Итоги конкурса имени А. П. Савина 2018/19 учебного года

40

КВА НT 2019/№5

Если же отрезки разного цвета, то их разделяет линия сетки – допустим, горизонтальная (см. пример на рисунке 6,д). Тогда отрезок с номером t переместился в верхнюю строку прямоугольника m u n, а отрезок t + 1 – в нижнюю, но в следующий столбец. Стороны прямоугольника m u n нечетные, поэтому верхняя строка раскрашена так же, как нижняя. А значит, отрезки с номерами t и t + 1 будут разного цвета. Итак, соседние отрезки одного цвета переходят на клетки одного цвета, а соседние отрезки разного цвета – на клетки разных цветов. Значит, все красные отрезки лежат в клетках одного цвета, а синие – в клетках другого. У прямоугольника m u n стороны нечетные, поэтому количество черных и белых клеток в шахматной раскраске отличается на 1. Тогда и количество синих и красных отрезков отличается на 1, что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

1. Как вы думаете, почему вершины квадратов сетки называют узлами? 2. Сколько чисел от 1 до 300 делятся на 5 или на 6? 3. Сколько из чисел a, 2a, 3a, …, ba делятся на b? 4 (к задаче 4). Сколько раз шар ударится о стенку AB до попадания в лузу?

5 (к задаче 4). Попадет ли шар в лузу, если выпустить его из вершины под углом 30q к стороне квадрата? 6. Дан прямоугольный бильярд со сторонами 1 и 2. Из его угла под углом 45q к стороне выпущен шар. Попадет ли он когда-нибудь в лузу? 7. В прямоугольном бильярде размером p u 2 q, где p и q – нечетные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45q к стороне. Докажите, что шарик обязательно попадет в одну из средних луз. 8. Параллелепипед a u b u c разбит на единичные кубики. Сколько точек на диагонали параллелепипеда являются вершинами кубиков? 9 (Д.Фомин, пример к утверждению задачи М1232). Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q. Докажите, что хозяйка может заранее разрезать пирог на p q НОД p, q кусков так, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну. 10 (А.Толпыго, устный тур Турнира городов, 2016 г.). Прямоугольник p u q, где p, q – натуральные взаимно простые числа, p < q, разбит на единичные квадратики. Из левого нижнего угла прямоугольника в его правый верхний угол проведена диагональ. Она отсекает треугольники от некоторых квадратиков. Найдите суммарный периметр всех этих треугольников.

ИТОГИ КОНКУРСА ИМЕНИ А.П.САВИНА 2018/19 УЧЕБНОГО ГОДА

ПОБЕДИТЕЛИ Лучших результатов добились школьники: Бирюлин Алексей – Москва, Курчатовская школа, 6 кл., Дренчева Мария – Болгария, София, Софийская математическая гимназия, 7 кл. и команда математической группы Центра «Успех» Гатчинского муниципального района Ленинградской области (руководитель Павлов Сергей Павлович): Маточинская Варвара – Гатчина, лицей 3, 7 кл., Тюков Даниил – Пригородная школа, 8 кл., Еронин Валерий – Сиверская гимназия, 8 кл., Дзюба Сергей – Гатчина, лицей 3, 8 кл., Кашенко Юлия – Гатчина, лицей 3, 9 кл., Кудяков Макар – Гатчина, лицей 3, 8 кл., Еремеев Семён – Гатчина, лицей 3, 9 кл.

ПРИЗЕРЫ Жюри конкурса также отмечает хорошие работы следующих школьников: Коноплев Максим – Москва, школа 1329, 8 кл., Крвавич Адриан – Великобритания, Лондон, Уимблдонский колледж, 8 кл., Линник Елена – Украина, Харьков, ХУВК 45 «Академическая гимназия», 10 кл., Саначев Иван – Москва, школа 1583, 3 кл.

Поздравляем! Победителям и призерам будут высланы дипломы журнала «Квант» и призы от издательства МЦНМО. Кроме того, призы также получат наиболее активные участники конкурса.