Olympic Hình học mang tên I. F. Sharygin

Thế Vận Hội

Olympic Hình học mang tên I.F. Sharygin

Igor Fedorovich Sharygin là một nhà soạn nhạc xuất sắc về hình học bài toán. bài toán của anh ấy thường xuyên xuất hiện trong «Kvant» và trong “Toán học ở trường”, được tổ chức tại các kỳ thi Olympic Quốc tế, Toàn Liên minh và Toàn Nga, Moscow, Soros và tại hàng chục kỳ thi Olympic khác ở cấp thấp hơn. Anh ấy đặt ra những tiêu chuẩn rất nghiêm ngặt khi lựa chọn bài toán cho bất kỳ kỳ Olympic nào. Bài toán phải: a) mới, chứa đựng những ý tưởng mới; b) không chuẩn mực, phá vỡ khuôn mẫu; c) có hình học và không phải là “đếm được” lời giải; d) cuối cùng, bài toán chỉ cần đẹp thôi! Để làm được điều này, tác giả của nó phải có gu hình học tốt. Luôn ưu tiên những vấn đề đến từ khoa học cao hơn là những vấn đề được phát minh đặc biệt. Sau khi Igor Fedorovich rời đi, bạn bè, đồng nghiệp và học trò của ông đã nảy ra ý tưởng tổ chức một cuộc thi Olympic mang tên ông, cuộc thi này (theo khả năng tốt nhất của ông) được cho là phải đáp ứng những tiêu chuẩn cao này. Olympic đã được tổ chức hàng năm kể từ năm 2005 và chỉ có hình học bài toán. Tuy nhiên, đó không phải là “một chiều” như những người hoài nghi lo ngại. Các chủ đề bài toán, ngoài hình học cổ điển, còn có hình học tổ hợp, cực trị bài toán, bài toán “từ cuộc sống”, bài toán với các yếu tố phân tích toán học. Hình học hóa ra phong phú và đa dạng hơn những gì chúng ta được biết.

đã được thiết lập trước đó. Mục tiêu của Olympic là phổ biến hình học như một môn khoa học riêng biệt, cũng như phát hiện những trẻ có năng khiếu về hình học. Trong số những người chiến thắng thường có những em chưa từng đạt được thành công lớn tại các kỳ Olympic toán tổng quát khác. Hình thức của Olympic cũng tương ứng với hướng hình học của nó. Vòng đầu tiên là trao đổi thư từ, trong đó học sinh có vài tháng để nhàn nhã suy nghĩ về các bài toán phức tạp. Một biến thể của vòng trao đổi thư từ 20–25 bài toán (đối với mỗi bài toán, các lớp dự kiến ​​​​được chỉ định) được xuất bản vào đầu năm trên cổng Internet www.geometry.ru. Các tùy chọn được xuất bản bằng tiếng Nga và tiếng Anh. Lời giải có thể gửi đến đầu tháng 4. Những người chiến thắng trong vòng trao đổi thư từ được mời vào vòng chung kết, diễn ra tại Dubna (khu vực Moscow) vào cuối tháng 7. Những người chiến thắng trong các kỳ thi Olympic hình học miệng được tổ chức ở một số thành phố của Nga cũng được mời vào vòng chung kết. Tổng cộng có khoảng 100 học sinh lớp 8–10 đến từ hơn 10 quốc gia tham gia vòng chung kết. Vòng chung kết diễn ra trong hai ngày. Mỗi ngày người tham gia giải được 4 bài toán. Học sinh phải tự bảo vệ Lời giải của mỗi bài toán, giải thích (bằng miệng) cho các thành viên ban giám khảo. Trong vòng chung kết, các bài giảng phổ biến về hình học, các chương trình văn hóa, thể thao được tổ chức cho trẻ em và phụ huynh (hoặc giáo viên) của các em. Ban giám khảo Olympic bao gồm các nhà toán học chuyên nghiệp, giáo viên phổ thông, học sinh - người đoạt giải và đoạt giải trong các kỳ Olympic trước đây đến từ Nga, Ukraine, Kazakhstan, Bulgaria, Iran và các quốc gia khác. Bạn có thể tìm thấy các điều kiện, thư từ và vòng chung kết lời giải bài toán trên trang web www.geometry.ru. Tài liệu của mười kỳ Olympic đầu tiên đã được xuất bản trong số 113 và 134 của Thư viện Kvant.

36

KVANT 2017/№7

15. Cho hình thang ABCD đáy AD. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng BD. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD nằm trên đường thẳng AC. XIII-З-8–9, E. Bakaev

16. Một số điểm được đánh dấu trên mặt phẳng và không phải tất cả các điểm này đều nằm trên cùng một đường thẳng. Một vòng tròn được bao quanh mỗi tam giác với các đỉnh tại các điểm đã đánh dấu. Liệu tâm của tất cả các vòng tròn này có thể được đánh dấu bằng dấu chấm không? XIII-Z-8–11, A. Tolesnikov vào mỗi buổi tối. Có thể sau một thời gian cảnh sát sẽ lại chiếm các điểm A, B và C (được biết là điểm X không bao giờ rơi vào cạnh của tam giác)? XII-F-8, V. Protasov

17. Cho tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường thẳng đi qua I và vuông góc với OI cắt AB tại điểm X, và phân giác ngoài của góc C tại điểm Y. Tôi chia đoạn XY theo tỷ lệ nào? XII-F-9, V. Kalashnikov

18. Từ độ cao của một tam giác cấp tính, bạn có thể tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng các đường phân giác của nó cũng có thể dùng để tạo thành một tam giác. XII-F-9, A. Zaslavsky

19. Ác quỷ mời Con người chơi trò chơi sau. Đầu tiên, Người trả một số tiền nhất định s và đặt tên 97 bộ ba [i, j, k], trong đó i, j, k là các số tự nhiên không vượt quá 100. Sau đó, Ác quỷ rút ra một hình 100 lồi $A_{1} A_{2}$ … $A_{100}$ có diện tích bằng 100 và trả cho Người một khoản tiền bằng tổng diện tích của 97 hình tam giác $A_{i} A_{j} A_{k}$. Ở mức tối đa nào thì một người có thể đồng ý? XII-F-10, N. Belukhov (Bulgaria)

20. Đường tròn cắt bốn hình tam giác vuông khỏi hình chữ nhật ABCD, trung điểm của các cạnh huyền lần lượt là $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ và $D_{0}$. Chứng minh rằng các đoạn $A_{0} C_{0}$ và $B_{0} D_{0}$ bằng nhau. XIII-Z-8, L. Shteingarts

21. Trong tam giác ABC, ta vẽ Chevians AA a, BB a và CC a cắt nhau tại điểm P. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PA a B a cắt các đường thẳng AC và BC lần lượt tại các điểm M và N, còn các đường tròn ngoại tiếp tam giác PC a B a và PA a C a lần lượt cắt AC và BC tại các điểm K và L. Vẽ đường thẳng c đi qua trung điểm của các đoạn thẳng MN và KL. Các dòng a và b được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng a, b và c cắt nhau tại một điểm. XIII-З-10–11, D. Prokopenko

22. Cho tam giác vuông ABC và hai đường thẳng x và y vuông góc với nhau đi qua đỉnh của một góc vuông A. Với một điểm X di chuyển dọc theo đường thẳng x, ta định nghĩa $y_{b}$ là ảnh của đường thẳng y đối xứng qua XB, và $y_{c}$ là ảnh của đường thẳng y đối xứng qua XC. Cho $y_{b}$ và $y_{c}$ cắt nhau tại điểm Y. Tìm quỹ tích các điểm Y (đối với $y_{b}$ và $y_{c} ).$ XIII-З-10–11 không trùng nhau, V.Luchkin, M.Fadin

23. Trên đường chéo AC của tứ giác nội tiếp ABCD lấy một điểm P tùy ý rồi từ đó lần lượt thả các đường vuông góc PK, PL, PM, PN, PO xuống AB, BC, CD, DA, BD. Chứng minh rằng khoảng cách từ P đến KN bằng khoảng cách từ O đến ML. XIII-З-10–11, M. Panov

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. Zaslavsky