Trisector

Trisector

Cơ chế bản lề

Cơ cấu bản lề là hệ thống các thanh thẳng cứng được nối ở hai đầu bằng bản lề cho phép các thanh quay tương đối với nhau. Rõ ràng, những cơ chế như vậy đã được sử dụng trong công nghệ từ thế kỷ 18. Và giờ đây chúng gần như có mặt khắp nơi: từ gương thu vào trong phòng tắm cho đến một số loại hệ thống treo ô tô. Chúng cũng hữu ích cho bài toán của chúng tôi. hình 7 minh họa chiếc “quạt” được phát minh bởi nhà toán học J. J. Sylvester vào năm 1875.

Hình 7

Các điểm $A_{1}$, … $, A_{7}$ luôn nằm trên cùng một đường tròn tâm O và tại các điểm này các mắt xích màu tím không quay tương đối với nhau. Bạn có thể tìm thấy một phiên bản khác của phép chia ba sử dụng cơ chế bản lề trên trang web “Toán học Etudes” (www.etudes.ru/ru/etudes/angle-trisection/). Bạn có thể tìm hiểu thêm về cơ chế bản lề trong các bài viết của Yu. Solovyov “Đảo ngược” («Kvant» Số 4, 1990) và N. Andreev “Đảo ngược” («Kvant» Số 2, 2017).

Xếp giấy Origami

Vâng, vâng, nghệ thuật cổ xưa về việc gấp những hình thù lạ mắt từ một tờ giấy này cũng được phản ánh trong toán học. Bạn có thể đọc thêm về origami toán học trong bài viết “Origami và Công trình” của A. Petrunin trong «Kvant» Số 1 năm 2008. Chúng tôi sẽ chỉ trình bày một chuỗi các hành động cho phép bạn chia một góc nhất định thành ba phần (hình8). Phương pháp này được đề xuất bởi Hisashi Abe người Nhật.

Kết thúc. Xem phần đầu ở «Kvant» số 8.

Hình 8

Cho góc BAC trên một tờ giấy, tờ giấy này cần được chia thành ba phần bằng nhau. Trước tiên, bạn cần tạo các nếp gấp PP¢ và QQ¢ song song với AB, sao cho QQ¢ nằm ở giữa PP¢ và AB. Sau đó, bạn cần uốn tấm sao cho điểm A (trên hình 8 cạnh của nó được đánh dấu A ¢) A chạm QQ¢ và điểm P đồng thời chạm AC. Khi đó góc A ¢ AB sẽ bằng 1/3 góc BAC ban đầu.

Bài tập 8. Chứng minh điều đó. Giải thích tại sao công trình này không thể được tái tạo bằng compa và thước (bạn không thể sử dụng lập luận rằng điều này mâu thuẫn với tính không thể chia cắt được).

Đường cong phụ

Hóa ra phép chia ba có thể được thực hiện bằng la bàn thông thường và thước kẻ. Nhưng để làm được điều này, điều cần thiết là một đường cong phụ đã được vẽ trên mặt phẳng nơi việc xây dựng diễn ra. Có khá nhiều đường cong khác nhau phù hợp cho việc này, đây chỉ là một vài ví dụ đơn giản. Hyperbol y = 2/x. Cho điểm X là đỉnh của nhánh hyperbol, O là gốc tọa độ, các điểm A và B nằm trên đường thẳng OX sao cho BA = AO = OX (hình9).

Hình 9

39

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

Hình 4

Hãy vẽ đường cao của tam giác ABC. Một tam giác có các đỉnh ở đáy được gọi là tam giác trực giao. Tam giác trực giao là tam giác có bàn đạp của trực tâm H. Khi đó, theo tính chất 1, ta thu được: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp vẽ từ đỉnh của tam giác vuông góc với cạnh tương ứng của tam giác trực giao (hình5).

Hình 6

Khi đó AQ là đường trung trực của đoạn XY. Bằng chứng. Theo thuộc tính $1, AQ > B_{1} C_{1}, B_{1} C_{1} P XY$ (làm đường giữa). Khi đó AQ > XY. Bây giờ lưu ý rằng tại điểm A các đường trung trực của các cạnh PX và PY của tam giác PXY cắt nhau. Hoặc hơi khác một chút: YA = AP = AX thì tam giác AXY là tam giác cân, đường vuông góc với cạnh XY là đường phân giác vuông góc với XY. Cho các điểm X, Y và Z đối xứng P qua các đường thẳng AC, AB và BC (hình7). Tam giác XYZ sẽ được gọi là tam giác có bàn đạp đôi của điểm P so với tam giác ABC. Hệ quả sau đây rút ra từ tính chất 2: Các đường đẳng giác là các đường phân giác vuông góc với các cạnh của tam giác bàn đạp đôi.

Hình 5

Bài tập 3. Từ điểm K nằm trong tam giác ABC, các đường vuông góc $KA_{1}, KB_{1}$ và $KC_{1}$ lần lượt hạ xuống các cạnh BC, AC, AB. Qua điểm $A_{1}$ vẽ đường thẳng $l_{1}$ song song với đường thẳng đối xứng với đường thẳng AK qua phân giác của góc A. Các đường thẳng $l_{2}, l_{3}$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ cắt nhau tại một điểm. Gợi ý. Cho các đường thẳng $l_{A}$ và AK – BAC đẳng giác thì theo điều kiện $l_{1} P l_{A}$. Theo tính chất 1 ta có $l_{A} > B_{1} C_{1}$.

Chúng ta hãy lưu ý thêm một tính chất của đường đẳng giác. Tính chất 2. Cho AP và AQ đẳng giác về một góc và cho các điểm X và Y đối xứng với P theo các cạnh của góc (hình6).

Hình 7

40

KVANT 2017/№9

Bạn đời đẳng giác

Định lý 1. Cho điểm P không nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó các đường đẳng giác với các đường AP, BP và CP cắt nhau tại một điểm (hình8,a).

c) Gọi $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ là các đường cao của tam giác ABC, M là một điểm tùy ý, $A_{1}$ là một điểm đối xứng với M so với cạnh BC; điểm $B_{1}, C_{1}$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $B_{0} B_{1}, C_{0} C_{1}, A_{0} A_{1}$ cắt nhau tại một điểm. Gợi ý. b) Các đường thẳng cắt nhau tại điểm liên hợp đẳng giác với M đối với tam giác ABC; c) Chứng minh các cạnh của tam giác ABC nằm trên các đường phân giác ngoài của tam giác $A_{0} B_{0} C_{0}$ và sử dụng phần b).

Tâm đường tròn và trực tâm

Hãy nhớ rằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp và chiều cao vẽ từ một đỉnh của tam giác là đẳng giác. Khi đó các điểm O và H liên hợp đẳng giác.

Hình 8

Chúng ta hãy biểu thị điểm giao nhau là Q. Điểm Q được gọi là liên hợp đẳng giác với điểm P. Chúng ta cũng có thể nói rằng các điểm P và Q là liên hợp đẳng giác. Sử dụng hệ quả của tính chất 2, ta chứng minh được định lý và thu được ngay ý nghĩa hình học của điểm Q: đây là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác có bàn đạp đôi XYZ. Định lý 1 cũng được sử dụng trong một công thức hơi khác một chút. Định lý 1 a. Nếu AP và AQ, BP và BQ là hai cặp đường đẳng giác trong tam giác ABC thì CP và CQ cũng là hai đường đẳng giác (hình8,b). Lưu ý rằng nếu điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp và khác các đỉnh của tam giác ABC thì các đường đẳng giác của AP, BP và CP song song với nhau.

Bài tập 4: Chứng minh điều đó.

Rõ ràng đường phân giác đó vuông góc với chính nó. Khi đó tâm của đường nội tiếp và tâm của các đường tròn ngoại tiếp liên hợp đẳng giác với nhau.

Bài tập 5. a) Trên phân giác góc A của tam giác ABC, lấy các điểm D và F nằm trong tam giác sao cho DBC FBA. Chứng minh rằng DCB FCA. b) Điểm M nằm trong tam giác ABC, $A_{1}$ là điểm đối xứng với M so với phân giác ngoài của góc A; điểm $B_{1}, C_{1}$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng đường thẳng $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm.

Bài tập 6. a) Cho đường thẳng đi qua đỉnh A của tam giác ABC và vuông góc với cạnh $B_{1} C_{1}$ của tam giác trực giao. Các dòng b và c được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng a, b và c cắt nhau tại một điểm. b) Cho $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ là các điểm đối xứng với H qua các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Qua đáy cao $AA_{1}$ của tam giác ABC vẽ đường thẳng $l_{1}$ song song với đường thẳng AO. Đường trực tiếp $l_{2}, l_{3}$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ cắt nhau tại một điểm.

Chặn tiếp tuyến và trung tuyến kép

Gọi AM là đường trung bình của tam giác ABC. Hãy thực hiện một công trình tiêu chuẩn. Hãy nhân đôi đường trung tuyến AM của điểm M và nhận được điểm D. Dựng một điểm P vuông góc với D. Để làm được điều này, chỉ cần dựng các đường đẳng giác của BD và CD là đủ. Cho các góc của tam giác bằng A A, B B, C G. Vẽ một đường đẳng giác từ cạnh BA của góc ABC đến BD (hình 9,a). Khi đó đường thẳng này tạo thành góc A với cạnh BC. Tương tự, chúng ta hãy xây dựng một đường đẳng giác với CD. Giả sử các đường thẳng kết quả cắt nhau tại điểm P. Ta thấy PBC PCB BAC A. Theo tiêu chí đã biết (góc giữa tiếp tuyến và dây cung), PB và CP là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, theo Định lý 1, AP là đường đẳng giác của đường trung tuyến AM đối với góc BAC. Đường đẳng giác này được gọi là simedian. Chúng ta đã có được tính chất chính của simedian:

41

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

Hình 10

Hình 9

Đường trung tuyến vẽ qua đỉnh A đi qua giao điểm của các tiếp tuyến tại B và C với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (hình 9, b). Chi tiết hơn về các tính chất của đường đối xứng có thể tìm thấy trong bài viết [4].

Bài tập 7. a) (Olympic Hình học miệng, 2004) Cho $C_{1}$ và $B_{1}$ là hình chiếu của điểm P của giao điểm các tiếp tuyến tại điểm B và C với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Sau đó $AM > B_{1} C_{1}$. b) (Olympic toàn Nga, 2013) Tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn số 7. Các tiếp tuyến của 7 tại các điểm B và C cắt nhau tại điểm P. Điểm D và E là đáy của các đường vuông góc hạ từ điểm P xuống các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng giao điểm các đường cao của tam giác ADE là trung điểm của đoạn BC.

Tổng chu vi bàn đạp

Hãy quay lại nghiên cứu tính chất của các góc đẳng giác. Gọi AP và AQ là góc đẳng nhiệt BAC. Tính chất 3. Hình chiếu của các điểm P và Q lên các cạnh của góc AB và AC nằm trên cùng một đường tròn (hình10) và tâm của đường tròn này là trung điểm của đoạn PQ.

Bài tập 8. Chứng minh tính chất này.

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để chứng minh định lý chính của phần này.

Định lý 2. Các đường tròn bàn đạp của các điểm liên hợp đẳng giác P và Q trùng nhau. Bằng chứng. Theo tính chất 3, hình chiếu của các điểm P và Q lên các đường thẳng AB và BC nằm trên cùng một đường tròn (hình11). Điều tương tự cũng đúng đối với hình chiếu của các điểm P và Q lên các đường thẳng AB và AC. Nhưng hai vòng tròn này có điểm chung

Hình 11

center – điểm giữa của đoạn PQ. Ngoài ra, chúng còn có một điểm chung, nghĩa là các đường tròn này trùng nhau.

Bài tập 9 (vòng chung kết Thế vận hội I.F. Sharygin, 2006). Cho tam giác ABC và điểm P bên trong tam giác đó. Các điểm Aa, Ba, Ca là các hình chiếu của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A a B a C a nằm trong tam giác ABC.

Chúng ta hãy xem Định lý 2 sẽ cho kết quả gì đối với cặp điểm liên hợp đẳng giác quen thuộc O và H. Các đỉnh của tam giác bàn đạp của điểm O là trung điểm của các cạnh và đối với điểm H là đáy của các đường cao. Khi đó, theo Định lý 2, tất cả sáu điểm này đều nằm trên

42

KVANT 2017/№9

một vòng tròn. Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Euler.

Tiếp theo, chúng tôi áp dụng lý thuyết của mình cho lời giải bài toán.

Tứ giác có hai góc đối diện bằng nhau

Bài toán 1. Các đường chéo của hình bình hành ABCD (không phải hình chữ nhật) cắt nhau tại điểm M (hình12). Chứng minh điểm M và các căn cứ

Hình 12

các đường vuông góc hạ từ điểm D lên các đường thẳng BC, CA, AB nằm trên cùng một đường tròn. Hãy định dạng lại bài toán. Cần chứng minh điểm M nằm trên đường tròn bàn đạp của điểm D so với tam giác ABC $( A_{1} B_{1} C_{1}$ – tam giác bàn đạp của điểm D). Theo Định lý 2, trên cùng một đường tròn có các hình chiếu lên các cạnh của tam giác ABC của điểm liên hợp đẳng giác. Nếu chúng ta chứng minh rằng một trong các hình chiếu trùng với M thì bài toán được giải. Lời giải. Chúng ta hãy dựng một điểm P liên hợp đẳng giác với D. Vì BD là đường trung tuyến kép nên, theo tính chất đối trung, P là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, được vẽ

Hình 13

nằm ở điểm A và C (hình13). Theo Định lý 2, điểm P và D có chung một đường tròn bàn đạp. Điểm M là hình chiếu của điểm P lên AC. Do đó, điểm M nằm trên đường tròn $A_{1} B_{1} C_{1}$. Hóa ra bài toán này có thể được khái quát hóa. Bài toán 2 (về tứ giác). Trong tứ giác lồi ABCD, các góc A và C bằng nhau (hình14). Chứng minh rằng căn cứ

Hình 14

các đường vuông góc hạ từ điểm D lên các đường thẳng AB, BC, AC và trung điểm của đoạn AC nằm trên cùng một đường tròn hoặc trên cùng một đường thẳng.

Bài tập

10. Chứng minh điều đó. Gợi ý. Cho điểm P liên hợp đẳng giác với D đối với tam giác ABC. Chứng minh M là hình chiếu của P lên AC. 11 (M991). Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm BC, H là đáy đường cao kẻ từ A đến BC. Chọn các điểm P và Q bên trong góc BAC sao cho BAP CAQ, BP > PA, AQ > QC (hình15). Chứng minh rằng các điểm P, Q, M và H cùng thuộc một đường tròn.

Hình 15

43

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

Gợi ý. Cách xây dựng này tương tự như bài toán về một hình tứ giác. 12 (Olympic Toán học Mátxcơva, 1987). Điểm P bên trong tam giác ABC sao cho PBA PCA (hình16). Gọi $C_{1}$ và $B_{1}$ là hình chiếu của điểm P lên các cạnh AB và AC

Hình 17

Hình 16

do đó M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $MB_{1} MC_{1}$. Gợi ý. Lưu ý rằng điều kiện đã chứa hình chiếu của điểm P lên hai cạnh và điểm giữa của cạnh đó. Hãy thêm một điểm khác $A_{1}$ – hình chiếu của điểm P lên cạnh BC. Bằng cách này, có thể xây dựng một công trình từ bài toán 2 (đối với trường hợp tứ giác ABPC không lồi). Việc còn lại là chứng minh sự bằng nhau của các dây trong đường tròn đi qua $A_{1}, B_{1}, C_{1}, M.$

Lại là giao điểm của các tiếp tuyến và hai lần đường trung tuyến

Xét giao điểm P của các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ tại các điểm B và C và đường trung tuyến kép AD (hình17). Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định lý vòng tròn bàn đạp tổng quát để “phát minh” bài toán. Chúng ta đã biết rằng các điểm P và D là liên hợp đẳng giác và chúng có một đường tròn bàn đạp chung. Bây giờ hãy “ẩn” một số thành phần cấu trúc. Cụ thể, chúng ta hãy thử loại bỏ điểm D trong điều kiện bài toán (đó sẽ là gợi ý cho lời giải). Hãy tìm chiều cao AH. Vì ABDC là hình bình hành nên hình chiếu X của điểm D lên BC và điểm H đối xứng qua trung điểm M của đoạn BC, tức là CX = BH. Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng xây dựng bài toán, gần như tương đương với Olympic phức tạp bài toán (Bài tập 13). Bài toán 3. Trong tam giác nhọn ABC không cân vẽ đường cao AH, điểm M là trung điểm BC. Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ tại các điểm B và C cắt nhau tại điểm P. Trên cạnh BC vẽ đoạn thẳng CX = BH. Hai điểm E và F là hình chiếu của điểm P lên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng các điểm E, F, M và X cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập

13 (Olympic toàn Nga, 2015). Cho tam giác nhọn ABC không cân, vẽ đường trung tuyến AM và đường cao AH. Trên đường thẳng AB và AC, lần lượt đánh dấu các điểm Q và P sao cho QM > AC và PM > AB (hình18). Đường tròn ngoại tiếp tam giác PMQ cắt đường thẳng BC lần thứ hai tại X. Chứng minh BH = CX.

Hình 18

44

KVANT 2017/№9

Hình 19

Gợi ý. “Trở lại” cách vẽ giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm B và C và sử dụng kết quả bài tập 7, b. 14 (vòng trao đổi của Thế vận hội I.F. Sharygin, 2017). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ tại các điểm A và B cắt nhau tại điểm D. Đường tròn đi qua các hình chiếu của D lên các đường thẳng BC, CA, AB lại cắt AB tại điểm Ca. Các điểm Aa, Ba được xây dựng tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng AAa, BBa, CCa cắt nhau tại một điểm.

Cuối cùng, chúng ta hãy thử giải một câu khác khá khó bài toán. Bài toán 4 (Olympic Hình học Iran, 2014). Gọi H là đáy đường cao tính từ đỉnh A của tam giác ABC và H a ​​là điểm đối xứng với điểm H so với điểm giữa cạnh BC (hình 19,a). Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vẽ tại các điểm B và C cắt nhau tại điểm X. A vuông góc với XH a vẽ tại điểm H a, cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại các điểm Y và Z. Chứng minh rằng YXB ZXC. Lời giải. Xét trường hợp tam giác nhọn (người đọc có thể phân tích các trường hợp khác theo cách tương tự). Vì BX và CX là tiếp tuyến nên ta có CBX BCX A, do đó BXC 180 o 2 A. Đặt XYZ J, XZY Q. Với lời giải chỉ cần chứng minh rằng YXZ 2 A hoặc tương đương là J Q 2 A. Giả sử E và F là hình chiếu của điểm X lên AB và AC (hình19,b). Lưu ý rằng hình tứ giác

nick XH a YE được ghi, do đó, XYH a XEH a J. Tương tự, XZH a XFH a Q. Từ tứ giác AEXF ta tìm được EXF 180 o A. Vẫn phải đảm bảo rằng EH a F 180 o A (sau đó từ tổng các góc trong tứ giác XFH a E ta thu được J Q 2 A). Đã đến lúc áp dụng những kiến ​​thức thu được về thiết kế này. Ta đã biết các điểm E, M (giữa BC), H a, F cùng nằm trên một đường tròn. Sau đó EH và F EMF. Ngoài ra, theo Bài tập 7b, EM > AC, FM > AB, từ đó ta dễ dàng suy ra EMF 180 o A. Bài toán đã được giải.

Tài liệu tham khảo

1. P. Kozhevnikov. Điểm liên hợp đẳng giác. – «Kvant», 2016, số 1. 2. V.V.Prasolov. Điểm Brocard và liên hợp đẳng giác. – M.: MTsNMO, 2000. 3. A.V. Akopyan. Hình học trong hình ảnh. – M.: MTsNMO, 2011. 4. Yu. Blinkov. Symedia. – «Kvant», 2015, số 4. 5. A. Akopyan, A. Zaslavsky. Quan điểm khác nhau về liên hợp đẳng giác. – “Giáo dục Toán học”, 2007, số phát hành. 11.