Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán

37

Thế Vận Hội

Giai đoạn cuối cùng của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán

Vòng chung kết Olympic Toán học toàn Nga dành cho học sinh được tổ chức tại thành phố Kaliningrad từ ngày 24 đến ngày 30 tháng 4 năm 2017. 364 nhà toán học trẻ đến từ hơn 60 vùng của Nga đã tham gia Olympic. Ngoài ra, theo truyền thống, các đội khách đến từ Trung Quốc và Bulgaria đã tham gia Olympic. Các vòng thi Olympic cũng như lễ khai mạc và bế mạc được tổ chức trong tòa nhà của Nhà thi đấu số 40 rất rộng lớn nhưng đồng thời ấm cúng và hiếu khách mang tên Yu.A. Gagarin. Một nhóm lớn các tình nguyện viên đã làm việc tại Olympic, họ cùng với ban tổ chức đã tổ chức cho những người tham gia làm quen với những địa điểm đáng nhớ của Kaliningrad và khung cảnh đẹp như tranh vẽ của nó. Mặc dù nhiệm vụ của Olympic năm nay không hề dễ dàng nhưng ở lớp 9 và 11 vẫn có những học sinh giải được tất cả bài toán: học sinh lớp chín Petr Mishura (St. Petersburg, trước đây là Novosibirsk), em đã nhận được giải đặc biệt cho kết quả tuyệt đối, và học sinh lớp 11 Nikita Dobronravov (Novosibirsk), em đã nhận được giải đặc biệt cho lời giải khó nhất bài toán Thế vận hội. Sau các vòng thi của Olympic, một cuộc bỏ phiếu đã được tổ chức trong đó những người tham gia chỉ ra bài toán yêu thích của họ. Ở lớp 9, ba người đứng đầu theo học sinh bài toán là bài toán 8 (hạng I), 3 (hạng II), 6 (hạng III); ở lớp 10 – 7 (Hạng I), 4 (Hạng II), 3 (Hạng III); ở lớp 11 – 4 (Hạng I), 7 (Hạng II), 3 (Hạng III). Kết thúc Olympic toàn Nga, đội tuyển Nga đã quyết tâm tham dự Olympic Toán quốc tế 2017 sẽ được tổ chức tại Rio de Janeiro (Brazil). Nhóm của chúng tôi bao gồm năm sinh viên tốt nghiệp: Nikita Dobronravov (Novosibirsk),

Georgy Veprev (Yaroslavl), Timofey Zaitsev (Moscow), Mikhail Ivanov (St. Petersburg) và Kirill Tyshchuk (St. Petersburg), cũng như học sinh lớp 10 Vadim Retinsky (Moscow, trước đây là thành phố Livny, vùng Oryol). Dưới đây chúng tôi công bố các điều kiện bài toán và danh sách những người chiến thắng ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán.

Điều kiện bài toán

Lớp 9 1. Trong nước, một số cặp thành phố được nối với nhau bằng đường bay thẳng một chiều (tối đa một chuyến bay giữa hai thành phố bất kỳ). Giả sử thành phố A có thể đến được thành phố B nếu có thể bay từ B đến A, có thể bằng chuyển tuyến. Được biết, với hai thành phố P và Q bất kỳ đều có một thành phố R mà cả P ​​và Q đều có thể truy cập được. Chứng minh rằng có một thành phố mà tất cả các thành phố trong nước đều có thể tiếp cận được. (Người ta tin rằng bạn có thể bay từ thành phố này sang thành phố khác.) V. Dolnikov

2. Xem bài toán M2466 “Bài toán Kvant”.

3. Một trăm người lùn có trọng lượng lần lượt là 1, 2, 3, …, 100 pound, tụ tập ở bờ trái sông. Họ không biết bơi nhưng trên cùng bờ biển có một chiếc thuyền chèo có sức chở 100 pound. Do dòng chảy khó bơi ngược nên mỗi chú lùn có đủ sức chèo từ bờ phải sang bờ trái không quá một lần (bất kỳ chú lùn nào cũng có thể chèo thuyền; người chèo không thay đổi trong một chuyến đi). Liệu tất cả người lùn có thể băng qua bờ phải không? A. Shapovalov, S. Usov

38

KVANT 2017/№7

4. Có tồn tại một dãy tăng vô hạn $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, … gồm các số tự nhiên sao cho tổng của hai số hạng phân biệt bất kỳ của dãy đó cùng nguyên tố với tổng của ba số hạng phân biệt bất kỳ của dãy không? S. Berlov 5. Viết trên bảng là n > 3 số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn n 1! 1 2 … n 1. Đối với mỗi cặp số này, Seryozha chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn và viết ra thương số chưa đầy đủ vào sổ tay của mình (vì vậy, nếu anh ấy chia 100 cho 7, anh ấy sẽ nhận được 100 14 7 2 và viết số 14 vào sổ tay của mình). Chứng minh rằng trong các số trong vở có hai số bằng nhau. S. Berlov

5. Có đúng là với ba số tự nhiên phân biệt a, b và c bất kỳ đều tồn tại một tam thức bậc hai có hệ số nguyên và hệ số dẫn đầu dương lấy các giá trị $a^{3}, b^{3}$ và $c^{3}$ tại một số điểm nguyên? A. Khrabrov

6. Tam giác cân ABC có ABC 60 o nội tiếp đường tròn số 7. Chọn điểm A a trên phân giác của góc BAC, chọn điểm B a trên phân giác của góc ABC sao cho AB a P BC và BA a P AC. Đường thẳng A a B a cắt 7 tại D và E. Chứng minh tam giác CDE cân. A. Kuznetsov 8. Xem bài toán M2468 “Bài toán Kvant.

Lớp 10 1. Vẽ đồ thị của hai tam thức bình phương rút gọn và hai đường thẳng không song song $l_{1}$ và $l_{2}$ được vẽ trên mặt phẳng tọa độ. Được biết, các đoạn cắt bởi đồ thị trên $l_{1}$ là bằng nhau và các đoạn cắt bởi đồ thị trên $l_{2}$ cũng bằng nhau. Chứng minh rằng đồ thị của tam thức trùng nhau. A. Golovanov

2. Tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp trong một đường tròn có tâm tại điểm O. Tia BO và CO cắt các cạnh AC và AB lần lượt tại các điểm B a và C a. Qua điểm C a ta vẽ

đường thẳng l song song với đường thẳng AC. Chứng minh đường thẳng l tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác B a OC. A. Kuznetsov

3. Ban đầu, trên bàn có ba cọc lần lượt là 100, 101 và 102 viên. Ilya và Kostya đang chơi trò chơi tiếp theo. Trong một nước đi, mỗi người trong số họ có thể lấy một viên đá từ bất kỳ cọc nào, ngoại trừ viên đá mà anh ta đã lấy một viên đá ở nước đi trước đó (trong nước đi đầu tiên, mỗi người chơi có thể lấy một viên đá từ bất kỳ cọc nào). Những người chơi lần lượt thực hiện các nước đi, Ilya bắt đầu. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào có thể giành chiến thắng dù đối thủ chơi thế nào? D. Belov, I. Bogdanov, K. Knop

4. Xem bài toán M2469 “Bài toán Kvant”.

5. Viết lên bảng tất cả các ước thực sự của một số tự nhiên tổng hợp n, tăng thêm 1. Tìm tất cả các số n mà các số trên bảng đều là ước thực sự của một số tự nhiên m. (Các ước thực sự của một số tự nhiên a > 1 đều là các ước số tự nhiên của số đó ngoại trừ a và 1.) A. Khrabrov

6. Xem bài toán M2467, b) “Bài toán Kvant.

7. Xem bài toán 8 cho lớp 9.

8. Tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Điểm B a đối xứng với điểm B qua đường thẳng OI, nằm trong góc ABI. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BB a I vẽ tại B a và I cắt nhau trên đường thẳng AC. A. Kuznetsov

lớp 11

1. Số x sao cho cả hai tổng S sin 64 x sin 65 x và C cos 64 x cos 65 x đều là số hữu tỷ. Chứng minh rằng trong một trong các tổng này cả hai số hạng đều hữu tỉ. N. Agakhanov