Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

48

КВ АН T 2019/№7

Победители олимпиады

9 класс

Дмитрий Сорокин – Москва, «Пятьдесят седьмая школа», Даниил Житов – Москва, Школа «Летово», Тихон Евтеев – Москва, школа 179, Антон Руденко – Москва, школа 1329, Кирилл Аржаных – Москва, Лицей «Вторая школа», Матвей Князев – Березники Пермского края, школа 3, Тимур Прядилин – Москва, Школа «Летово»;

10 класс

Татьяна Емельянова – Москва, ФМШ 2007, Иван Харичкин – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239, Сергей Савельев – Москва, школа 1568 имени Пабло Неруды, Александр Головастенко – Санкт-Петербург, Академический лицей «Физико-техническая школа», Алексей Кадыков – Республика Мордовия, Республиканский лицей для одаренных детей,

Никита Москалев – Кировская область, Кировский физико-математический лицей, Федор Оксаниченко – Санкт-Петербург, школа имени А.М.Горчакова, Антоний Белышев – Санкт-Петербург, Академический лицей «Физико-техническая школа», Константин Ведерников – Москва, Школа «Летово»;

11 класс

Григорий Бобков – Москва, школа 1589, Алексей Шишкин – Москва, школа 1589, Владимир Малиновский – Москва, школа 1589, Дмитрий Царёв – Москва, Лицей «Вторая школа», Никита Чуйкин – Череповец Вологодской области, школа 17, Юрий Бруякин – Москва, Школа «Воробьевы горы», Владислав Поляков – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239, Терентий Кузнецов – Новосибирск, СУНЦ НГУ.

Публикацию подготовил В.Слободянин

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ МА ТЕ РИА ЛЫ

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

Ф ИЗИКА

Олимпиада-2019

Первый тур

Вариант 1

1. Из пункта А, находящегося на берегу реки, выезжает велосипедист и, двигаясь со скоростью v 5 м с вдоль реки, при- бывает в пункт В, находящийся ниже по течению, через 80 c (рис.1). Одновременно с велосипедистом с противоположного берега из точки С отплывает катер, который должен попасть в пункт В одновременно с велосипедистом. С какой минимальной скоростью (в км/ч) относительно воды должен плыть катер, если скорость течения реки $v_{0} 5$ км ч, а ширина реки b = 300 м?

50

КВ АН T 2019/№7

2. Муравей сидит в нижней точке внутренней поверхности тонкостенного обруча радиусом R = 0,5 м, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Определите радиус кривизны траектории муравья в тот момент, когда муравей окажется в верхней точке обруча. 3. Два однородных свинцовых стержня длиной L = 1,3 м каждый могут свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг общей горизонтальной оси, проходящей через края этих стержней. Стержни отклонили в разные стороны на 90q от вертикали и отпустили без начальной скорости. Определите, на сколько градусов нагреются стержни после столкновении, считая его абсолютно неупругим. Принять, что все тепло, выделившееся при столкновении стержней, идет на их нагревание. Сопротивление воздуха не учитывать. Удельная теплоемкость свинца с 130 Дж к㠘 град. Ускорение свободного падения принять равным g 10 м $с^{2}. 4.$ По наклонной плоскости, расположенной под углом 45q к горизонту, одновременно начинают скатываться без проскальзывания обруч и соскальзывать брусок. Найдите коэффициент трения между бруском и плоскостью, при котором оба тела будут двигаться, не обгоняя друг друга. 5. В вертикально расположенном цилиндре под поршнем находится моль гелия. На поршне лежит груз. При этом объем газа $V_{1} = 10$ л, а давление $p_{1} 4$ ˜ $10^{5}$ Па. В некоторый момент времени груз с поршня убрали. В результате газ под поршнем адиабатически изменил свой объем, а давление газа уменьшилось в два раза. Определите температуру газа после установления термодинамического равновесия. Силами трения при перемещении поршня в цилиндре пренебречь. 6. На гвозде, вбитом в стену, висит гибкий трос длиной 20 м так, что его концы находятся на одном уровне. В начальный момент трос покоится. В некоторый момент в результате небольшого толчка трос начинает скользить по гвоздю. Определите скорость троса в момент времени, когда отношение длин троса по разные стороны гвоздя будет равно 3:1. Ускорение свободного падения принять равным 10 м $с^{2}. 7.$ Бетонная однородная свая массой m и длиной L лежит на дне водоема. Привязав

трос к одному концу сваи, ее медленно поднимают в вертикальное положение, в котором свая, опираясь на дно, выступает над поверхностью воды на одну третью часть своей длины. Найдите работу, которую необходимо совершить при таком подъеме сваи. Плотность бетона в n = 4 раза больше плотности воды. Силами сопротивления и массой троса пренебречь. 8. Батарея конденсаторов, состоящая из четырех одинаковых металлических пластин, расположенных в воздухе на равных расстояниях d друг от друга, подключена к источнику постоянного тока с ЭДС, равной E, как показано на рисунке 5. Площадь

Рис. 5

каждой из пластин равна S. Пластина 1 соединена проводником с пластиной 3. Определите величину заряда, который пройдет через источник тока, если пространство между пластинами 2 и 3 заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью H 4. Расстояние d между пластинами мало по сравнению с их размерами. 9. Металлический шар радиусом $R_{1} = = 4$ см окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом $R_{2} = 10$ см. Пространство между шаром и оболочкой заполнено однородным диэлектриком. Определите величину максимального напряжения, которое можно подвести к такому сферическому конденсатору, если пробой диэлектрика происходит при напряженности электрического поля в нем E 100 кВ см.

Второй тур

Вариант 1

1. Однородный стержень массой m и длиной L лежит на горизонтальной шероховатой поверхности. Ударом стержню сообщают скорость v, направленную вдоль его продольной оси. Определите максимальное расстояние, на которое сместится стержень, если известно, что для поворота стержня на той же плоскости вокруг одного из его кон-

51

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ

цов на угол D нужно совершить работу, равную А. 2. На шероховатую горизонтальную поверхность вертикально поставили гантель, состоящую из двух маленьких шариков массами $m_{1} 2 m$ и $m_{2} m$, соединенных невесомым жестким стержнем (рис.6). Гантель

Рис. 6

отпускают без начальной скорости, и она начинает падать. Определите величину коэффициента трения между гантелью и плоскостью, если нижний шарик начинает скользить по плоскости, когда угол наклона стержня с плоскостью достигнет D 75 q ( sin 75 q 0,97 ). 3. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 расширяется в процессе 1–2 (рис.7) с постоянной теплоемкос-

Рис. 7

тью, совершая в нем работу $A_{12} = 200$ Дж. Затем к газу подводится количество теплоты $Q_{23} = 200$ Дж в процессе 2–3, в котором давление газа прямо пропорционально его объему. Температуры в состояниях 1 и 3 одинаковые. Найдите количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1–2. 4. В схеме, изображенной на рисунке 8, при разомкнутом ключе K конденсатор ем-

МА ТЕ РИА ЛЫ

Рис. 8

костью С = 10 мкФ заряжен до напряжения $U_{0} = 2 B.$ Индуктивность катушки L = = 0,1 Гн, ЭДС батареи E = 5 В, диод D – идеальный. Определите максимальный ток в цепи после замыкания ключа. Найдите напряжение, которое установится на конденсаторе после замыкания ключа. 5. На гладкой горизонтальной поверхности расположена треугольная призма массой 2m с углом D 30 q, соединенная невесомой недеформированной пружиной жесткостью k c бруском массой m (рис.9). Шар массой m

Рис. 9

падает вертикально вниз и ударяется в призму со скоростью v. Определите величину максимальной деформации пружины при дальнейшем движении тел. Силами трения пренебречь. 6. Какое максимальное число электроннопозитронных пар может образоваться при взаимодействии с веществом двух одинаковых гамма-квантов, на которые распалась движущаяся нейтральная релятивистская частица с массой покоя $m_{0}$, если угол между направлениями разлета гамма-квантов T 60 q? Считать, что вся энергия гаммаквантов идет на образование электроннопозитронных пар.

Вариант 2

1. На шероховатой поверхности стола лежит цепочка длиной L так, что один ее конец свешивается с края стола. Когда свешивающаяся часть цепочки составляет 1/4 часть ее полной длины, цепочка начинает соскальзывать. Найдите скорость цепочки

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

полученный граф через G ij. Этот граф может распасться на несколько компонент связности; обозначим через c ij их количество. Если c ij! 100, то в одной из компонент нет стабильных вершин; тогда можно изменить цвет каждой вершины в этой компоненте, заменив i на j и наоборот, и добиться требуемой альтернативной раскраски. Значит, c ij d 100 при всех i и j. Заметим, что каждая компонента связности, содержащая x вершин, содержит не менее x – 1 ребер; значит, если в G ij есть v ij вершин, то количество ребер в нем e ij не меньше чем v ij c ij, т.е.

e ij t v ij 100.

( * )

С другой стороны, нетрудно найти сумму V всех чисел v ij и сумму E всех чисел e ij. Действительно, в исходном графе 10000 вершин и каждая из них участвует в 6 графах вида G ij; поэтому V 6 ˜ 10000 60000. С другой стороны, в исходном $графе^{11} ˜^{10000} 2 55000$ ребер и каждое участвует ровно в одном графе G ij; поэтому E = 55000. Поскольку пар цветов всего $C_{7}^{2} 21$, неравенство ( * ) влечет $E t V^{21}$ ˜ 100, что не так для найденных значений. Значит, наше предположение неверно, и требуемая перекраска возможна. 5. Предположим противное: пусть прямоугольники имели размеры k u l, где l < k. Пусть $a_{i}$ – длина стороны квадрата у i-го ребенка. Тогда каждая сторона прямоугольника составлена из нескольких отрезков длиной $a_{i}$, т.е. $l b_{i} a_{i}$ и $k c_{i} a_{i}$, где $b_{i}$ и $c_{i}$ – натуральные числа. При этом у ребенка получилось $b_{i} c_{i}$ квадратиков. Заметим, что $1 k l c_{i} b_{i}$, т.е. число k l рационально. Пусть s t – его несократимая запись; тогда s > 1, и $c_{i}$ делится на s при всех i. Значит, и число квадратиков у i-го ребенка делится на s. Тогда общее число квадратиков Q также делится на s > 1, и притом Q > s (поскольку количество детей больше 1). Значит, Q – составное число; противоречие. 6. Продлим отрезок AM на его длину за точку M, получим точку N такую, что ADNT – параллелограмм. Поскольку ‘ ANT ‘ CAM, для решения задачи достаточно показать, что ‘ AKT ‘ ANT, или что точки A, T, N, K лежат на одной окружности (рис.3). Пусть ND пересекает AB в точке S; тогда DS P BC, и BSDC – равнобокая трапеция. Мы докажем, что точки K и N лежат на окружности Z, описанной около треугольника AST. Имеем ‘ ATN ‘ ADN 180 o ‘ SDA 180 o ‘ ASD, значит, N лежит на окружности Z. Из окружности, описанной около трапеции BSDC, имеем ‘ SKT ‘ $SBC^{180} o$ ‘ SAT, поэтому K ле-

Рис. 3

жит на окружности Z, что и требовалось доказать. 7. Обозначим юбилейную монету через Ю. Отложим две неюбилейные монеты A и B и разложим оставшиеся 14 монет по 7 на каждую чашу так, чтобы Ю попала на левую. Назовем монету левой или правой, если при взвешивании она попала на левую или правую чашу соответственно. Случай (=). Пусть чаши оказались в равновесии. В этом случае либо на каждой чаше по 3 тяжелых монеты (и тогда A и B обе тяжелые), либо по 4 (тогда A и B легкие). В любом случае обе отложенные монеты одинаковы. В этом случае возьмем с левой чаши Ю и еще одну монету C и сравним эту пару с парой A и B. Подслучай (=,=). Пусть снова получено равновесие. Тогда все 4 монеты A, B, C, Ю весят одинаково. Сравним их с любыми другими четырьмя левыми монетами. Если весы окажутся в равновесии, то все 8 монет во взвешивании – одного веса. Тогда среди левых монет было 6 монет такого веса; это невозможно. Значит. какая-то чаша перевесит, и мы узнаем, являлись A, B, C и Ю тяжелыми или легкими. Подслучай (=,<). Чаша, содержащая Ю во втором взвешивании, легче. Тогда на этой чаше не может быть двух тяжелых монет. Сравнив эти две монеты друг с другом, мы в случае неравенства сразу узнаем вес Ю, а в случае равенства сможем сделать вывод о том, что обе монеты на этой чаше – легкие. Подслучай (=,>), когда чаша с Ю тяжелее, аналогичен. Случай (<). Пусть левая чаша в первом взвешивании оказалась легче. Тогда среди левых монет не более трех тяжелых. Сравнив Ю с какой-нибудь левой монетой C, мы либо узнаем вес Ю (в случае неравенства), либо