20
КВАН T 2019/№7
Об одной ортоцентрической четверке
А.ЗАСЛАВСКИЙ
Эта статья посвящена геометрической конструкции из задачи М2553 «Задачника «Кванта» (эта задача также предлагалась на XXII Кубке памяти А.Н.Колмогорова). В процессе изучения этой конструкции, а также совместной работы над ней вместе с И.Богдановым и П.Кожевниковым обнаружилось довольно много интересных геометрических сюжетов, о которых мы и хотим рассказать читателям. Но начнем с самой исходной задачи. Задача М2553*. Обозначим через I центр окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, через A 1, B 1 и C 1 – точки ее касания со сторонами BC, CA и AB соответственно, через K и L – центры окружностей, вписанных в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1 соответственно, через H – основание высоты,
Ниже для краткости будем называть две фигуры перпендикулярно подобными, если они подобны, одинаково ориентированы и углы между соответствующими отрезками фигур равны 90q. Иными словами, называем фигуры перпендикулярно подобными, если одну из другой можно получить поворотной гомотетией (т.е. последовательным выполнением поворота и гомотетии) с углом поворота 90q. Решение задачи. В случае AC = BC точки P, Q и C 1 совпадают, а треугольник KC 1 L – прямоугольный и равнобедренный, следовательно, утверждение задачи верно. Далее не умаляя общности считаем, что AC < BC. Из симметрии четырехугольника BA 1 IC 1 относительно ВI (рис.2) легко видеть, что
Рис. 2
Рис. 1
опущенной из точки C (рис.1). Биссектриса угла AHC пересекает прямую A 1 C 1 в точке P, а биссектриса угла BHC пересекает прямую B 1 C 1 в точке Q. Докажите, что Q – ортоцентр треугольника KLP. Условие задачи, очевидно, означает, что каждая из точек K, L, P, Q является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными. Такая четверка точек называется ортоцентрической.
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190703
прямая C 1 A 1 (на которой также лежит P) перпендикулярна прямой BI (на которой также лежит L). Аналогично, перпендикулярны прямые C 1 QB 1 и AKI. Далее, поскольку C 1 K и C 1 L – биссектрисы прямых углов AC 1 I и BC 1 I, имеем PH P C 1 K A C 1 L P QH. Поэтому треугольники KIC 1 и QC 1 H перпендикулярно подобны. Также перпендикулярно подобны треугольники LIC 1 и C 1 PH, а значит, то же верно и для четырехугольников KILC 1 и QC 1 PH, откуда PQ и KL перпендикулярны как соответствующие диагонали перпендикулярно подобных четырехугольников. Теперь достаточно показать, что PK A QL. Пусть и
22
КВАН T 2019/№7
uuuuur uuur водит HC 1 в C 1 I. Центр такой поворотной гомотетии – проекция вершины C 1 на гипотенузу IH прямоугольного треугольника IC 1 H. Таким образом, E совпадает с проекцией C 1 на IH.
Точка D
Так как PH A QH и PD A DQ, точка D лежит на окружности (PHQ) (рис.5).
Упражнения
- Из полученных описаний точки D выведите, что прямые СD, IC 1 и KL пересекаются в одной точке. Указание. Эти прямые – общие касательные и линия центров окружностей. 6. Докажите другим способом, используя теорему Дезарга, что а) D лежит на AB, б) E лежит на IH. Указание. Можно применить теорему Дезарга к треугольникам а) KLC 1 и QPH, б) QYL и PXK.
Наконец, заметим еще один факт о точках P и Q: прямая PQ проходит через C. Доказать это можно, например следующим образом, используя гармонические четверки. Рассмотрим точки U и V пересечения CH с B 1 C 1 и A 1 C 1 соответственно (рис.6). Нетрудно доказать (например,
Рис. 5
Упражнение 4. Докажите, что E также лежит на окружности (PHQ).
Как мы знаем, треугольник PDQ – прямоугольный равнобедренный, D – середина дуги PQ, поэтому HD – биссектриса угла PHQ. Значит, прямая HD совпадает с AB, т.е. D лежит на AB. Отметим, что D также лежит на окружности ( KC 1 L ) с диаметром KL. Таким образом, D – точка, в которой окружность ( KLC 1 ) вторично пересекает AB. Известно (см., например, статью «Описанные четырехугольники и ломаные» в «Кванте» №1 за 2010 г., задача 3), что общая внутренняя касательная к окружностям, вписанным в четырехугольники AB 1 IC 1 и BA 1 IC 1, отличная от IC 1, проходит через C. Пусть эта касательная – CD c, где D c – точка на прямой AB. Тогда C 1 и D c лежат на окружности с диаметром KL, поскольку KD c A LD c (биссектрисы углов между прямыми CD c и AB) и, аналогично, KC 1 A LC 1 (биссектрисы углов между прямыми IC 1 и AB). Тогда D c совпадает с D.
Рис. 6
пользуясь теоремой Чевы для треугольника C 1 UV ), что прямые UP, VQ и C 1 H пересекаются в одной точке, следовательно, U, V, H и точка образуют гармоническую четверку. Но прямые C 1 B 1, C 1 A 1, C 1 H и C 1 C также образуют гармоническую четверку, значит, точка пересечения совпадает с C.
Упражнение 7. Докажите, что прямые AH и AD симметричны относительно AF. Указание. Используйте упражнение 5.