Задачи

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. Из спичек сложено число 73 (см.

рисунок). Переложите две спички так, чтобы получился квадрат. Найдите два решения. С.Костин

разрезать на 6 равных клетчатых фигурок, не являющихся прямоугольниками. Приведите пример такого разрезания. Н.Агаханов, О.Подлипский

0,** + 0,** + 0,** + 0,** = 2 заменить звездочки различными цифрами от 1 до 9 так, чтобы получилось верное равенство? И.Богданов

Вырежьте из клетчатого квадрата 5 s 5 одну нецентральную клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 2–4 предлагались на Муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в Московской области.

Иллюстрации Д.Гришуковой

2. Можно ли в равенстве

Турнир лучников проводился по следующим правилам. С каждого участника собрали одинаковый взнос. Организаторы турнира забрали 1/3 от всех поступивших денег, а оставшиеся деньги пошли в призовой фонд турнира. Робин Гуд, победивший в турнире, получил 1/6 от призового фонда – больше каждого из остальных участников, однако оказался в убытке. Какое количество лучников могло участвовать в турнире? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет. О.Подлипский

25

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

крейсера до носа и обратно к корме, если длина крейсера 306 м? 2. Пластина массой M подвешена за ее середину на резиновом шнуре. Вдоль шнура с высоты h на пластину падает плашмя шайба (шнур проходит через отверстие в шайбе) и прилипает к пластине. Масса шайбы m, жесткость шнура k. Какую максимальную скорость будет иметь пластина с шайбой при движении после удара? 3. Два одинаковых баллона наполнены одинаковым количеством гелия. Средняя квадратичная скорость атомов гелия в первом сосуде 1200 м/с, а во втором 2400 м/с. Какой будет средняя квадратичная скорость, если соединить баллоны трубкой? 4. Реактивный самолет с вертикальными взлетом и посадкой завис над землей, выбрасывая вниз струю газа со скоростью 1200 м/с. Какая масса газа выбрасывается в струе за секунду, если масса самолета 10 тонн? 5. Беспилотный космический корабль совершил посадку на далекой планете. При этом в корпусе корабля образовалось небольшое отверстие. Атмосфера планеты очень разряженная – настолько, что, пролетая через отверстие, молекулы не сталкиваются друг с другом. Давление атмосферы планеты $p_{0}$, а температура $T_{0}$. Какое давление p установится внутри корпуса корабля, если в нем поддерживается температура в два раза больше, чем снаружи? 6. В цилиндре под поршнем находится гелий. Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость его молекул, если объем газа увеличить в 1,5 раза и одновременно давление увеличить в 1,5 раза?

11 класс

1. Легкая соломинка массой m = 1 г и длиной L = 4 см плавает на поверхности воды. По одну сторону от соломинки налили мыльный раствор. С каким ускорением w начнет двигаться соломинка? Сопротивлением воды движению соломинки пренебречь. Коэффициенты поверхностного натяжения воды и мыльного раствора равны $S_{в} 7,4$ – $10^{2}$ Н м и $S_{мр} 4$ – $10^{2}$ Н м соответственно. 2. Саша один раз раздвинул пластины плоского конденсатора, которые все время

МАТЕРИАЛЫ

были подключены к источнику напряжения, а в другой раз они были отключены после первоначальной зарядки. В каком из этих двух случаев Саша совершил большую работу по раздвижению пластин? Ответ поясните. 3. Два небольших шарика массой m с зарядом q каждый соединены непроводящей нитью длиной 2l и лежат на гладком горизонтальном столе. В некоторый момент времени середина нити начинает двигаться с постоянной скоростью v, перпендикулярной направлению нити в начальный момент времени. Определите минимальное расстояние d, на которое сблизятся шарики. 4. Ракета влетает в неподвижное облако частиц с начальной скоростью $v_{0}$ и движется в нем с ускорением a. Частицы налипают на переднюю поверхность ракеты площадью S. Концентрация частиц n, масса каждой частицы m, а масса самой ракеты $M_{0}$. Определите силу реактивной тяги двигателей ракеты. 5. Маша сообщила равные отрицательные заряды двум металлическим шарам, имеющим разные диаметры, затем она соединила шары проводом большого сопротивления с последовательно включенным амперметром. Что покажет амперметр? Ответ поясните. 6. Два небольших шарика с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ вначале двигались с одинаковыми по модулю и направлению скоростями по гладкому горизонтальному столу. После того как на некоторое время было включено однородное электрическое поле, вектор скорости первого шарика повернулся на 60o градусов, а модуль его скорости уменьшился в два раза. Второй шарик стал двигаться в перпендикулярном к первоначальному направлении. Определите модуль отношения заряда к массе для второго шарика, если для первого он равен $k_{1}$. Электростатическим взаимодействием шариков пренебречь. 7. Санки массой $M_{0}$ тянут так, что они движутся равномерно со скоростью $v_{0}$. При начавшемся снегопаде снежинки налипают на верхнюю поверхность санок площадью S. Концентрация снежинок n, масса каждой снежинки m, а их скорость у поверхности земли равна v. Определите, как должна зависеть от времени сила, с которой тянут санки, чтобы они продолжали двигаться с той же скоростью $v_{0}$. Коэффициент трения равен M.

27

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

воду, потребовалось время t = 5 мин. В течение какого времени $t_{т}$ таял лед? Тепло к сосуду подводилось равномерно (пропорционально времени). Тепловые потери отсутствуют. Удельная теплота плавления льда L 2,5 – $10^{4}$ Дж кг. Удельная теплоемкость льда c 2,1 – $10^{3}$ Дж кг – К. 3. Проводящий шар радиусом 10 см имеет заряд $10^{8}$ Кл. Какова напряженность поля в точке, находящейся от поверхности шара на расстоянии 20 см? 4. Найдите отношение показания вольтметра $V_{2}$ к показанию вольтметра $V_{1}$ для схемы, изображенной на рисунке 6, если

МАТЕРИАЛЫ

A с горизонтом. Чему равно ускорение a бруска? 8. В закрытом откачанном цилиндре подвешен на пружине поршень, положение равновесия которого находится у дна цилиндра. В пространство под поршенем вводится некоторое количество газа. При температуре $T_{1}$ поршень поднят на $l_{1}$ от дна. Определите положение поршня $l_{2}$ при нагревании газа до температуры $T_{2}$.

КРИПТОГРАФИЯ

Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии

Избранные задачи

Рис. 6

$R_{1} = 10$ кОм, $R_{2} = 20$ кОм, $R_{3} = 80$ кОм, $R_{4} = 160$ кОм. 5. Проводник длиной L = 20 см с силой тока I = 50 А находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 40 мТл. Какую работу совершит источник тока, если проводник переместится на s = 10 см перпендикулярно вектору магнитной индукции (вектор магнитной индукции перпендикулярен направлению тока в проводнике)? 6. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, проходит последовательно два участка пути, причем время движения на обоих участках одинаково. При движении по первому участку длиною l скорость тела уменьшилась в n раз. Найдите длину второго участка. 7. Брусок массой M соединен с грузом массой m невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.7). Брусок скользит без трения по закрепленной наклонной плоскости, составляющей угол

Рис. 7

1 (10 класс). Найдите натуральное число х, не превосходящее 85, такое, что при делении чисел $x^{15}$ и $x^{23}$ на 85 в остатке получится 23 и 28 соответственно. 2 (8–9 классы). Найдите натуральное число х, не превосходящее 77, если известно, что остатки от деления числа $x^{2}$ на 77 и 96 равны 71 и 73 соответственно. 3 (8–9, 10 кл.). Шляпник решил отправить по почте Зайцу свой пароль от компьютера (слово из 7-ми букв). Перед отправкой он его зашифровал следующим образом (рис.8). Каждую букву слова он заменил пятизначной комбинацией в соответствии с таблицей 1 (считается, что Е=Ё). Данные $из^{Рис.} 8$

Таблица 1