Bài toán 1—4

26

KVANT 2017/№9

tất cả các hình tam giác, như trong hình 12. Vì góc ở một đỉnh chung giảm theo

Hình 12

Khi n tăng, tất cả các cạnh huyền đều nghiêng theo phương ngang ở các góc khác nhau. Bây giờ, để làm cho các cạnh huyền bằng nhau, hãy kéo mỗi tam giác thành một tổng thể

số lần. Nếu số tỷ lệ này được chọn làm tích độ dài các cạnh huyền của tất cả các tam giác khác (một số nguyên!), thì sau khi kéo dài như vậy, độ dài của mỗi cạnh huyền sẽ bằng tích độ dài của tất cả các cạnh huyền ban đầu. Tất cả những gì còn lại, như thường lệ, là đặt các phân đoạn này (và hình ảnh phản chiếu của chúng) lần lượt và chúng sẽ xếp thành một đa giác đều! Vì vậy số cạnh trong đa giác như vậy là không giới hạn.

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán. Chúng chủ yếu nhắm đến học sinh từ lớp 7 đến lớp 9, nhưng chúng tôi hoan nghênh học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia. Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý qua email đến địa chỉ: [email protected] hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu là “A.P. Savin Competition”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi lại. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Chúng tôi chúc bạn thành công!

1. Smart Rabbit có một lô đất rộng 8¥8 vuông gồm 64 giường 1¥1 giống hệt nhau. Anh ấy trồng bắp cải ở một số luống và cà rốt ở những luống còn lại (không có luống nào trống). Được biết, cạnh mỗi luống bắp cải có đúng 2 luống bắp cải, cạnh mỗi luống cà rốt có đúng 2 luống cà rốt (các luống liền nhau nếu chúng liền nhau). Tỷ lệ luống bắp cải có thể là: a) đúng một nửa, b) hơn 60% tổng số luống? M. Evdokimov

2. Số tự nhiên n lớn hơn 1 và không chia hết cho 10. Chữ số cuối cùng và chữ số áp chót của số $n^{4}$ có thể có cùng số chẵn lẻ không? (Cuối cùng

Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant».

chữ số ở hàng đơn vị, chữ số áp chót ở hàng chục.) S. Dvoryaninov

3. Có thể cắt một hình chữ nhật 2 ¥ 5: a) thành bốn phần, b) thành ba phần, từ đó bạn có thể gấp một hình vuông? (Bạn chỉ có thể gắn các phần với nhau mà không có khoảng trống hoặc chồng chéo.)

4. Một triệu số được viết thành một hàng: số đầu tiên là 123456789 và 999999 số là số 0. Trong khi di chuyển, bạn được phép chọn một số nếu nó nhỏ hơn số liền kề bên trái ít nhất 10 và tăng nó lên 1, đồng thời giảm tất cả các số ở bên trái đi 9. Điều này được thực hiện miễn là bạn có thể thực hiện một nước đi. Bạn có thể kết thúc với bộ số nào? (Bạn cần tìm tất cả các phương án và chứng minh rằng không có phương án nào khác.) E. Bakaev

30

KVANT 2017/№9

đẩy rất nhanh từ dưới lên trên bằng một quả bóng gắn trên helicoid, kết quả là cánh quạt bắt đầu quay rất nhanh và tách ra khỏi helicoid, bay lên khá cao. Trong đồ chơi này, helicoid đứng yên, nhưng cánh quạt chuyển động – đó cũng là một đoạn, cũng là một bước.

Làm thế nào một helicoid quay một con quay

Cấu trúc cơ bản của con quay (hình7) như sau. Thân của con quay là hai hình nón có đế giống nhau. Đỉnh của đáy

Hình 7

của hình nón của anh ta, tức là phần chóp nằm trên bàn hoặc trên sàn nhà. Phần trên của hình nón phía trên được cắt đi một chút để thu được hình nón cụt. Phần đế trên của nó là một tấm tròn có độ dày nhất định. Tấm này có một cái khe, nó thành ra như thế này. Hãy tưởng tượng giao điểm của helicoid của chúng ta và đỉnh của đỉnh. Helicoid thật dày nên có một phần helicoid ở điểm giao nhau với tấm tròn. Đây là phần được ném ra khỏi đế. Nếu đầu quay đứng yên thì helicoid có thể bị đẩy qua khe hở này từ trên xuống dưới. Helicoid quay theo chiều kim đồng hồ. Vì vậy, trong trường hợp này, khe đứng yên, helicoid di chuyển xuống và quay. Chuyển động quay lẫn nhau của helicoid và rãnh có thể được biểu diễn theo một cách khác: helicoid (không quay!) Di chuyển xuống và rãnh quay ngược chiều kim đồng hồ. Nhưng khe là phần thân trên,

Do đó, đầu quay quay ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp này, helicoid trượt dọc theo bề mặt của khe. Bạn có thể thấy một số điểm tương đồng với cách xích xe đạp chạy qua một bánh xích. Khi một mắt xích rời khỏi bánh xích, mắt xích khác sẽ thay thế nó, v.v. Ngoài ra, hai bánh răng bám vào nhau: một răng rời ra, răng tiếp theo xuất hiện, tiếp theo là răng khác… Lực mà chúng ta tác dụng lên thanh helicoid được truyền vào thân của con quay. Các bề mặt tiếp xúc (trùng khớp) của helicoid và rãnh có thể được coi gần đúng là bề mặt của hai hình nêm mà chúng ta đã nói đến trước đó. Bề mặt của rãnh là một dải chuyển động dọc theo thanh helicoid. Chúng tôi không liên tục quay con quay. Sau khi đẩy thanh helicoid đến độ sâu tối đa, chúng ta thả nó ra khỏi tay - con quay đang quay. Nhận thấy tốc độ quay chậm lại, chúng tôi nâng thanh lên. Đồng thời, anh ta không tương tác với con quay dưới bất kỳ hình thức nào. Sau đó chúng ta ấn thanh xuống một lần nữa. Quá trình này được lặp lại theo chu kỳ. Tương tự như vậy, năng lượng được nạp lại khi xe đạp di chuyển. Chúng ta quay bàn đạp, tác dụng lực lên chúng, xe đạp tăng tốc. Khi đó chúng ta không phải đạp - xe đạp chuyển động theo quán tính. Thiết bị ghép nối giữa thanh truyền và đầu quay tương tự như khớp nối của bánh dẫn động với bánh sau của xe đạp. Khi quay theo một hướng thì có sự ăn khớp, còn hướng kia thì không. Để kết luận, chúng tôi khuyên bạn nên tạo một mô hình con quay (hình8) bằng chính đôi tay của mình. Bạn sẽ cần một lọ thủy tinh, một mảnh giấy có rãnh và một đoạn dây nói trên. Chúng tôi đặt cái chai lên bàn, đặt một tờ giấy lên trên và nhét dây của chúng tôi vào khe. Bây giờ chúng ta nhấn vào thanh xoắn ốc từ trên xuống - và tờ giấy sẽ quay như $юла._{Рис.} 8$