Đại học Kỹ thuật Quốc gia Mátxcơva mang tên N. E. Bauman

Kvant 2019, số 7 tr. 48, 50, 51, 55 Thẻ 6PN7

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

KV AN T 2019/№7

người chiến thắng Olympic

lớp 9

Dmitry Sorokin – Moscow, “Trường thứ năm mươi bảy”, Daniil Zhitov – Moscow, Trường “Letovo”, Tikhon Evteev – Moscow, trường 179, Anton Rudenko – Moscow, trường 1329, Kirill Arzhanykh – Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Matvey Knyazev – Berezniki, Lãnh thổ Perm, trường 3, Timur Pryadilin – Moscow, Trường “Letovo”;

lớp 10

Tatyana Emelyanova - Moscow, Trường Vật lý và Toán học 2007, Ivan Kharichkin - St. Petersburg, Vật lý và Toán học Tổng thống Lyceum 239, Sergey Savelyev - Moscow, Trường 1568 được đặt theo tên của Pablo Neruda, Alexander Golovastenko - St. Petersburg, Học thuật Lyceum “Trường Vật lý và Kỹ thuật”, Alexey Kadykov - Cộng hòa Mordovia, Lyceum Cộng hòa dành cho Trẻ em Năng khiếu,

Nikita Moskalev – Vùng Kirov, Lyceum Vật lý và Toán học Kirov, Fedor Oksanichenko – St. Petersburg, trường mang tên A.M. Gorchkov, Antony Belyshev – St. Petersburg, Học viện Lyceum “Trường Vật lý và Kỹ thuật”, Konstantin Vedernikov – Moscow, Trường “Letovo”;

lớp 11

Grigory Bobkov - Moscow, trường 1589, Alexey Shishkin - Moscow, trường 1589, Vladimir Malinovsky - Moscow, trường 1589, Dmitry Tsarev - Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Nikita Chuikin - Vùng Cherepovets Vologda, trường 17, Yury Bruyakin - Moscow, Trường “Sparrow Hills”, Vladislav Polykov - St. Petersburg, Tổng thống Vật lý và Toán học Lyceum 239, Terenty Kuznetsov - Novosibirsk, SUSC NSU.

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

VẬT LIỆU QUỐC GIA THI

Đại học Kỹ thuật Quốc gia Mátxcơva mang tên N.E. Bauman

F IZIKA

Thế vận hội 2019

Vòng đầu tiên

Tùy chọn 1

Một người đi xe đạp rời điểm A, nằm trên bờ sông và di chuyển với tốc độ v 5 m s dọc theo sông, đến điểm B, nằm ở hạ lưu, sau 80 giây (Hình 1). Cùng lúc với người đi xe đạp, một chiếc thuyền khởi hành từ điểm C từ bờ đối diện và phải đến điểm B cùng lúc với người đi xe đạp. Ở tốc độ tối thiểu (tính bằng km/h) thuyền phải di chuyển so với mặt nước nếu tốc độ dòng chảy của sông là $v_{0} 5$ km h và chiều rộng của sông là b = 300 m?

KV AN T 2019/№7

Một con kiến ngồi ở điểm thấp nhất của mặt trong của một vòng thành mỏng có bán kính R = 0,5 m, lăn dọc theo mặt phẳng ngang không bị trượt. Xác định bán kính cong quỹ đạo của con kiến tại thời điểm con kiến lên tới điểm trên cùng của vòng. 3. Hai thanh chì đồng nhất có chiều dài L = 1,3 m, mỗi thanh có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang chung đi qua các cạnh của các thanh này. Các thanh bị lệch theo các hướng khác nhau một góc 90q so với phương thẳng đứng và được thả ra không có vận tốc ban đầu. Xác định xem các thanh sẽ nóng lên bao nhiêu độ sau va chạm, giả sử nó hoàn toàn không đàn hồi. Giả sử rằng toàn bộ nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình va chạm của các thanh sẽ làm nóng chúng. Bỏ qua sức cản của không khí. Nhiệt dung riêng của chì với 130 J kg độ. Lấy gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}. 4.$ Trên một mặt phẳng nghiêng nghiêng một góc 45° so với phương ngang, vòng và khối đồng thời bắt đầu lăn xuống không trượt. Tìm hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng mà tại đó hai vật sẽ chuyển động không vượt nhau. 5. Có một mol khí heli nằm trong một hình trụ thẳng đứng dưới pít-tông. Có một trọng lượng trên piston. Trong trường hợp này, thể tích khí là $V_{1} = 10$ l và áp suất là $p_{1} 4$ $10^{5}$ Pa. Tại một thời điểm nào đó, tải đã được dỡ bỏ khỏi piston. Kết quả là, khí dưới piston thay đổi thể tích đoạn nhiệt và áp suất khí giảm một nửa. Xác định nhiệt độ của khí sau khi thiết lập cân bằng nhiệt động. Bỏ qua lực ma sát khi piston chuyển động trong xi lanh. 6. Một sợi cáp mềm dài 20 m được treo vào một chiếc đinh đóng vào tường sao cho hai đầu của nó ngang bằng nhau. Lúc đầu dây cáp đứng yên. Tại một thời điểm nào đó, do một lực đẩy nhỏ, dây cáp bắt đầu trượt dọc theo chiếc đinh. Xác định vận tốc của sợi cáp tại thời điểm khi tỉ số chiều dài của sợi dây ở hai phía đối diện của chiếc đinh là 3:1. Lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m $с^{2}. 7.$ Một đống bê tông đồng nhất có khối lượng m, chiều dài L nằm ở đáy một bể chứa. Đã buộc

cáp vào một đầu của cọc, nó được nâng từ từ lên vị trí thẳng đứng, trong đó cọc tựa ở phía dưới, nhô lên trên mặt nước một phần ba chiều dài của cọc. Tìm công cần thiết để nâng cọc lên theo cách này. Mật độ của bê tông là n = 4 lần mật độ của nước. Bỏ qua lực cản và khối lượng của dây. 8. Một dãy tụ điện, gồm bốn tấm kim loại giống hệt nhau đặt trong không khí cách nhau một khoảng d bằng nhau, được nối với nguồn điện một chiều có suất điện động bằng E, như trên Hình 5. Diện tích

Hình 5

mỗi tấm bằng S. Tấm 1 được nối với tấm 3 bằng một dây dẫn. Xác định lượng điện tích sẽ truyền qua nguồn dòng điện nếu khoảng trống giữa tấm 2 và tấm 3 chứa đầy chất điện môi có hằng số điện môi H 4. Khoảng cách d giữa các tấm nhỏ so với kích thước của chúng. 9. Một quả cầu kim loại có bán kính $R_{1} = = 4$ cm được bao quanh bởi một vỏ dẫn điện đồng tâm có bán kính $R_{2} = 10$ cm. Khoảng không gian giữa quả bóng và vỏ được lấp đầy bằng chất điện môi đồng nhất. Xác định điện áp cực đại có thể đặt vào một tụ điện hình cầu như vậy nếu sự đánh thủng chất điện môi xảy ra ở cường độ điện trường E 100 kV cm.

Vòng thứ hai

Tùy chọn 1

Một thanh đồng chất có khối lượng m, chiều dài L nằm trên một mặt phẳng nằm ngang. Khi va chạm, thanh được truyền một vận tốc v hướng dọc theo trục dọc của nó. Xác định khoảng cách lớn nhất mà thanh sẽ chuyển động nếu biết rằng quay thanh trên cùng một mặt phẳng quanh một trong các mặt phẳng của nó.

EX AM E QUỐC GIA

Một quả tạ gồm hai quả bóng nhỏ có khối lượng $m_{1} 2 m$ và $m_{2} m$ , được nối với nhau bằng một thanh cứng không trọng lượng, được đặt thẳng đứng trên một góc D. 2. Một quả tạ được đặt thẳng đứng trên một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề (Hình 6). Chuông hư

Hình 6

được thả ra không có vận tốc ban đầu và nó bắt đầu rơi. Xác định giá trị hệ số ma sát giữa quả tạ và mặt phẳng nếu quả cầu dưới bắt đầu trượt dọc mặt phẳng khi góc nghiêng của thanh với mặt phẳng đạt D 75 q ( sin 75 q 0,97 ). 3. Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử từ trạng thái ban đầu 1 giãn nở trong quá trình 1–2 (Hình 7) với nhiệt dung không đổi

Hình 7

sau đó, thực hiện công việc $A_{12} = 200$ J trong đó. Sau đó, một lượng nhiệt $Q_{23} = 200$ J được cung cấp cho khí trong quá trình 2–3, trong đó áp suất của khí tỷ lệ thuận với thể tích của nó. Nhiệt độ ở trạng thái 1 và 3 là như nhau. Tìm lượng nhiệt cung cấp cho khí trong quá trình 1–2. 4. Trong mạch điện như hình 8, khi công tắc K mở thì tụ điện

MÃ TẾ RỊA LÝ

Hình 8

xương C = 10 μF tích vào điện áp $U_{0} = 2 B.$ Độ tự cảm cuộn dây L = = 0,1 H, emf pin E = 5 V, diode D là lý tưởng. Xác định cường độ dòng điện cực đại trong mạch sau khi đóng công tắc. Tìm điện áp sẽ được thiết lập trên tụ điện sau khi đóng công tắc. 5. Trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn có một hình lăng trụ tam giác có khối lượng 2m với góc D bằng 30 q, được nối với nhau bằng một lò xo không trọng lượng không biến dạng có độ cứng k với một khối khối lượng m (Hình 9). Quả bóng có khối lượng m

Hình 9

rơi thẳng đứng xuống và chạm vào lăng trụ với vận tốc v. Xác định độ biến dạng cực đại của lò xo trong quá trình chuyển động tiếp theo của vật. Bỏ qua lực ma sát. 6. Số cặp electron-positron tối đa có thể được hình thành khi hai lượng tử gamma giống hệt nhau tương tác với vật chất, trong đó một hạt tương đối trung tính chuyển động có khối lượng nghỉ $m_{0}$ bị phân rã, nếu góc giữa các hướng tán xạ của lượng tử gamma là T 60 q? Giả sử rằng toàn bộ năng lượng của lượng tử gamma dùng để hình thành các cặp electron-positron.

Tùy chọn 2

Một sợi dây có chiều dài L đặt trên mặt bàn gồ ghề sao cho một đầu thòng qua mép bàn. Khi phần treo của sợi xích đạt đến 1/4 chiều dài tối đa của nó thì sợi xích bắt đầu trượt. Tìm vận tốc của dây chuyền

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

GIẢI PHÁP

đồ thị kết quả thông qua G ij. Biểu đồ này có thể được chia thành nhiều thành phần được kết nối; chúng ta hãy biểu thị số của họ bằng c ij. Nếu c ij! 100 thì một trong các thành phần không có đỉnh ổn định; thì bạn có thể thay đổi màu của từng đỉnh trong thành phần này bằng cách thay thế i bằng j và ngược lại và đạt được màu thay thế cần thiết. Điều này có nghĩa là c ij d 100 với mọi i và j. Lưu ý rằng mỗi thành phần liên thông chứa x đỉnh chứa ít nhất x – 1 cạnh; Điều này có nghĩa là nếu G ij có v ij đỉnh thì số cạnh e ij trong nó không nhỏ hơn v ij c ij, tức là.

e ij t v ij 100.

( * )

Mặt khác, không khó để tìm tổng V của tất cả các số vij và tổng E của tất cả các số eij. Thật vậy, có 10.000 đỉnh trong đồ thị gốc và mỗi đỉnh tham gia vào 6 đồ thị có dạng G ij; do đó V 6 10000 60000. Mặt khác, trong các cạnh $графе^{11} ^{10000} 2 55000$ ban đầu và mỗi cạnh tham gia vào đúng một đồ thị G ij; do đó E = 55000. Vì chỉ có $C_{7}^{2} 21$ cặp màu nên bất đẳng thức (*) ngụ ý $E t V^{21}$ 100, điều này không đúng với các giá trị được tìm thấy. Điều này có nghĩa là giả định của chúng tôi là không chính xác và việc sơn lại theo yêu cầu là có thể thực hiện được. 5. Giả sử điều ngược lại: cho hình chữ nhật có kích thước k ul, trong đó l < k. Gọi $a_{i}$ là độ dài cạnh hình vuông của đứa trẻ thứ i. Sau đó, mỗi cạnh của hình chữ nhật bao gồm một số đoạn có độ dài $a_{i}$ , tức là $l b_{i} a_{i}$ và $k c_{i} a_{i}$ , trong đó $b_{i}$ và $c_{i}$ là các số tự nhiên. Đồng thời, đứa trẻ nhận được $b_{i} c_{i}$ hình vuông. Lưu ý rằng $1 k l c_{i} b_{i}$ , tức là số k l là số hữu tỉ. Gọi s t là ký hiệu tối giản của nó; thì s > 1 và $c_{i}$ chia hết cho s với mọi i. Điều này có nghĩa là số bình phương của con thứ i chia hết cho s. Khi đó tổng số bình phương Q cũng chia hết cho s > 1, và hơn nữa, Q > s (vì số con lớn hơn 1). Điều này có nghĩa là Q là hợp số; mâu thuẫn. 6. Kéo dài đoạn AM một đoạn vượt quá điểm M và thu được điểm N sao cho ADNT là hình bình hành. Vì ANT CAM, với lời giải bài toán đủ chứng tỏ AKT ANT hoặc các điểm A, T, N, K nằm trên cùng một đường tròn (Hình 3). Giả sử ND cắt AB tại điểm S; thì DS P BC và BSDC là hình thang cân. Ta sẽ chứng minh hai điểm K và N nằm trên đường tròn Z ngoại tiếp tam giác AST. Ta có ATN ADN 180 o SDA 180 o ASD, nghĩa là N nằm trên đường tròn Z. Từ đường tròn ngoại tiếp hình thang BSDC, ta có SKT $SBC^{180} o$ SAT, do đó K le-

Hình 3

sống trên vòng tròn Z, đó là điều ta cần chứng minh. 7. Chúng ta ký hiệu đồng xu kỷ niệm là Y. Đặt hai đồng xu không kỷ niệm A và B sang một bên và sắp xếp 14 đồng xu còn lại, mỗi bát 7 đồng sao cho Y rơi vào đồng xu bên trái. Chúng ta gọi một đồng xu là trái hoặc phải nếu khi cân nó lần lượt rơi vào bên trái hoặc bên phải của bát. Trường hợp (=). Hãy để bát được cân bằng. Trong trường hợp này, hoặc có 3 đồng xu nặng trên mỗi bát (trong trường hợp A và B đều nặng) hoặc 4 đồng xu trong mỗi bát (trong trường hợp A và B đều nhẹ). Trong mọi trường hợp, cả hai đồng tiền đặt sang một bên đều giống nhau. Trong trường hợp này, lấy Yu và một đồng xu C khác từ bát bên trái và so sánh cặp này với cặp A và B. Trường hợp con (=,=). Hãy lấy lại sự cân bằng. Khi đó cả 4 đồng tiền A, B, C, Yu đều nặng như nhau. Hãy so sánh chúng với bốn đồng tiền còn lại bất kỳ. Nếu cân thăng bằng thì cả 8 đồng xu được cân đều có cùng trọng lượng. Vậy trong số những đồng còn lại có 6 đồng có trọng lượng như thế này; điều này là không thể. Có nghĩa. một cái bát nặng hơn và chúng ta sẽ biết A, B, C và Yu nặng hay nhẹ. Chữ hoa con (=,<). Bát đựng Yu ở lần cân thứ hai nhẹ hơn. Thế thì không thể có hai đồng xu nặng trên cái bát này. Bằng cách so sánh hai đồng tiền này với nhau, trong trường hợp không bằng nhau, chúng ta sẽ biết ngay trọng lượng của Yu, còn trong trường hợp bằng nhau, chúng ta có thể kết luận rằng cả hai đồng xu trên chiếc bát này đều nhẹ. Trường hợp con (=,>) khi bát có Y nặng hơn cũng tương tự. Trường hợp (<). Để bát bên trái nhẹ hơn trong lần cân đầu tiên. Vậy trong số những đồng xu còn lại có không quá ba đồng nặng. Bằng cách so sánh Yu với một số đồng xu C còn lại, chúng ta tìm ra trọng lượng của Yu (trong trường hợp bất đẳng thức), hoặc