
Cho tam giác cân ABC có AB = BC. Trong đường tròn Ω ngoại tiếp tam giác ABC vẽ đường kính $CC '$ . Một đường thẳng đi qua điểm $C '$ song song với BC cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại các điểm M và P. Chứng minh M là trung điểm của đoạn $C ' P$ . B.Obukhov
Petya chọn một số số tự nhiên liên tiếp và viết từng số bằng bút chì màu đỏ hoặc xanh lam (cả hai màu đều có). Tổng của bội chung nhỏ nhất của tất cả các số màu đỏ và bội số chung nhỏ nhất của tất cả các số màu xanh có thể là lũy thừa của hai không? O. Dmitriev, R. Zhenodarov
Vua Hiero có 11 thỏi kim loại, nhìn không thể phân biệt được; nhà vua biết rằng khối lượng của chúng (theo thứ tự nào đó) là 1, 2, …, 11 kg. Anh ấy còn có một chiếc túi sẽ rách nếu bạn bỏ quá 11 kg vào đó. Archimedes đã tìm ra khối lượng của tất cả các thỏi và muốn chứng minh cho Hiero thấy thỏi thứ nhất có khối lượng là 1 kg. Trong một bước, anh ta có thể nhét nhiều thỏi vào túi và chứng minh cho Hieron thấy rằng túi không bị rách (bạn không thể xé túi!). Hỏi số lần tải nhỏ nhất của túi mà Archimedes có thể đạt được kết quả yêu cầu là bao nhiêu? I. Bogdanov, K. Knop

Ngày thứ hai

Có 23 học sinh trong lớp. Trong năm, mỗi học sinh lớp này tổ chức sinh nhật một lần với sự tham dự của một số (ít nhất một, nhưng không phải tất cả) các bạn cùng lớp. Chẳng lẽ cứ hai học sinh trong lớp này lại gặp nhau trong lễ kỷ niệm như vậy?

bao nhiêu lần? (Người ta coi rằng hai vị khách bất kỳ gặp nhau vào mỗi kỳ nghỉ, và người sinh nhật cũng gặp tất cả các vị khách.) I. Bogdanov

Gọi tập hợp khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn) là A gồm các số tự nhiên đầy đủ nếu với mọi số tự nhiên a và b (không phân biệt và không nhất thiết nằm trong A) sao cho a + b nằm trong A, số ab cũng nằm trong A. Tìm mọi bộ số tự nhiên đầy đủ. N. Agakhanov
Trong bảng trắng $2016 \times 2016$ một số ô có màu đen. Chúng ta gọi một số tự nhiên k là may mắn nếu $k \le 2016$ và trong mỗi ô vuông ca rô có cạnh k nằm trong bảng có đúng k ô được tô màu. (Ví dụ: nếu tất cả các ô đều màu đen thì chỉ có số 1 là may mắn.) Số lượng lớn nhất các số có thể may mắn là bao nhiêu? E. Bakaev
Cho tứ giác lồi ABCD, trong đó $\angle$ DAB $= 90 ^\circ$ . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hóa ra là $\angle$ ADC $= \angle$ BAM. Chứng minh rằng $\angle$ ADB $= \angle$ CAM. E. Bakaev

lớp 10

Ngày đầu tiên

Xem bài toán 1 cho lớp 9.
Petya chọn 10 số tự nhiên liên tiếp và viết mỗi số bằng bút chì màu đỏ hoặc xanh (cả hai màu đều có). Tổng bội số chung nhỏ nhất của tất cả các số màu đỏ và bội số chung nhỏ nhất của tất cả các số màu xanh có thể kết thúc vào năm 2016 không? O. Dmitriev, R. Zhenodarov
Trên cạnh AB của tứ giác lồi ABCD lấy các điểm K và L (điểm K nằm giữa A và L), trên cạnh CD lấy các điểm M và N (điểm M nằm giữa C và N). Biết AK = KN = DN và BL = BC = CM. Chứng minh rằng nếu BCNK là tứ giác nội tiếp thì ADML cũng là tứ giác nội tiếp. T. Zimanov, P. Kozhevnikov
Cho một bảng ca rô $100 \times 100$ , các ô trong đó được sơn đen trắng. Hơn nữa, tất cả các cột đều có số ô đen bằng nhau, trong khi tất cả các hàng có số ô đen khác nhau. Số lượng tối đa các cặp ô màu liền kề có thể là bao nhiêu? I. Bogdanov

Ngày thứ hai

Chúng ta gọi tập hợp khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn) là tập A gồm các số thực đầy đủ nếu

Thế Vận Hội

Bài toán 4. Ba trong một khối Khối lập phương được lắp ráp từ các điện trở giống hệt nhau có điện trở R. Ba điện trở được thay thế bằng các dây nhảy lý tưởng, như được chỉ ra trong hình 7.

Bảng 3

trên trục tọa độ nào là sự phụ thuộc thực nghiệm của công suất vào tuyến tính chuyển vị? Xác định độ lớn của lực tại điểm có tọa độ $s_{0} = 10$ cm. Tìm giá trị của lực F. Z. Gordeev

Bài toán 2. Các cụm sao “Vật chất tối” hình thành nên những hệ không va chạm - thiên hà, trong đó các sao chuyển động đều theo quỹ đạo tròn quanh trục đối xứng của hệ. Thiên hà NGC 2885 (hình9) bao gồm một cụm sao có dạng

Hình 7

Tìm tổng điện trở của hệ thống thu được giữa các chân A và B. 2) Có thể tháo điện trở nào còn lại sao cho tổng điện trở của hệ thống không thay đổi? 3) Nếu chúng ta biết rằng dòng điện chạy qua hầu hết các điện trở trong mạch điện là I = 2 A thì dòng điện trong dây nối với nút A (hoặc B) là bao nhiêu? 4) Tính dòng điện chạy qua dây nối lý tưởng $AA '$ . M. Ivanov

Bài toán 5. Băng tải nằm nghiêng Một băng tải nằm nghiêng sẽ di chuyển dọc theo sàn ngang gồ ghề sao cho mặt phẳng của băng tải thẳng đứng (hình8, nhìn từ trên xuống). Tốc độ đai

Hình 8

vận chuyển v. Băng tải di chuyển dọc theo sàn với tốc độ không đổi u vuông góc với các phần chính của băng tải. Sau một thời gian, băng tải đã di chuyển được một quãng đường s. Băng tải đẩy dọc sàn một khối có khối lượng m, có dạng hình chữ nhật song song. Bỏ qua độ võng của dây và giả sử khối chuyển động ổn định, tìm độ dịch chuyển của khối trong thời gian s/u. Xác định công thực hiện để di chuyển khối bằng lực tác dụng lên khối từ băng tải (trong thời gian băng tải dịch chuyển một đoạn s). Hệ số ma sát giữa khối và sàn là $\mu_{1}$ , và giữa khối và băng $\mu_{2}$ . A. Frolov

lớp 11

Bài toán 1. Công suất trong không gian Một lực nằm ngang không đổi F bắt đầu tác dụng lên một khối có khối lượng m = 2 kg ban đầu nằm trên một bàn nằm ngang nhẵn. Kết quả là thu được sự phụ thuộc của lũy thừa N vào chuyển vị s của khối (Bảng 3). Một số phép đo có thể không chính xác lắm. TRONG

Hình 9

một lõi hình cầu có bán kính $r_{я} = 4$ kpc và một vòng mỏng, bán kính trong trùng với bán kính của lõi và bán kính ngoài bằng $15r_{я}$ . Vòng bao gồm các ngôi sao có khối lượng không đáng kể so với lõi. Trong lõi, các ngôi sao phân bố đều. Người ta thấy rằng tốc độ chuyển động tuyến tính của các ngôi sao trong vòng không phụ thuộc vào khoảng cách đến trung tâm thiên hà: từ rìa ngoài của vòng đến rìa lõi, tốc độ của các ngôi sao là $v_{0} = 240$ km/s. Hiện tượng này có thể được giải thích bằng sự hiện diện của khối lượng không phát sáng, hay “vật chất tối”, phân bố đối xứng hình cầu so với tâm thiên hà bên ngoài lõi của nó. 1) Xác định khối lượng $M_{я}$ của nhân thiên hà. 2) Xác định mật độ trung bình $\rho_{я}$ của vật chất lõi thiên hà. 3) Tìm sự phụ thuộc của mật độ “vật chất tối” $\rho_{т}$ vào khoảng cách r đến tâm thiên hà. 4) Tính tỉ số giữa khối lượng của “vật chất tối”, thứ ảnh hưởng đến chuyển động của các ngôi sao trong đĩa, với khối lượng của lõi. Lưu ý: 1 kpc = 1 kiloparsec $= 3,086 \cdot 10^{19}$ m, hằng số hấp dẫn $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ N $\cdot м^{2} \cdot кг^{-} 2$ . P. Korotkov

Bài toán 3. Bốn trong một khối Khối lập phương được ghép từ các điện trở giống hệt nhau có điện trở R. Bốn điện trở được thay thế bằng các dây nối lý tưởng, như được chỉ ra trong hình 10. 1) Tìm tổng điện trở của hệ thống thu được giữa các tiếp điểm A và B. 2) Cường độ dòng điện qua điện trở nào là lớn nhất và qua điện trở nào là nhỏ nhất? Tìm các giá trị hiện tại này nếu nút A hiện tại đi vào là $I_{0} = 1,2$ A. 3) Dòng điện chạy qua nút nhảy lý tưởng $AA '$ là bao nhiêu? M. Ivanov

Bài toán 4. Hình thoi Một quá trình tuần hoàn được thực hiện trên một ha-

KVANT 2016/№2

Bài toán 5. Không do dự! Trong mạch điện gồm một điện trở có điện trở R, một cuộn dây có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung $C_{0}$ thì tụ điện mang điện tích $Q_{0}$ (hình12). Tại một thời điểm nào đó, công tắc K đóng và đồng thời chúng bắt đầu thay đổi điện dung của tụ sao cho giá trị lý tưởng

Hình 10

Vì vậy, trên mặt phẳng p, V là hình thoi (hình11). Đỉnh 1 và 3 nằm trên cùng một đồng vị, đỉnh 2 và 4 nằm trên cùng một đồng vị. Trong chu trình khí đã thực hiện công A.

Hình 12

Vôn kế hiện tại hiển thị điện áp không đổi. 1) Điện dung của tụ C(t) phụ thuộc như thế nào vào thời gian khi thời gian thay đổi từ 0 đến $t_{1} = C_{0} L$ ? 2) Ngoại lực đã thực hiện công gì trong thời gian $t_{1}$ ? Hãy xem xét điều đó $t_{1} = L R = C_{0} L$ . Manh mối. Lượng nhiệt tỏa ra của điện trở trong thời gian $t_{1}$ bằng t 1

$W_{R} = \int I^{2} ( t )$ Rdt =

Hình 11

$Q_{0}^{2}. 3 C_{0}$

M. Osin, lượng nhiệt $Q_{12}$ cung cấp cho khí ở phần 1–2 khác với lượng nhiệt $Q_{3,4}$ thoát ra khỏi khí ở phần 3–4 là bao nhiêu? V.Sbobodyanin

Tĩnh điện cho học sinh thông minh

(Để bắt đầu, xem trang 44)

Vì vậy, giả định rằng trường bên trong không giữ nguyên đã bị bác bỏ bởi lý luận này. Ta đã chứng minh được định lý duy nhất.

Thực ra đây là một cuộc trò chuyện dài. Nếu tôi may mắn với cả lớp, nếu họ chịu lắng nghe những điều như vậy, tôi sẽ kể cho họ khá nhiều điều. Tuy nhiên, cho đến khi có sự tràn rõ ràng, điều này có thể được nhìn thấy qua nét mặt, v.v. Tôi nghĩ việc thảo luận những vấn đề khó khăn sẽ rất hữu ích. Điều bắt buộc là chúng phải phát triển, phát triển đủ nhanh - tải phải gần (về độ phức tạp, không phải về khối lượng) đến một giá trị giới hạn nhất định. Ý nghĩa này là khác nhau đối với mỗi người, vì vậy tôi tải học sinh của mình theo cách khác nhau. Và để không quá nhàm chán, tôi làm việc mà không có bài tập về nhà, điều này khiến mọi việc trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Ít nhất, nó mang lại cho tôi quyền đạo đức để tích cực làm việc với học sinh trong lớp học. Và làm cho chúng hoạt động.

Sử dụng định lý duy nhất, chúng ta giải được một tập hợp bài toán khá khó. Vì vậy, một phương pháp hình ảnh tuyệt vời ngay lập tức xuất hiện từ nó. Nó không có trong chương trình giảng dạy ở trường và bạn có thể làm mà không cần nó.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi V. Slobodyanin về phương pháp này, nhưng có bài toán rất đẹp. Đẹp, dễ hiểu, khó khăn, bất kỳ. Và nhân tiện, một ví dụ ngắn vui nhộn. Với những học sinh giỏi toán, trước khi thảo luận về chủ đề này, tôi giải bài toán này. Có hai điện tích điểm q và –3q. Các điểm có điện thế bằng 0 nằm trên mặt phẳng như thế nào? Ngoài những khoảng cách vô tận? Đây là một bài toán thú vị. Nó đi vào trán; người ta có thể viết ra những mối quan hệ phức tạp, khá kinh tởm. Tại sao tôi lại nói về những học sinh được giáo dục bằng toán học? Họ biết đáp số mà không giải được bài toán này. Thông thường, một số đứa trẻ nhanh trí sẽ ngay lập tức hét lên: “Vòng tròn Apollonius!” Để một điểm có điện thế bằng 0 trong trường hợp của chúng ta, nó phải cách xa điện tích lớn gấp ba lần so với điện tích nhỏ. Khi đó tổng các thế năng này sẽ bằng không. Và họ nghiên cứu một hình hình học như vậy trong hình học: làm thế nào các điểm nằm trên một mặt phẳng cách điểm A xa hơn ba lần so với điểm B. Đây là một đường tròn, đường tròn của Apollonius. Điều này có nghĩa là trong không gian nó sẽ là một hình cầu. Và đó là những gì tôi cần. Khi chứng minh định lý duy nhất bằng chúng, chúng ta sẽ quay lại những câu hỏi này và giải bài toán về ảnh trong hình cầu. Một điện tích và một quả cầu nối đất: chúng hút nhau với lực bao nhiêu?..