Bài toán

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

1. Con số 73 được làm từ que diêm (xem.

hình). Sắp xếp hai que diêm để tạo thành một hình vuông. Tìm hai lời giải. S. Kostin

cắt thành 6 hình ca rô bằng nhau không phải hình chữ nhật. Cho một ví dụ về cách cắt như vậy. N. Agakhanov, O. Podlipsky

0,** + 0,** + 0,** + 0,** = 2 thay dấu hoa thị bằng các số khác nhau từ 1 đến 9 để có được đẳng thức đúng? I. Bogdanov

Cắt một hình vuông không ở giữa từ hình vuông ca rô 5 s 5 sao cho phần còn lại có thể

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Bài toán 2–4 đã được đưa ra ở giai đoạn Thành phố của Olympic toàn Nga dành cho học sinh môn toán ở khu vực Moscow.

Minh họa của D. Grishukova

2. Có thể bình đẳng được không

Giải đấu bắn cung được tổ chức theo thể lệ sau. Sự đóng góp tương tự được thu thập từ mỗi người tham gia. Ban tổ chức giải đấu lấy 1/3 tổng số tiền nhận được, số tiền còn lại đưa vào quỹ giải thưởng của giải đấu. Robin Hood, người vô địch giải đấu, nhận được 1/6 quỹ giải thưởng - nhiều hơn những người tham gia khác, nhưng cuối cùng lại thua cuộc. Có bao nhiêu cung thủ có thể tham gia giải đấu? Đưa ra tất cả các lựa chọn có thể và chứng minh rằng không có lựa chọn nào khác. O. Podlipsky

25

BÀI KIỂM TRA

tàu tuần dương ra mũi và quay lại đuôi tàu, nếu chiều dài tàu tuần dương là 306 m? 2. Một tấm khối lượng M được treo ở giữa nó bằng một sợi dây cao su. Dọc theo dây, từ độ cao h, vòng đệm rơi phẳng xuống tấm (dây đi qua lỗ trên vòng đệm) và dính vào tấm. Khối lượng của vòng đệm là m, độ cứng của dây là k. Đĩa có quả bóng sẽ có tốc độ tối đa là bao nhiêu khi chuyển động sau va chạm? 3. Hai bình giống hệt nhau chứa cùng một lượng khí heli. Vận tốc bình phương trung bình gốc của các nguyên tử helium trong bình thứ nhất là 1200 m/s, và trong bình thứ hai là 2400 m/s. Vận tốc bình phương trung bình căn bậc hai sẽ là bao nhiêu nếu các ống trụ được nối với nhau bằng một ống? 4. Một máy bay phản lực cất và hạ cánh thẳng đứng lơ lửng trên mặt đất, ném xuống một luồng khí với tốc độ 1200 m/s. Khối lượng khí được phát ra trong một máy bay phản lực mỗi giây nếu khối lượng của máy bay là 10 tấn? 5. Một tàu vũ trụ không người lái đã hạ cánh xuống một hành tinh xa xôi. Cùng lúc đó, một lỗ nhỏ xuất hiện trên thân tàu. Bầu khí quyển của hành tinh này rất loãng - đến mức khi bay qua lỗ, các phân tử không va chạm với nhau. Áp suất khí quyển của hành tinh là $p_{0}$ và nhiệt độ là $T_{0}$. Áp suất p sẽ được thiết lập bên trong thân tàu nếu nó được duy trì ở nhiệt độ cao gấp đôi nhiệt độ bên ngoài? 6. Có khí heli trong xi lanh dưới piston. Tốc độ bình phương trung bình của các phân tử của nó sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu thể tích của khí tăng 1,5 lần và đồng thời áp suất tăng 1,5 lần?

lớp 11

1. Một sợi rơm nhẹ có khối lượng m = 1 g, dài L = 4 cm nổi trên mặt nước. Một dung dịch xà phòng được đổ lên một bên ống hút. Rơm sẽ bắt đầu chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu? Bỏ qua lực cản của nước đối với chuyển động của rơm. Hệ số căng bề mặt của nước và dung dịch xà phòng lần lượt là $S_{в} 7,4$ $10^{2}$ N m và $S_{мр} 4$ $10^{2}$ N m. 2. Sasha đã từng di chuyển các tấm của tụ điện phẳng, liên tục

NGUYÊN VẬT LIỆU

được kết nối với nguồn điện áp và trong một trường hợp khác, chúng bị ngắt kết nối sau lần sạc đầu tiên. Trong hai trường hợp này, Sasha đã phải tốn nhiều công sức để di chuyển các tấm kim loại ra xa nhau? Đáp số giải thích. 3. Hai quả cầu nhỏ có khối lượng m và điện tích q được nối với nhau bằng một sợi dây không dẫn điện có chiều dài 2l và nằm trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang. Tại một thời điểm nào đó, điểm giữa của sợi dây bắt đầu chuyển động với vận tốc không đổi v, vuông góc với phương của sợi dây tại thời điểm ban đầu. Xác định khoảng cách d tối thiểu mà tại đó các quả bóng sẽ tiếp cận nhau. 4. Một tên lửa bay vào một đám mây hạt đứng yên với tốc độ ban đầu $v_{0}$ và chuyển động trong đó với gia tốc a. Các hạt dính vào bề mặt trước của tên lửa có diện tích S. Nồng độ của các hạt là n, khối lượng của mỗi hạt là m và khối lượng của bản thân tên lửa là $M_{0}$. Xác định lực đẩy của động cơ tên lửa. 5. Masha truyền điện tích âm bằng nhau cho hai quả bóng kim loại có đường kính khác nhau, sau đó cô nối các quả bóng bằng một dây điện trở cao với một ampe kế mắc nối tiếp. Ampe kế sẽ hiển thị điều gì? Đáp số giải thích. 6. Hai quả bóng nhỏ mang điện tích $q_{1}$ và $q_{2}$ ban đầu chuyển động với vận tốc về độ lớn và hướng bằng nhau dọc theo một bàn nằm ngang nhẵn. Sau khi bật một điện trường đều trong một thời gian, vectơ vận tốc của quả bóng thứ nhất quay một góc 60o và độ lớn vận tốc của nó giảm đi một nửa. Quả bóng thứ hai bắt đầu chuyển động vuông góc với hướng ban đầu. Xác định mô đun tỷ lệ điện tích trên khối lượng của quả bóng thứ hai nếu quả bóng thứ nhất bằng $k_{1}$. Bỏ qua tương tác tĩnh điện của các quả cầu. 7. Một chiếc xe trượt có khối lượng $M_{0}$ được kéo sao cho nó chuyển động đều với vận tốc $v_{0}$. Khi tuyết bắt đầu rơi, các bông tuyết dính vào mặt trên của xe trượt có diện tích S. Nồng độ của các bông tuyết là n, khối lượng của mỗi bông tuyết là m và tốc độ của chúng trên bề mặt trái đất là v. Xác định lực kéo xe trượt phải phụ thuộc vào thời gian để nó tiếp tục chuyển động với cùng tốc độ $v_{0}$. Hệ số ma sát là M.

27

BÀI KIỂM TRA

nước thì thời gian t = 5 phút. Mất bao lâu $t_{т}$ để băng tan? Nhiệt lượng được cung cấp cho bình đều (tỷ lệ theo thời gian). Không có tổn thất nhiệt. Nhiệt dung riêng nóng chảy của nước đá L 2,5 $10^{4}$ J kg. Nhiệt dung riêng của nước đá là c 2,1 $10^{3}$ J kg K. 3. Một quả cầu dẫn điện có bán kính 10 cm có điện tích $10^{8}$ C. Cường độ điện trường tại một điểm cách bề mặt quả cầu 20 cm là bao nhiêu? 4. Tìm tỉ số giữa số chỉ vôn kế $V_{2}$ với số chỉ vôn kế $V_{1}$ của mạch điện ở hình 6, nếu

NGUYÊN VẬT LIỆU

A có đường chân trời. Gia tốc a của vật là bao nhiêu? 8. Trong một xi lanh chân không kín, một piston được treo trên một lò xo, vị trí cân bằng của nó là ở đáy xi lanh. Một lượng khí nhất định được đưa vào khoảng trống dưới piston. Ở nhiệt độ $T_{1}$ piston được nâng lên $l_{1}$ so với đáy. Xác định vị trí của piston $l_{2}$ khi khí được nung nóng đến nhiệt độ $T_{2}$.

mật mã

Olympic liên khu vực dành cho học sinh môn toán và mật mã

Yêu thích bài toán

Hình 6

$R_{1} = 10$ kOhm, $R_{2} = 20$ kOhm, $R_{3} = 80$ kOhm, $R_{4} = 160$ kOhm. 5. Một dây dẫn có chiều dài L = 20 cm có cường độ dòng điện I = 50 A đặt trong từ trường đều có cảm ứng B = 40 mT. Nguồn dòng điện sẽ sinh công bao nhiêu nếu dây dẫn chuyển động s = 10 cm vuông góc với vectơ cảm ứng từ (vectơ cảm ứng từ vuông góc với chiều dòng điện trong dây dẫn)? 6. Một vật chuyển động với gia tốc không đổi, liên tiếp đi qua hai đoạn đường và thời gian chuyển động ở cả hai đoạn đường là như nhau. Khi chuyển động dọc theo đoạn thứ nhất có chiều dài l, vận tốc của vật giảm đi n lần. Tìm độ dài của phần thứ hai. 7. Một khối có khối lượng M được nối với một vật có khối lượng m bằng một sợi dây không trọng lượng và không dãn được ném qua một khối không trọng lượng (hình7). Vật trượt không ma sát dọc theo mặt phẳng nghiêng cố định tạo thành một góc

Hình 7

1 (lớp 10). Tìm một số tự nhiên x không vượt quá 85 sao cho khi chia các số $x^{15}$ và $x^{23}$ cho 85 thì số dư lần lượt là 23 và 28. 2 (lớp 8–9). Tìm số nguyên dương x không lớn hơn 77 nếu biết số dư khi chia $x^{2}$ cho 77 và 96 lần lượt là 71 và 73. 3 (8–9, 10 lớp). Người làm mũ quyết định gửi cho Thỏ mật khẩu máy tính của mình (một từ gồm 7 chữ cái). Trước khi gửi đi, anh ấy đã mã hóa nó như sau (hình8). Ông thay thế từng chữ cái của từ bằng tổ hợp năm chữ số theo Bảng 1 (người ta tin rằng E = E). Dữ liệu $из^{Рис.} 8$

Bảng 1