Andrey Aleksandrovich Egorov (11/10/1939—23/04/2017)

3

LỚN

VÀ

CHÍNH XÁC

ĐA GIÁC

$2^\circ$ (bổ đề về đỉnh thứ tư của hình bình hành). Nếu ba đỉnh của hình bình hành là các nút của một mạng nào đó thì đỉnh thứ tư cũng là nút của mạng này. $3^\circ$. Nếu chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua hai nút mạng Q và R tùy ý, thì đường thẳng này sẽ đi qua vô số nút (xem hình1). Trong trường hợp này, tất cả khoảng cách giữa các nút lân cận nằm trên một đường thẳng sẽ bằng nhau. $4^\circ$. Nếu một hình bình hành có các đỉnh tại các nút của một mạng nhất định không chứa các nút khác ở các cạnh và bên trong chính nó thì nó sẽ tạo ra mạng này.

Bài tập

1. Chứng minh tính chất của $1 ^\circ - 4 ^\circ. 2.$ Cho a và b là số thực bất kỳ. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (ka, lb), trong đó k và l là số nguyên, là một mạng tinh thể.

Một tính chất quan trọng của mạng được phản ánh trong bài toán sau:

Vào ngày 23 tháng 4 năm 2017, Andrei Aleksandrovich Egorov, một nhà toán học, giáo viên và con người tuyệt vời, đã qua đời. Ông đã làm việc phần lớn cuộc đời sáng tạo của mình tại tạp chí «Kvant» và tại trường nội trú Kolmogorov (nay là SUSC), hào phóng chia sẻ với độc giả và sinh viên những hiểu biết sâu sắc và tầm nhìn sáng sủa về ngành khoa học yêu quý của mình. Trong hơn bốn mươi năm, Andrei Aleksandrovich đã viết bài cho tạp chí của chúng tôi, phục vụ trong ban biên tập của tạp chí này trong một phần tư thế kỷ và đứng đầu bộ phận toán học trong gần hai mươi năm. Các bài báo và sách của ông đã giúp hình thành và phát triển nhiều nhà toán học tương lai; các giáo viên phổ thông và giáo viên đại học sẽ nhớ đến Andrei Aleksandrovich với lòng biết ơn trong nhiều năm tới và tích cực sử dụng di sản sáng tạo của ông. Chúng tôi, những người làm việc bên cạnh Andrei Aleksandrovich, sẽ luôn nhớ đến một người có chuyên môn sâu sắc, thông minh, hóm hỉnh và uyên bác.

Hình 3

Tại một nút A nào đó của mạng có một thợ săn, và tại các nút khác có những con thỏ giống hệt nhau và có vị trí giống hệt nhau (hình3). Người thợ săn bắn ngẫu nhiên (quỹ đạo của viên đạn là một tia ló ra từ điểm A). Liệu anh ta có trở về nhà với chiến lợi phẩm không? (Thỏ rừng được coi là “béo”.)

Andrei Aleksandrovich Egorov (11/10/1939–23/04/2017), người đã nhớ (cập nhật) nhiều câu chuyện và luôn sẵn sàng kể chúng. Anh ấy là một người bạn thực sự, luôn sẵn sàng giúp đỡ. Chúng tôi sẽ nhớ anh ấy rất nhiều. Ban biên tập và ban biên tập tạp chí «Kvant»

4

KVANT 2017/№4

Rõ ràng là nếu quỹ đạo viên đạn đi qua một nút khác ngoài điểm A thì con thỏ ngồi ở nút này sẽ bị giết. Do đó, chỉ có trường hợp thú vị khi nút A là nút duy nhất trên quỹ đạo của viên đạn; hóa ra trong trường hợp này một số thỏ rừng sẽ bị giết. Chứng minh nằm trong bổ đề sau. $5^\circ$ (bổ đề về người thợ săn và thỏ rừng). Cho một tia l đi qua nút A của một mạng nào đó. Khi đó sẽ có một nút có khoảng cách từ đó đến tia l sẽ nhỏ hơn bất kỳ số nào được xác định trước $\varepsilon$.

Bằng chứng. Chúng ta biểu thị các điểm giao nhau của tia l với các đường thẳng nghiêng của lưới bằng $A_{0} = A, A_{1}, A_{2},^{…}, A_{n},^{…}$ (xem hình 3,a). Chúng ta hãy kết hợp tất cả các hình bình hành ở phía bên phải mà các điểm này nằm với hình bình hành ABCD, khi đó mỗi điểm $A_{n}$ sẽ đi đến một điểm nào đó $A_{n} '$ trên cạnh BC (xem hình 3,b). Với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào đều có các điểm $A '_{m}$ và $A '_{m} +_{k}$ sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn $\varepsilon$.

Bây giờ hãy chứng minh rằng khoảng cách từ điểm $A_{k}$ đến một trong các nút mạng nhỏ hơn $\varepsilon$ (cụ thể, nếu $A '_{m}$ trùng với $A '_{m} +_{k}$ thì $A_{k}$ sẽ là nút mạng). Kết quả. Với mọi số vô tỷ $\alpha > 0$ và mọi số dương $\varepsilon$ đều có m và n tự nhiên sao cho $m \alpha - n < \varepsilon$.

Bằng chứng. Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng và vẽ một đường thẳng $y = \alpha x$. Do tính vô tỉ của $\alpha$, điểm duy nhất có tọa độ nguyên trên đường thẳng này sẽ là gốc tọa độ. Đường thẳng $y = \alpha x$ cắt từng đường thẳng đứng x = m tại điểm $( m, m\alpha )$. Theo Bổ đề $5^\circ$ có một nút ( m, n ) của mạng nguyên sao cho khoảng cách (theo chiều dọc) từ nó đến điểm $( m, m\alpha )$ sẽ nhỏ hơn $\varepsilon$, đây là điều cần phải chứng minh.

Dễ dàng thấy rằng trong số tất cả các khoảng cách từng cặp có thể có giữa các nút của bất kỳ mạng nào đều có khoảng cách nhỏ nhất (chứng minh điều đó!). Tính chất này, cùng với tính chất $2^\circ$ của mạng, có thể được coi là định nghĩa của mạng.

Định lý. Cho tập M trên mặt phẳng có các tính chất sau: a) khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không nhỏ hơn một số dương d nào đó; b) Nếu ba điểm A, B, C của tập M là các đỉnh của một hình bình hành ABCD nào đó thì đỉnh D thứ tư của hình bình hành này thuộc tập M. Khi đó M là một mạng.

Bằng chứng. Chúng ta lấy một điểm B tùy ý thuộc tập M. Gọi A là điểm từ M gần B nhất (hình4,a; điểm như vậy tồn tại vì tất cả khoảng cách theo cặp giữa các điểm của tập M đều lớn hơn d).

Hình 4

Vẽ một đường thẳng đi qua các điểm A và B. Trong số các điểm của tập M không nằm trên đường thẳng này, ta chọn điểm gần nhất với điểm B - điểm C - và dựng hình bình hành ABCD. Theo tính chất b), điểm D cũng thuộc tập M. Ta dựng một mạng sinh bởi hình bình hành ABCD. Hãy chứng minh rằng tập M trùng với mạng đã xây dựng. Từ tính chất b) của tập M suy ra rằng tất cả các nút của mạng này đều thuộc về nó. Bài tập 3. Chứng minh điều đó. Do đó, bạn chỉ cần kiểm tra xem trên ranh giới cũng như bên trong hình bình hành ABCD có điểm nào của tập M khác với các đỉnh của nó hay không. Điều này gần như hiển nhiên: nếu điểm S nằm bên trong hình bình hành (hình4,b), thì ít nhất một trong các góc ASB, BSC, CSD và ASD sẽ bằng