Lời giải bài toán M2610—M2613; F2617—F2620

19

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Nước. Họ đã làm điều này rất cẩn thận để không có một bọt khí nào trong đường ống. Một đường ống chứa nước bên trong “treo” bất động một thời gian dài giữa phòng thí nghiệm không gian, cho đến khi vô tình bị đẩy theo phương của trục đối xứng. Cú sốc tồn tại trong thời gian ngắn, ’ $t 10^{3}$ s, và ống đạt vận tốc v 1 cm s. Sau đó, đường ống dừng lại hoặc di chuyển trở lại với tốc độ đạt được trong quá trình va chạm. Sau một thời gian dài, vận tốc của ống dẫn nước ổn định và bằng 0,5 cm/s. Tính chu kỳ dao động của hệ thống ống nước. Hệ số căng bề mặt của nước V 0,07 J $м^{2}$. Độ nhớt của nước có thể bỏ qua khi tính chu kỳ dao động. G. Agarin

F2631. Động cơ DC cổ góp được tìm thấy trong máy khoan điện, khi đặt điện áp 100 V vào nó, nó sẽ quay (không tải), tạo ra 1000 vòng/phút ở trạng thái ổn định. Khi khoan một lỗ trên cây, động cơ tạo ra công suất cơ 100 W với tốc độ 700 vòng / phút ở điện áp 100 V. Công suất cơ tối đa mà một động cơ như vậy có thể phát triển trong thời gian dài là bao nhiêu nếu được cấp điện áp 220 V? D.Relev

F2632. Bộ khuếch đại âm thanh sử dụng nguồn điện có biến áp. Nó có một bộ chỉnh lưu toàn sóng được làm từ bốn điốt lý tưởng. Cuộn sơ cấp của máy biến áp được nối vào mạng (220 V, 50 Hz). Ở đầu ra của cuộn thứ cấp, điện áp hiệu dụng là U 12 V, nó được cấp cho cùng bộ chỉnh lưu này. Một ampe kế DC được kết nối giữa bộ chỉnh lưu và bộ khuếch đại cho thấy dòng điện trung bình là I 1 A. Bộ khuếch đại hoạt động nhưng kêu vo vo khó chịu ở tần số 100 Hz và các sóng hài của nó, do tụ điện nằm ở đầu ra của bộ chỉnh lưu song song với tải bị hỏng. Vasya có sẵn hai tụ điện

“QUANTA”

$C_{1} C_{2} 10^{3}$ µF và hai cuộn dây điện cảm $L_{1} L_{2}$. Vasya đã lắp ráp một mạch sao cho tiếng ồn ở tần số 100 Hz biến mất hoàn toàn và ở các tần số khác, nó giảm đáng kể. Vẽ sơ đồ do Vasya phát minh. Khả năng chịu tải là gì? Độ tự cảm của cuộn dây là gì? Hãy coi rằng tải đại diện cho điện trở hoạt động và nó không thay đổi. S. Dmitriev

Lời giải bài toán M2610–M2613, F2617–F2620 M2610. Các đỉnh của hình chữ nhật đều được sơn 10 màu. Chứng minh rằng có thể chọn được 4 đỉnh của hình chữ nhật này là các đỉnh của hình chữ nhật và được tô nhiều nhất hai màu khác nhau. Hãy nội tiếp hình chữ nhật này thành một hình tròn. Hãy xem xét từng đường kính trong số 50 đường kính được tạo bởi các đỉnh của hình chữ nhật. Lưu ý rằng nếu trong số chúng có hai đường kính mà tập hợp các màu đỉnh trùng nhau thì bốn đầu của các đường kính này tạo thành một hình chữ nhật phù hợp với điều kiện. Chỉ có 10 9: 2 45 tùy chọn để tô màu các đầu của đường kính bằng hai màu khác nhau (không tính đến thứ tự). Điều này có nghĩa là nếu chưa tìm được hình chữ nhật phù hợp thì sẽ có ít nhất năm đường kính có các đầu cùng màu. Hãy chọn hai cái bất kỳ, đầu của chúng tạo thành một hình chữ nhật phù hợp. E. Bakaev

M2611. Cho tam giác ABC có AB z AC (Hình 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB, K là trung điểm cung BAC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, P là điểm mà đường trung trực của AC cắt đường phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng các điểm A, M, K, P cùng thuộc một đường tròn.

Hình 1

20

KVAN T 2020/№10

Hình 3

Hình 2

Gọi KL và AD là đường kính của hình tròn (ABC) (Hình 2). Khi đó AKDL là hình chữ nhật có tâm O là tâm đường tròn. Hãy ký hiệu l là các trục đối xứng của hình chữ nhật AKDL song song với AL. Biết AL là phân giác của góc BAC. Do đó $P AL^{\cap} ON$, trong đó N là trung điểm của AC. Các đường phân giác OM và ON vuông góc với các cạnh AB và AC tạo thành các góc bằng AL nên OM và ON đối xứng qua l. Điều này có nghĩa là các điểm P và $Q KD^{\cap} OM$ đối xứng với l, do đó AKQP là hình chữ nhật và các điểm A, K, Q, P nằm trên đường tròn Z có đường kính AQ. Nhưng vì AM A QM ( AB A OM) nên điểm M cũng nằm trên Z. Bài toán được giải. Lưu ý rằng điểm thứ năm Q mới, đối diện theo đường kính với điểm A trong đường tròn mà chúng ta cần, đã giúp “đặt” bốn điểm trên một đường tròn (phương pháp chứng minh nội tiếp này được mô tả trong bài viết của E. Bakaev, P. Kozhevnikov và I. Ykovlev “Các đường vuông góc và một dấu hiệu khác của một tứ giác nội tiếp” trong «Kvant» Số 5–6 năm 2015). Chúng ta hãy đưa ra một sơ đồ của lời giải khác (nó được phát minh bởi một số người tham gia Olympic Caucasian, nơi bài toán này được đề xuất). Trên tia CA, chúng ta vẽ đoạn CS bằng AB 2 (Hình 3). Từ đẳng thức CS BM, chúng ta có thể suy ra sự bằng nhau của các tam giác KCS và KBM và việc các điểm A, K, S, M nằm trên cùng một đường tròn (ví dụ, bạn có thể đọc thêm về điều này trong bài viết của A. Polyansky “Chim sẻ trên súng!” trong «Kvant» Số 2 năm 2012). Đối với lời giải bài toán vẫn phải hiểu rằng các điểm A, S, P, M nằm trên cùng một đường tròn. Nếu R là hình chiếu của P lên AB thì NS RM AC AB 2, trong đó N, như trong lời giải đầu tiên, là trung điểm của AC. Do đó, các tam giác vuông PNS và PRM bằng nhau (có được bằng cách quay quanh P). Do đó SPM NPR 180 q BAC, hoàn thành chứng minh. Lưu ý rằng trong chứng minh, chúng ta lại được trợ giúp bởi điểm thứ năm mới trên đường tròn, lần này là điểm S. Để kết luận, chúng ta lưu ý rằng phát biểu tương tự như phát biểu về bài toán này cũng đúng: A, M, L và $ON \cap AK$ nằm trên cùng một đường tròn. P.Kozhevnikov

M2612. Sân chơi là một sọc ca-rô ngang $1_{¥} 2019$. Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Khi bắt đầu trò chơi, Petya chọn n số tự nhiên và viết chúng lên bảng, sau đó Vasya đặt một con chip vào một trong các ô. Sau đó, ở mỗi nước đi tiếp theo, Petya gọi một số nhất định s được viết trên bảng và Vasya di chuyển con chip đến s ô, nếu có thể, sang phải hoặc sang trái - tùy theo lựa chọn của anh ấy. Nếu không thể di chuyển chip sang trái hoặc phải theo các ô s thì chip vẫn giữ nguyên vị trí. Petya có thể chơi với mức tối thiểu n nào để con chip chạm tới tất cả các ô của dải trong một số lần di chuyển hữu hạn? Đáp số: n 2.

24

KVAN T 2020/№10

Hình 1

F2620. Bức ảnh (Hình 1), lấy từ trang web webdiscover.ru, cho thấy cầu vồng, biển, các tòa nhà, cây cối, bóng tối. Sử dụng bức ảnh này và đưa ra những phỏng đoán hợp lý, hãy thử ước tính độ cao của nhiếp ảnh gia so với mặt biển khi chụp bức ảnh này.

Hình 2

Giả sử rằng bề mặt đất bằng phẳng và các đường phố trong thị trấn song song với nhau hoặc vuông góc (đây là một giả định hợp lý). Sau đó, bạn có thể tìm thấy các điểm trong bức ảnh tương ứng với đường chân trời. Bạn sẽ nhận được một điểm nếu bạn vẽ các đường (màu đen) dọc theo các con đường song song của thị trấn và chúng giao nhau tại một điểm (Hình 2). Điểm thứ hai sẽ đạt được nếu bạn vẽ các đường (màu vàng) dọc theo bóng đổ trên bề mặt ngang từ những cây cao. Chấm màu tím là tâm của hai cầu vồng nhìn thấy được. Đường màu đỏ tương ứng với đường chân trời ảo (giả sử trái đất phẳng). Sử dụng một hình tam giác được tạo bởi một đường màu đỏ và hai đường màu xanh lá cây, bạn có thể tính được chiều cao góc của Mặt trời so với đường chân trời.