Задачи М2490—М2493; Ф2497—Ф2500

Квант 2017, №12 с. 15, 20, 21 Тег KSKE

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2490, М2491а, б, в предлагались на XXXIX Турнире городов.

Задачи М2490–М2493, Ф2497–Ф2500

M2490. Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ……, 100, ключи тоже пронумерованы, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более: а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток? А.Лебедев, А.Шаповалов

M2491. Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: 1) вначале режем сыр на 2 куска, затем один из них режем еще на 2 куска, затем один из трех кусков опять режем на 2 куска и т.д.; 2) после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса любой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа R. а) Докажите, что при R = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать еще один кусок). б) Докажите, что если R > 0,5, то процесс резки когда-нибудь остановится.

в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если R = 0,6? г) Докажите, что если при данном R сыр можно разрезать на 11 кусков, то его также можно разрезать и на 12 кусков. А.Толпыго

M2492. В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ и высоты $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ . Пусть $A_{2}$ – точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $BA_{1} B_{0}$ и $CA_{1} C_{0}$ , отличная от точки $A_{1}$ . Аналогично определим точки $B_{2}$ и $C_{2}$ . Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке. Т.Ковалев, А.Львов (ученики 9 класса)

M2493. Внутри треугольника $A_{1} A_{2} A_{3}$ взяты точки $A_{4}, A_{5}$ , … $, A_{n}$ так, что среди точек $A_{1}$ , … $, A_{n}$ нет трех точек на одной прямой. Аналогично, внутри треугольника $B_{1} B_{2} B_{3}$ взяты точки $B_{4}, B_{5}$ , … $, B_{n}$ так, что среди точек $B_{1}$ , … $, B_{n}$ нет трех точек на одной прямой. Дан набор M трехэлементных подмножеств множества {1, 2,… …, n}. Пусть A – множество треугольников вида $A_{i} A_{j} A_{k}, i < j < k,$ где { i, j, k } Œ M, аналогично, B – множество треугольников вида $B_{i} B_{j} B_{k}, i < j < k,$ где { i, j, k } Œ M. Известно, что треугольники множества A образуют разбиение треугольника $A_{1} A_{2} A_{3}$ . Докажите, что любая точка, лежащая внутри треугольника

ЗАДАЧНИК

роками, (2) никто не стоит между третьим и четвертым по росту игроками,……, (N) никто не стоит между двумя самыми низкими игроками. Докажите, что желание сэра Алекса можно осуществить.

Начнем с доказательства следующей леммы. Лемма. Пусть в шеренгу выстроены футболисты из N команд, в каждой из которых хотя бы N + 1 игрок. Тогда в шеренге можно оставить 2N футболистов по 2 из каждой команды так, что любые два игрока из одной команды будут стоять рядом. Доказательство. Индукция по N. База: при N = 1 утверждение очевидно. Сделаем переход от N – 1 к N. Занумеруем игроков в каждой команде числами 1, 2, … слева направо. Среди всех игроков с номером 2 выберем самого левого. Пусть это игрок $K_{2}$ , играющий за команду K (здесь $K_{1}, K_{2}$ , … – все игроки команды K, занумерованные слева направо). Теперь удалим из шеренги всех футболистов, стоящих левее $K_{2}$ , и всю команду K полностью. Тогда из каждой оставшейся команды мы удалили не более одного игрока (могли удалить только игрока с номером 1, так как игроки с бульшими номерами находились правее $K_{2} ).$ По предположению индукции, для оставшегося ряда можно выбрать 2N – 2 игроков требуемым образом. Остается добавить к ним пару игроков $K_{1}$ и $K_{2}$ . Перейдем к решению задачи. Разобьем футболистов на N команд следующим образом: в первую команду включим N + 1 самых высоких игроков, во вторую – следующих N + 1 по росту и т.д. По лемме, мы можем оставить по два футболиста из каждой команды так, чтобы они стояли рядом. Это и требуется в задаче, так как игроки из i-й команды являются ( 2 i - 1 ) -м и 2i-м игроками по росту среди оставленных. Задача решена. В завершение приведем следующую графическую интерпретацию этой задачи. Пусть n = N ( N + 1 ). Если в нашей шеренге на i-м слева месте стоит j-й по высоте игрок, то покрасим узел с координатами

«КВАНТА»

( i, j ). Таким образом, на решетке, полученной в пересечении горизонталей y = 1, y = 2, …, y = n и вертикалей x = 1, x = = 2, …, x = n, у нас будет покрашено n узлов, при этом на каждой горизонтали и вертикали покрашен ровно один узел (см. рисунок). Задачу теперь можно перефор- мулировать так: требуется выбрать N пар покрашенных узлов и соединить узлы в каждой паре отрезком так, чтобы проекции полученных N отрезков на координатные оси не пересекались. В.Ретинский

Ф2485. Тяжелый однородный бильярдный шар массой m «застрял» в горизонтальной решетке (рис.1), протянутой (для безопасности ламп) под потолком над игровым столом. При каком мини-

Рис. 1

мальном значении коэффициента трения M такое возможно? Радиус шара R, «шаг» решетки 2a, диаметр прутка решетки l. Ускорение свободного падения равно g.

КВАНТ 2017/№12

угольника $ACI_{c}$ . Как известно, W равноудалена от $A, B, I, I_{c}$ (теорема о трезубце), в частности, W – середина $II_{c}$ , следовательно, $CI = II_{c} = 2 IW$ .

Упражнение 1. Докажите обратное утверждение: если CI = 2IW (или $CI II_{c} ),$ то AIM 90 o.

Надо сказать, что такая формулировка задачи на олимпиаде появилась в последний момент. До этого в проекте варианта фигурировала немного другая задача. Задача 2 (С.Берлов). Периметр треугольника ABC равен 1. Точка I – центр вписанной окружности, точка M – середина стороны AC. Оказалось, что – AIM $= 90 \infty$ . Найдите длину стороны AB. Ответ. 1/4. Первое решение. Одно из решений задачи 2 нетрудно получить из приведенного выше решения задачи 1. Действительно, так как I – середина $CI_{c}$ , радиус $r_{c}$ вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной. Отсюда и из формул площади треугольника $S = pr = ( p - c ) r_{c}$ сразу получаем ответ: c = 1/4. Но у задачи 2 есть еще несколько решений. Приведем два из них. Второе решение. Пусть N – середина BC (рис.3). Так как MN P AB и – AIM $= 90 \infty$ , то MI – биссектриса угла AMN. Поэтому прямая MN касается вписанной окружности треугольника. Значит, трапеция AMNB описана вокруг этой окружности, т.е. AB + MN = AM + BN,

Рис. 3

откуда, поскольку MN = AB/2, получаем AB = ( AC + BC ) 3.

Упражнение 2. Докажите, что из равенства AB AC BC 3 следует, что AIM 90 o.

Третье решение. Пусть T – точка касания стороны AC с соответствующей вневписанной окружностью (рис.4). Извест-

Рис. 4

но, что BT P IM (это можно доказать, рассмотрев гомотетию, переводящую вписанную окружность во вневписанную). Следовательно, в треугольнике ABT прямая AI является биссектрисой и высотой, т.е. AB = AT = p – c, откуда легко следует AB = 1/4.

Упражнение 3. Докажите непосредственно, что средняя линия, параллельная AB, касается вписанной окружности тогда и только тогда, когда $r_{c} 2 r$ . Указание. Примените гомотетию с центром в точке C.

Так почему же формулировка задачи была изменена прямо перед олимпиадой? Дело в том, что в 2010 году на Московской математической олимпиаде предлагалась следующая задача. Задача 3 (А.Заславский). В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки M, N – середины сторон AC, BC. Известно, что – AIM $= 90 \infty$ . Докажите, что – BIN $= 90 \infty$ . Легко видеть, что решение этой задачи практически совпадает со вторым из приведенных решений задачи 2.

ЗАДАЧНИК

Но и это еще не все! В 2014 году на Олимпиаде имени И.Ф.Шарыгина предлагалась такая задача. Задача 4 (А.Полянский).} Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности. Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + + BC = 3AB. Решение. Докажем, что если точки M, I, N лежат на одной прямой, то AC + BC = = 3AB. Первый способ. Обозначим через $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ середины дуг BC, CA и AB, не содержащих других вершин треугольника ABC (рис.5,а). Так как $A_{1} N$ и $B_{1} M$ – диаметры, то $A_{1} B_{1}$ и MN равны и параллельны. Как известно, $A_{1} B_{1}$ ^ $CC_{1}$ и $CC_{2} = C_{2} I$ . Из симметрии относительно серединного перпендикуляра к $CC_{1}$ имеем $CC_{2} = C_{1} I$ ,

Рис. 5

«КВАНТА»

следовательно, $CI = 2 IC_{1}$ . Но из упражнения 1 и задачи 2 мы уже знаем, что последнее равенство равносильно требуемому. Второй способ. Пусть $I_{c}$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB (рис.5,б). Как известно, M и N являются центрами окружностей $A CI_{c}$ и $B CI_{c}$ (вариант теоремы о трезубце для середин дуг BAC и ABC). Следовательно, MN – серединный перпендикуляр к отрезку $CI_{c}$ , т.е. I – середина $CI_{c}$ . Мы снова получили условие, равносильное требуемому.

Упражнение 4. Проведите рассуждения в обратную сторону, доказав, что если AC + + BC = 3AB, то точки M, I, N лежат на одной прямой.

Подведем итог. Мы убедились, что следующие свойства треугольника ABC равносильны: i AB = ( AC + BC ) 3; i – AIM $= 90 \infty$ , где M – середина AC; i – BIN $= 90 \infty$ , где N – середина BC; i средняя линия, параллельная AB, касается вписанной окружности; i I – середина $CI_{c} ; i CI =$ 2IW, где W – середина дуги AB; i середины дуг ABC, BAC и точка I лежат на одной прямой. После этого уже не кажется удивительным многократное появление на олимпиадах задач про такие треугольники. Возможно, читателям удастся обнаружить у них новые свойства или найти новый, не менее интересный класс треугольников. P.S. Когда статья была уже написана, С.Берлов сообщил, что на одной из Санкт- Петербургских олимпиад предлагалась следующая задача. Задача 5 (С.Иванов). В треугольнике ABC I – центр вписанной окружности, M, N – середины сторон AC, BC. Известно, что – AIM + – BIN $= 180 ^\circ$ . Докажите, что AC + BC = 3AB. Мы оставляем задачу 5 читателю для самостоятельного решения и надеемся, что наш рассказ поможет ее решить.