Olympic Toán học LXXXII Moscow

47

Thế Vận Hội

khoảng cách dọc theo bề mặt không quá 50 km tính từ mỗi điểm trên bề mặt và quay về căn cứ (về điểm xuất phát). Xe thám hiểm mặt trăng có thể khám phá toàn bộ hành tinh này trong khoảng cách không quá 600 km không? M. Evdokimov

2 xy yz zx. Chứng minh rằng x, y và z là bình phương của các số tự nhiên. Yu. Markelov

5. Xem bài toán M2560 “Bài toán Kvant”.

6. Có thể xếp một mặt phẳng bằng các parabol, trong đó không có parabol nào bằng nhau không? (Yêu cầu mỗi điểm trên mặt phẳng thuộc về đúng một parabol và không một parabol nào bị biến đổi thành bất kỳ parabol nào khác khi chuyển động.) A. Lopatnikov

7. Bên trong tam giác ABC, lấy một điểm J tùy ý nằm trên phân giác của góc A. Các tia BJ và CJ lần lượt cắt các cạnh AC và AB tại các điểm K và L. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKL tại điểm A cắt đường thẳng BC tại điểm P. Chứng minh PA = PJ. P. Kozhevnikov, A. Kuznetsov

8. Với các số tự nhiên x, y và z biết rằng gcd x, y, z 1 và $x^{2} y^{2} z^{2}$

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S. Dorichenko, L. Mednikov

Olympic Toán học LXXXII Moscow

lớp 6

$1 [4]^{1}, 2$ [5], 3 [6], 4 [6]. Xem bài toán 1, 2, 3, 4 phần «Kvant» cho học sinh nhỏ" ở «Kvant» số 3.

5 [8]. Xung quanh hồ tròn, 2019 cây mọc đều đặn: 1009 cây thông và 1010 cây linh sam. Chứng minh rằng chắc chắn sẽ có một cái cây bên cạnh có một cây thông mọc lên và ở phía bên kia của cây đó, cũng qua cây đó, một cây thông cũng mọc lên. E. Bakaev

4 [6]. Có ba đống, mỗi đống 40 viên đá. Petya và Vasya thay phiên nhau đi bộ, Petya bắt đầu. Trong một lượt, bạn cần kết hợp hai cọc, sau đó chia những viên đá này thành bốn cọc. Ai không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào (Petya hoặc Vasya) có thể giành chiến thắng, bất kể đối thủ chơi như thế nào? A. Shapovalov

5 [9]. Xem bài toán 4 phần «Kvant» cho học sinh nhỏ" ở «Kvant» số 4.

6 [8]. Mỗi mặt của khối lập phương 6 u 6 u 6 được chia thành các ô 1 u 1. Khối lập phương được bao phủ bởi các ô vuông 2 u 2 sao cho mỗi ô vuông bao phủ đúng bốn ô, không có ô vuông nào trùng nhau và mỗi ô được phủ bằng số ô vuông. Giá trị lớn nhất mà số giống hệt nhau này có thể nhận là bao nhiêu? (Hình vuông có thể uốn cong theo một cạnh.) A. Shapovalov

6 [9]. Có 100 đồng xu xếp thành một hàng, một số là ngửa và một số là ngửa. Trong một thao tác, bạn được phép chọn bảy đồng xu nằm cách đều nhau (tức là bảy đồng xu nằm liên tiếp hoặc bảy đồng xu nằm nối tiếp nhau, v.v.) và lật tất cả bảy đồng xu. Chứng minh rằng bằng các phép toán như vậy có thể đưa tất cả các đồng tiền ngửa lên. S. Tokarev, A. Shapovalov

lớp 7

lớp 8

1 [4], 2 [5], 3 [6]. Xem bài toán 1, 3, 2 phần «Kvant» cho học sinh nhỏ" ở «Kvant» số 4.

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải bài toán được ghi trong ngoặc vuông. Điểm chỉ được cho ở lớp 6 và lớp 7.

1. Tất cả các quán rượu trong vương quốc đều thuộc về ba công ty. Để chống lại sự độc quyền, Sa hoàng Gorokh đã ban hành sắc lệnh sau: hàng ngày, nếu một công ty nào đó có hơn một nửa số quán rượu và số lượng quán rượu của nó chia cho 5 thì công ty này có phần còn lại.

50

KV A NT 2019/№5

Pít-tông có di chuyển trong quá trình làm đầy không nếu diện tích của nó là $S 1 дм^{2}$? Trong thời gian nào W thể tích bọt trong xi lanh tăng lên $V 7 дм^{2}$? M. Zamyatnin

Bài toán 3. Pít-tông Các bộ phận hình trụ của bình được cố định giữa hai thành bình, như trên Hình 2, có chiều dài l và diện tích mặt cắt ngang

Hình 2

S và 2S. Bình chứa hai pít-tông có độ dày l 4, mỗi pít-tông được nối với thành bình bằng các lò xo có độ cứng k giống nhau. Chiều dài của mỗi lò xo ở trạng thái không biến dạng là l. Một chất lỏng nhẹ có thể được bơm vào khe hở giữa các piston thông qua một ống nhỏ, áp suất của ống này được đo bằng đồng hồ đo áp suất. Không có ma sát giữa piston và thành bình. Lực áp suất khí trong hệ thống có thể được bỏ qua. Các bề mặt tiếp xúc của piston gồ ghề nên chất lỏng dễ dàng thấm vào giữa chúng. Đồng hồ đo áp suất sẽ hiển thị áp suất nào khi các piston tách ra khỏi nhau? Phải bơm thể tích chất lỏng nào qua ống vào bình để đồng hồ đo áp suất hiển thị áp suất: a) $p p_{0} 10$; b) $p p_{0} 3$? Đây $p_{0} kl S$. A. Apollonsky

Bài toán 4. Chu trình đàn hồi Một lực kéo F hướng dọc theo trục của nó tác dụng lên một lò xo. Biểu đồ (Hình 3) biểu thị quá trình tuần hoàn 1–2–3–4–1, cho thấy độ lớn của lực này thay đổi liên tục như thế nào tùy thuộc vào tọa độ x của đầu lò xo mà nó tác dụng vào. Được biết, độ giãn dài tuyệt đối ’ l của lò xo trong một chu kỳ đạt giá trị cực đại ’ $l_{max} 12$ cm, và công của lực F trong mỗi chu kỳ

Hình 3

hóa ra dương và bằng A = = 0,5 J. Xác định độ dãn tuyệt đối nhỏ nhất ’ $l_{min}$ của lò xo trong một chu kỳ. Tìm độ cứng k của lò xo và xây dựng đồ thị định tính về sự phụ thuộc của tọa độ $x_{ц}$ của tâm lò xo vào tọa độ x của đầu chịu lực F tác dụng. Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạng $l_{0} 20$ xem M. Zamyatnin

lớp 8

Bài toán 1. Nhà thí nghiệm UnCl Gluck quyết định nghiên cứu khả năng hòa tan của một chất mới - unobtanium chloride (UnCl). Để làm điều này, anh ta bắt đầu thêm bột UnCl với tốc độ dòng khối không đổi P vào bình đo có $V_{0} = 100$ ml nước, liên tục khuấy dung dịch. Hình 4 cho thấy biểu đồ về mật độ của dung dịch UnCl so với nồng độ (khối lượng chất hòa tan trong một lít nước), do các đồng nghiệp người Anh của Gluck thu được. Ở $концентрации_{0}^{n} 750$ g l, unobtanium clorua ngừng hòa tan trong nước. Mật độ chất mới kết tinh U 2,5 g $см^{3}$, mật độ nước $U_{0}$

Hình 4

1,0g $см^{3}$.

51

Thế Vận Hội

1. Xác định khối lượng bột UnCl đã đổ khi thể tích của lượng chứa trong bình đo bằng: a) 110 ml; b) 150ml. 2) Xác định tốc độ dòng khối lượng P (biểu thị bằng g/s) nếu khi bắt đầu thí nghiệm thể tích của lượng chứa trong bình đo tăng với tốc độ 0,10 ml/s. A.Thỏ rừng

Bài toán 2. Bước thứ hai Hình 5 thể hiện sơ đồ một cầu thang treo rất dài. Khối lượng của mỗi

Hình 5

hai bước đầu tiên bằng m, và ở các cặp bước tiếp theo, khối lượng của các bước giảm đi một nửa so với các bước trước (m 2, m 4, m 8, …). Xác định lực căng của các dây cáp $T_{1}, T_{2}$ và $T_{3}$ tác dụng lên giai đoạn thứ hai, giả sử tất cả các giai đoạn đều đồng nhất và các dây cáp đều nhẹ. Trong Hình 5, mỗi giai đoạn được chia thành bốn phần bằng nhau. M. Zamyatnin

Bài toán 3. Nước đá Trên bàn có một bình hình trụ cao đựng nước, trong đó một miếng băng chìm hoàn toàn trong nước được giữ cố định bằng một sợi dây gắn ở đáy và một chiếc bè nhỏ có tích hợp nhiệt kế nổi trên mặt nước (Hình 6, a). Hệ đang ở trạng thái cân bằng nhiệt. Bắt đầu thêm nước nóng vào bình ở nhiệt độ

Hình 6

ture $t_{1} 99 q C$ với tốc độ dòng khối P 2,0 g s. Xét quá trình truyền nhiệt diễn ra nhanh, hãy xây dựng biểu đồ định tính về tốc độ tăng của ranh giới trên của cột nhiệt kế so với bảng dưới dạng hàm của thời gian, biểu thị các điểm đặc trưng trên đó. Nước không đổ ra khỏi bình. Tổn thất nhiệt và nhiệt dung của nhiệt kế và bè có thể bỏ qua. Diện tích đáy bình là $S 20 см^{2}$. Ban đầu trong bình có m = 400 g nước, lực căng của sợi dây là T = 0,07 N. Trong quá trình tan, băng không nổi lên. Hình 6, b thể hiện một mảnh phóng to của thang đo nhiệt kế, trên đó có gắn một thước đo. Nhiệt dung riêng của nước $c_{0} 4200$ J kg q C, nhiệt dung riêng của nước đá nóng chảy O 330 kJ kg, mật độ của nước đá U 0,9 g $см^{3}$, mật độ của nước $U_{0} 1,0$ g $см^{3}$, gia tốc rơi tự do g 10 N kg. M. Zamyatnin

Bài toán 4. Cầu Trong mạch điện chứa nguồn dòng điện một chiều $I_{0}$ (Hình 7), nguồn điện được giải phóng trên hai điện trở giống hệt nhau

Hình 7

công suất P = 0,5 W, và trên hai công suất còn lại – công suất 2P và P x. Trong trường hợp này, dòng điện $I_{A} = = 25$ mA chạy qua một ampe kế lý tưởng. Xác định giá trị công suất P x, điện trở của các điện trở và điện áp trên chúng. Tìm giá trị của nguồn $I_{0}$. Ghi chú. Nguồn dòng điện một chiều là một phần tử hoạt động của mạch điện trong đó dòng điện $I_{0}$ chạy qua khi các điện trở có điện trở khác nhau trên phạm vi rộng được nối với nó. V. Slobodyanin

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

NHIỆM VỤ

(xem «Kvant» số 4)

1. Chiếc vali đầu tiên phải chứa những sinh vật nặng 10, 4, 3 pound; trong lần thứ hai - 9,7,2 pound; ở phần thứ ba - 8, 6, 5 pound. Bình luận. Bạn có thể tìm thấy đáp số (và chứng minh rằng nó là duy nhất) như sau. Những sinh vật nặng 10, 9 và 8 pound phải được xếp vào vali riêng (nếu không một vali sẽ quá nặng). Tiếp theo, để không ai xảy ra đánh nhau, sinh vật nặng 2 pound phải được đặt vào chiếc vali thứ hai, sau đó sinh vật nặng 4 pound phải được đặt vào chiếc vali thứ nhất. Sau này, việc phân phát những sinh vật còn lại không khó. $2. 120 \infty, 45 \infty, 15 \infty$. Lưu ý tam giác MAD cũng bằng tam giác MAB - có ba cạnh: cạnh MA chúng có chung, AD = AB là hai cạnh của hình vuông, MD = MB theo điều kiện (chúng nằm đối diện với các góc tương ứng trong các tam giác bằng nhau). Điều này có nghĩa là – BAM = – MAD $= 90 \infty 2 = 45 \infty$. Tại điểm M ba góc tương ứng của các tam giác bằng nhau đều hội tụ nên – AMB $= 360 \infty 3 = 120 \infty$. Tổng các góc của một tam giác là $180\infty$ nên – ABM $= 180 \infty - 120 \infty - 45 \infty = 15 \infty. 3.$ Voi chỉ ăn dưa hấu hình tròn. Đầu tiên chúng ta hãy tìm hiểu xem mỗi con vật ăn bao nhiêu quả dưa hấu trong bữa sáng. Theo điều kiện, 5 con voi và 7 con hà mã ăn 31 quả dưa hấu, 8 con voi và 4 con hà mã ăn 28 quả dưa hấu. Chúng ta thấy rằng nếu thay ba con hà mã bằng ba con voi thì cần ít hơn ba quả dưa hấu. Điều này có nghĩa là 12 con voi sẽ ăn 31 – 7 = 24 quả dưa hấu (tức là mỗi con 2 quả) và 12 con hà mã sẽ ăn 31 + 5 = 36 quả dưa hấu (tức là mỗi con 3 quả). Ở nhóm đầu tiên, hà mã ăn 7 ◊ 3 = 21 quả dưa hấu. Chưa bao giờ có nhiều dưa hấu cùng một hình dạng đến vậy, điều đó có nghĩa là hà mã ăn dưa hấu với mọi hình dạng nhưng voi lại rất kén ăn. Ở nhóm thứ hai, những chú voi ăn 8 ◊ 2 = 16 quả dưa hấu. Không có nhiều dưa hấu hình khối, điều đó có nghĩa là voi thích dưa hấu tròn hơn. 4. Ví dụ được hiển thị trong Hình 1.

Hình 1

Bình luận. 1. Khó khăn ở đây là người ta đề xuất gấp một hình có chu vi khá nhỏ: ngay cả khi bạn chỉ gấp một đa giác từ các hình vuông, bạn sẽ có được chu vi ít nhất là 12 cm, nhưng bạn vẫn cần phải cộng tới 19 hình tam giác. Trong số các hình có diện tích cho trước thì hình tròn có chu vi nhỏ nhất. Do đó, nếu một đa giác như vậy tồn tại thì rõ ràng nó phải gần với một hình tròn. Nhân tiện, chúng ta có thể tính toán rằng chu vi của một hình tròn có kích thước bằng đa giác của chúng ta là khoảng 14,7 cm. Vì vậy không thể có được một đa giác có chu vi nhỏ hơn nữa. 2. Góc ở đỉnh của hình vuông bằng một nửa góc gấp và ở đỉnh của một tam giác đều bằng một phần ba góc gấp. Do đó, 6 hình tam giác hoặc 3 hình tam giác và 2 hình vuông hoặc 4 hình vuông có thể hội tụ ở đỉnh bên trong (điều này giúp kiểm tra xem một bức tranh vẽ tay có thực sự khả thi hay không).

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

(xem «Kvant» số 3) 25. Bạn có thể. Hãy sắp xếp các số như sau: 2, 4, 6,…, 100, 99, 97,……, 1 (đầu tiên là các số chẵn theo thứ tự tăng dần, sau đó là các số lẻ theo thứ tự giảm dần). Trong thực tế, sự sắp xếp như vậy là duy nhất (tùy theo góc quay và hướng của đường truyền). 26. Đúng vậy. Đánh dấu các điểm K và M trên các cạnh AC và BC sao cho KM P AB (Hình 2). Cho đường trung trực của KM cắt cạnh AB tại điểm P. Bây giờ chọn các điểm L và N trên cạnh AB, đối xứng với P. Khi đó các đoạn KM và LN sẽ là đáy của hình thang mong muốn. Một số điểm trong lời giải cần được chú ý thêm. Thứ nhất, để hình thang cân này không trở thành hình chữ nhật,

Hình 2