LXXXII Московская математическая олимпиада

47

ОЛИМПИАДЫ

расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км? М.Евдокимов

2 xy yz zx. Докажите, что x, y и z – квадраты натуральных чисел. Ю.Маркелов

5. См. задачу М2560 «Задачника «Кванта».

6. Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.) А.Лопатников

7. Внутри треугольника ABC на биссектрисе угла A выбрана произвольная точка J. Лучи BJ и CJ пересекают стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника AKL в точке A пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что PA = PJ. П.Кожевников, А.Кузнецов

8. Про натуральные числа x, y и z известно, что НОД x, y, z 1 и $x^{2} y^{2} z^{2}$

Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников

LXXXII Московская математическая олимпиада

6 класс

$1 [4]^{1}, 2$ [5], 3 [6], 4 [6]. См. задачи 1, 2, 3, 4 раздела «Квант» для младших школьников» в «Кванте» №3.

5 [8]. Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 елок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растет сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растет сосна. Е.Бакаев

4 [6]. Имеются три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на четыре кучки. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из играющих (Петя или Вася) может выиграть, как бы ни играл соперник? А.Шаповалов

5 [9]. См. задачу 4 раздела «Квант» для младших школьников» в «Кванте» №4.

6 [8]. Каждая грань куба 6 u 6 u 6 разбита на клетки 1 u 1. Куб оклеили квадратами 2 u 2 так, что каждый квадрат накрывает ровно четыре клетки, никакие квадраты не совпадают и каждая клетка накрыта одинаковым числом квадратов. Какое наибольшее значение может принимать это одинаковое число? (Квадрат можно перегибать через ребро.) А.Шаповалов

6 [9]. В ряд лежат 100 монет, часть – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. За одну операцию разрешается выбрать семь монет, лежащих через равные промежутки (т.е. семь монет, лежащих подряд, или семь монет, лежащих через одну, и т.д.), и все семь монет перевернуть. Докажите, что при помощи таких операций можно все монеты положить вверх орлом. С.Токарев, А.Шаповалов

7 класс

8 класс

1 [4], 2 [5], 3 [6]. См. задачи 1, 3, 2 раздела «Квант» для младших школьников» в «Кванте» №4.

1 В квадратных скобках указано число баллов, присуждавшееся за полное решение задачи. Баллы ставились только в 6 и 7 классах.

1. Все таверны в царстве принадлежат трем фирмам. В целях борьбы с монополиями царь Горох издал следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более половины всех таверн и число ее таверн делится на 5, то у этой фирмы оста-

50

КВ А НT 2019/№5

стью двигался поршень в процессе заполнения, если его площадь $S 1 дм^{2}$? За какое время W объем пены в цилиндре увеличился до $V 7 дм^{2}$? М.Замятнин

Задача 3. Поршни Цилиндрические части закрепленного между двумя стенками сосуда, изображенного на рисунке 2, имеют длину l и площади сечения

Рис. 2

S и 2S. В сосуде находятся два поршня толщиной l 4 каждый, соединенные со стенками одинаковыми пружинами жесткостью k. Длина каждой пружины в недеформированном состоянии l. В зазор между поршнями через маленькую трубочку может закачиваться легкая жидкость, давление которой измеряется с помощью манометра. Трения между поршнями и стенками сосуда нет. Силы давления газа в системе можно не учитывать. Соприкасающиеся поверхности поршней шероховатые, поэтому жидкость свободно проникает между ними. Какое давление будет показывать манометр в момент, когда поршни отделятся друг от друга? Какой объем жидкости необходимо закачать через трубочку в сосуд, чтобы манометр показал давление: а) $p p_{0} 10$; б) $p p_{0} 3$? Здесь $p_{0} kl S$. А.Аполонский

Задача 4. Упругий цикл К пружине прикладывается направленная вдоль ее оси растягивающая сила F. На графике (рис.3) изображен циклический процесс 1–2–3–4–1, показывающий, как последовательно изменялась величина этой силы в зависимости от координаты x конца пружины, к которому она приложена. Известно, что абсолютное удлинение ’ l пружины за цикл достигало максимального значения ’ $l_{max} 12$ см, а работа силы F за цикл

Рис. 3

оказалась положительной и равной A = = 0,5 Дж. Определите минимальное абсолютное удлинение ’ $l_{min}$ пружины за цикл. Найдите жесткость k пружины и постройте качественный график зависимости координаты $x_{ц}$ центра пружины от координаты x конца, к которому приложена сила F. Длина пружины в недеформированном состоянии $l_{0} 20$ см. М.Замятнин

8 класс

Задача 1. UnCl Экспериментатор Глюк решил исследовать растворимость нового вещества – хлорида унобтания (UnCl). Для этого он стал добавлять с постоянным массовым расходом P порошок UnCl в мерный сосуд с $V_{0} = 100$ мл воды, постоянно помешивая раствор. На рисунке 4 изображен график зависимости плотности раствора UnCl от концентрации (массы растворенного вещества в литре воды), полученный британскими коллегами Глюка. При $концентрации_{0}^{n} 750$ г л хлорид унобтания перестает растворяться в воде. Плотность кристаллического нового вещества U 2,5 г $см^{3}$, плот- ность воды $U_{0}$

Рис. 4

1,0 г $см^{3}$.

51

ОЛИМПИАДЫ

1. Определите массу насыпанного порошка UnCl, когда объем содержимого мерного сосуда стал равен: а) 110 мл; б) 150 мл. 2) Определите массовый расход P (выразив его в г/с), если в начале эксперимента объем содержимого мерного сосуда увеличивался со скоростью 0,10 мл/с. А.Заяц

Задача 2. Вторая ступень На рисунке 5 приведена схема очень длинной подвесной лестницы. Массы каждой из

Рис. 5

двух первых ступеней равны m, а в последующих парах массы ступеней уменьшаются в два раза по отношению к предыдущим ( m 2, m 4, m 8, … ). Определите силы натяжения тросов $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$, действующих на вторую ступень, считая все ступени однородными, а тросы легкими. На рисунке 5 каждая ступень разделена на четыре одинаковые части. М.Замятнин

Задача 3. Лед На столе стоит высокий цилиндрический сосуд с водой, в котором с помощью закрепленной на дне нити удерживается полностью погруженная в воду льдинка, а на поверхности воды плавает небольшой плотик с встроенным термометром (рис.6,а). Система находится в тепловом равновесии. В сосуд начинают добавлять горячую воду при темпера-

Рис. 6

туре $t_{1} 99 q C$ с массовым расходом P 2,0 г с. Считая процессы теплообмена быстрыми, постройте качественный график зависимости скорости подъема верхней границы столбика термометра относительно стола от времени, указав на нем характерные точки. Вода из сосуда не выливается. Потерями тепла, теплоемкостью термометра и плотика можно пренебречь. Площадь дна сосуда $S 20 см^{2}$. Вначале в сосуде было m = = 400 г воды, а сила натяжения нити равнялась T = 0,07 Н. Во время таяния лед не всплывал. На рисунке 6,б приведен укрупненный фрагмент шкалы термометра, к которой приложена линейка. Удельная теплоемкость воды $c_{0} 4200$ Дж к㠘 q С, удельная теплота плавления льда O 330 кДж кг, плотность льда U 0,9 г $см^{3}$, плотность воды $U_{0} 1,0$ г $см^{3}$, ускорение свободного падения g 10 Н кг. М.Замятнин

Задача 4. Мост В электрической цепи, содержащей источник постоянного тока $I_{0}$ (рис.7) на двух одинаковых резисторах выделяется мощ-

Рис. 7

ность P = 0,5 Вт, а на двух других – мощности 2P и P x. При этом через идеальный амперметр протекает ток силой $I_{A} = = 25$ мА. Определите значение мощности P x, сопротивления всех резисторов и напряжения на них. Найдите значение $I_{0}$ источника. Примечание. Источником постоянного тока называют активный элемент электрической цепи, через который протекает ток силой $I_{0}$ при подключении к нему резисторов с различными в широком диапазоне сопротивлениями. В.Слободянин

Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №4)

1. В первый чемодан надо посадить тварей весом 10, 4, 3 фунта; во второй – 9, 7, 2 фунта; в третий – 8, 6, 5 фунтов. Комментарий. Найти ответ (и доказать, что он единственен) можно следующим образом. Тварей с весами 10, 9 и 8 фунтов необходимо поместить в разные чемоданы (иначе один чемодан будет слишком тяжелым). Далее, чтобы никто не подрался, тварь весом 2 фунта необходимо поместить во второй из этих чемоданов, а тогда тварь весом 4 фунта – в первый. После этого нетрудно распределить и оставшихся тварей. $2. 120 \infty, 45 \infty, 15 \infty$. Заметим, что треугольник MAD тоже равен треугольнику MAB – по трем сторонам: сторона MA у них общая, AD = AB как стороны квадрата, MD = MB по условию (лежат напротив соответственных углов в равных треугольниках). Значит, – BAM = – MAD $= 90 \infty 2 = 45 \infty$. В точке M сходятся три соответственных угла равных треугольников, поэтому – AMB $= 360 \infty 3 = 120 \infty$. Сумма углов треугольника равна $180\infty$, поэтому, – ABM $= 180 \infty - 120 \infty - 45 \infty = 15 \infty. 3.$ Слоны едят только круглые арбузы. Выясним сначала, сколько арбузов ест на завтрак каждое из животных. По условию 5 слонов и 7 бегемотов съедают 31 арбуз, а 8 слонов и 4 бегемота – 28 арбузов. Мы видим, что если заменить трех бегемотов на трех слонов, то требуется на три арбуза меньше. Значит, 12 слонов съели бы 31 – 7 = 24 арбуза (т.е. каждый по 2), а 12 бегемотов съели бы 31 + 5 = 36 арбузов (т.е. каждый по 3). В первой группе бегемоты съели 7 ◊ 3 = 21 арбуз. Столько арбузов одной формы не было, значит, бегемоты едят арбузы любой формы, а привередливы слоны. Во второй группе слоны съели 8 ◊ 2 = 16 арбузов. Столько кубических арбузов не было, значит, слоны предпочитают именно круглые арбузы. 4. Примеры приведены на рисунке 1.

Рис. 1

Комментарии. 1. Сложность тут в том, что предлагается сложить фигуру довольно маленького периметра: даже если складывать многоугольник только из квадратов, то получится периметр не меньше 12 см, а надо еще добавить целых 19 треугольников. Из всех фигур, имеющих данную площадь, наименьший периметр имеет круг. Поэтому если такой многоугольник существует, то, видимо, он должен быть близок к кругу. Кстати, можно подсчитать, что периметр круга, равновеликого нашему многоугольнику, составляет примерно 14,7 см. Так что получить многоугольник еще меньшего периметра невозможно. 2. Угол при вершине квадрата – половина развернутого, а при вершине правильного треугольника – треть развернутого. Поэтому во внутренней вершине могут сходиться либо 6 треугольников, либо 3 треугольника и 2 квадрата, либо 4 квадрата (это помогает проверить, возможна ли в действительности нарисованная от руки картинка).

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №3) 25. Можно. Расставим числа так: 2, 4, 6,…, 100, 99, 97,……, 1 (сначала все четные числа в порядке возрастания, а потом нечетные в порядке убывания). На самом деле такая расстановка единственна (с точностью до поворота и направления обхода). 26. Верно. Отметим точки K и M на сторонах AC и BC так, что KM P AB (рис.2). Пусть серединный перпендикуляр к KM пересекает сторону AB в точке P. Теперь выберем на стороне AB точки L и N, симметричные относительно P. Тогда отрезки KM и LN будут основаниями искомой трапеции. Пара моментов в решении требуют дополнительного внимания. Во-первых, чтобы эта равнобокая трапеция не оказалась прямоугольником,

Рис. 2