Đường đi ngắn nhất và giả thuyết Poincaré

Đường đi ngắn nhất và giả thuyết Poincaré

V.PROTASOV

Ví dụ “TRẺ EM” của chúng tôi về đường trắc địa thứ tư trên bề mặt của một hình elip (Hình 8) bác bỏ quan niệm sai lầm lớn nhất liên quan đến giả thuyết Poincaré. Một ellipsoid có độ dài trục khác nhau có thể có nhiều đường trắc địa hơn, điều đó có nghĩa là bản thân “giả thuyết ba đường trắc địa” lẽ ra phải được xây dựng theo cách khác. Cả Poincaré, Hilbert và Urysohn đều không nhận thấy điều này. Và không chỉ họ. Ví dụ, đây là điều mà Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987), nhà toán học vĩ đại nhất người Nga, đã viết:

Kết thúc. Mở đầu là trong số trước của tạp chí.

“Giả thuyết của Poincaré là theo ít nhất ba cách khác nhau, một vòng cao su đã căng có thể được đặt trên hòn đá của chúng ta sao cho nó, khi cố gắng rút ngắn chiều dài của nó, sẽ không bị trượt ra (tức là, sao cho chiều dài của nó không thể bị giảm đi bằng một sự dịch chuyển nhỏ sang một bên trong một diện tích nhỏ). Trong trường hợp này, chỉ xem xét cách sắp xếp vòng cao su không có các điểm tự giao nhau (ví dụ, không có hình dạng của hình số 8). Trên bề mặt của một quả bóng có vô số cách sắp xếp vòng như vậy (dọc theo bất kỳ “lớn” nào) đường tròn”), trên một hình elip ba trục có đúng ba (dọc theo ba

Minh họa của M. Kashin

13

NGẮN NHẤT

CÁCH

VÀ

Hình 8. Đường trắc địa không phẳng trên hình elip - đường màu đỏ và xanh

phần chính) (nhấn mạnh thêm – V.P.).” Và một lần nữa “chính xác là ba”! Nhưng việc đề xuất ý tưởng về một ví dụ sẽ nằm trong khả năng của một học sinh nhỏ tuổi hơn. Hóa ra là ngay cả ở cấp trường học, việc coi một khám phá là quan trọng đối với khoa học hiện đại là hoàn toàn có thể. Tất nhiên, trường hợp này là một ngoại lệ. Tuy nhiên, hình học cơ bản đôi khi cũng đủ để nghiên cứu trắc địa. Ví dụ, đối với trắc địa trên bề mặt khối đa diện.

Đo đạc trên khối đa diện “Có thể nói gì mới về khối đa diện? - bạn hỏi. “Đây cũng là những bề mặt lồi, có nghĩa là mọi điều chúng ta đã nói trước đó cũng đúng với chúng.” Không thực sự. Các bề mặt của khối đa diện không nhẵn - chúng có các đỉnh và các cạnh. “Chuyện vặt” này trong trường hợp này dẫn đến hậu quả nghiêm trọng. Trên một số khối đa diện không có đường trắc địa nào cả (không có một đường trắc địa nào cả!). Vì vậy, cả phương pháp Lyusternik–Shnirelman lẫn định lý Franks–Bangert đều không áp dụng được cho khối đa diện. Nhưng trong trường hợp này, trắc địa có một mô tả rất đơn giản, “trường học”. Hóa ra là có thể xây dựng chúng và nhận được các kết quả khác nhau về chúng mà không cần sử dụng toán học cao hơn. Chúng ta thử nhé? Chúng ta sẽ thấy rằng trên một số khối đa diện có vô số đường trắc địa. Hơn nữa, trên một tứ diện đều có các đường trắc địa có độ dài tùy ý. Do đó, một đường trắc địa khép kín có chiều dài, chẳng hạn 100 km, có thể được quấn quanh một khối tứ diện có cạnh 1 cm (không có giao điểm tự!). Nhưng chúng ta đừng vượt quá chính mình.

GIẢ THUYẾT

POINCARE

Tất cả các kết quả về sự tồn tại của đường trắc địa khép kín trên bề mặt nhẵn đều mang tính lý thuyết, bằng chứng của chúng không mang tính xây dựng: chúng không cung cấp công thức xây dựng. Có thể tìm được các phương trình lời giải Euler–Lagrange tuần hoàn, nhưng điều này rất khó. Và vấn đề chính là bài toán này không ổn định, tức là một thay đổi nhỏ trong dữ liệu sẽ kéo theo một thay đổi lớn trong lời giải. Điều này có thể gây ra vấn đề nghiêm trọng khi tìm kiếm lời giải bằng số trên máy tính. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta ước chừng một bề mặt nhẵn bằng một khối đa diện (với số lượng mặt rất lớn) và xây dựng một đường trắc địa trên đó? Tốt $идея!^{2}$ Điều này có nghĩa là bạn cần học cách dựng các đường trắc địa khép kín trên các khối đa diện. Làm thế nào để xác định trắc địa trên bề mặt của khối đa diện? Thứ nhất, trên mỗi mặt của đường trắc địa phải là một đoạn thẳng, vì trên mặt phẳng chỉ có một đường ngắn nhất cục bộ - đường thẳng. Do đó, bất kỳ đường trắc địa nào trên một khối đa diện đều là một đường đứt đoạn có các đỉnh ở các cạnh. Để không nhầm lẫn các đỉnh của khối đa diện và các đỉnh của một đường đứt nét, chúng ta sẽ đồng ý gọi các nút sau. Hai liên kết liền kề của một đường trắc địa phải nằm trên các mặt khác nhau. Nếu trường hợp này không xảy ra và chẳng hạn như các cạnh AB và BC nằm trên cùng một mặt thì chúng ta lần lượt lấy các điểm $A_{1}$ và $C_{1}$ trên các liên kết này, rất gần với điểm B (Hình 9, a). Theo định nghĩa của đường trắc địa, đường đứt nét $A_{1} BC_{1}$ phải là đường đi ngắn nhất nối các điểm $A_{1}$ và $C_{1}$, điều này tất nhiên là không đúng: đường đi ngắn nhất là đoạn $A_{1} C_{1}$. Vậy hai liên kết AB và BC nằm trên các mặt khác nhau. Hãy mở rộng hai mặt này lên một mặt phẳng. Chúng ta hãy sử dụng lại tính chất ngắn nhất cục bộ tại điểm B và nhận được rằng các đoạn AB và BC sau khi phát triển phải nằm trên cùng một đường thẳng. Nếu không, đường dẫn $A_{1} BC_{1}$ lại có thể được thay thế bằng đường dẫn ngắn hơn -

2 Rõ ràng, nó được thể hiện lần đầu tiên bởi V.M. Tikhomirov, một nhà toán học nổi tiếng và là tác giả lâu năm của «Kvant». Ông đã đưa ra cách phân loại bài toán của trắc địa khép kín trên một khối đa diện.

14

KVANT 2021/№1

Hình 9. Tính chất quang học của trắc địa

trên đoạn $A_{1} C_{1}$ (Hình 9, b), sau đó đặt sự phát triển trở lại bề mặt của khối đa diện. Do đó, trong quá trình phát triển, các liên kết liền kề của một đường trắc địa kết thúc trên cùng một đường thẳng, hoặc giống nhau, hai liên kết liền kề của một đường trắc địa tạo thành các góc bằng nhau với cạnh mà chúng giao nhau. Góc mà đường trắc địa đi vào cạnh bằng góc mà đường trắc địa đi ra. Người ta gọi tính chất này là quang học là điều tự nhiên - “góc tới bằng góc phản xạ”. Cuối cùng, đường trắc địa không thể đi qua các đỉnh của khối đa diện. Tại sao lại thế này? Tất cả đều vì cùng một lý do. Giả sử rằng nút B ở trên cùng. Tổng các góc phẳng tại đỉnh của một khối đa diện lồi nhỏ hơn 360q. Đường đa giác ABC cắt các góc phẳng tại đỉnh B thành hai phần. Ở ít nhất một trong số chúng, tổng các góc sẽ nhỏ hơn 180q. Hãy phát triển các góc này trên một mặt phẳng. Sau khi mở gói, góc ABC sẽ nhỏ hơn 180°. Sau đó, chúng ta lại thu được rằng đường dẫn $A_{1} BC_{1}$ không phải là đường dẫn ngắn nhất - nó có thể được thay thế bằng đoạn $A_{1} C_{1}$, sau đó đưa sự phát triển trở lại bề mặt của khối đa diện (Hình 10). Vì vậy, đường trắc địa là một đường đứt đoạn không đi qua các đỉnh của khối đa diện tại mỗi nút

Hình 10. Đường trắc địa không đi qua một đỉnh

đáp ứng tính chất quang học - các góc được hình thành bởi các liên kết liền kề với cạnh đều bằng nhau. Rõ ràng là điều này là đủ: bất kỳ đường đứt nét nào có các đặc tính như vậy đều là đường ngắn nhất cục bộ. Thật vậy, tại mỗi điểm bên trong của liên kết, nó ngắn nhất cục bộ vì nó thẳng và tại một nút, nó ngắn nhất cục bộ do đặc tính quang học. Chúng ta đã chứng minh một phát biểu quan trọng, mặc dù là một phát biểu đơn giản (nó không được coi là một định lý), vì vậy chúng ta sẽ gọi nó là một mệnh đề: Mệnh đề 1. Một đường khép kín trên bề mặt của một khối đa diện là đường trắc địa khi và chỉ khi nó là một đường đứt đoạn với các nút ở các cạnh, không đi qua các đỉnh của khối đa diện và mỗi nút có một tính chất quang học. Đối với đường trắc địa không đóng, điều này cũng được thực hiện, với lưu ý duy nhất là nó có thể bắt đầu hoặc kết thúc ở một đỉnh. Hãy quay trở lại trắc địa khép kín. Nếu chúng ta mở rộng hai mặt liền kề lên một mặt phẳng thì các liên kết trắc địa đi qua chúng sẽ kết thúc trên cùng một đường thẳng. Chúng ta hãy lấy một nút tùy ý của đường trắc địa A và bắt đầu mở ra các mặt một cách tuần tự trong khi đi ngang qua đường trắc địa cho đến khi chúng ta đến cùng một điểm A (chúng ta biểu thị điểm thứ hai trên đường phát triển là A c; Hình 11). Tất cả địa tinh-

Hình 11. Đường trắc địa thẳng tiến trên sự phát triển

zical chuyển thành đoạn AA c. Trong trường hợp này, các góc được đánh dấu trong hình, bằng nhau do tính chất quang học, trở thành các góc tương ứng tại cát tuyến AA c. Điều này có nghĩa là các đoạn MN và M c N c, biểu diễn cùng một cạnh, song song. Chúng ta đã chứng minh thêm một tính chất có thể được coi là một định nghĩa khác (đã là thứ ba!) của đường trắc địa trên khối đa diện: Mệnh đề 2. Một đường khép kín trên bề mặt của khối đa diện là đường trắc địa khi và chỉ khi

16

KVANT 2021/№1

Một số trong số chúng đạt đến hai đỉnh. Vì hình chóp có bốn mặt hình tam giác nên tổng các góc phẳng của nó bằng 360q 2. Do đó, tổng các góc ở mỗi phần sẽ bằng 360q. Một trong các phần sẽ chứa hai đỉnh ở đáy kim tự tháp. Tổng các góc trong mỗi góc bằng 2 D 60 q, trong đó D là góc ở đáy của mặt bên. Điều này có nghĩa là 2 D 60 q 180 q, do đó D 60 q, tức là mặt bên là một tam giác đều và điều này bị cấm. Xây dựng trắc địa trên khối đa diện. Đối với điều này, chúng tôi có hai cách. Phương pháp đầu tiên: theo Mệnh đề 2, bạn cần tìm một phương án phát triển phù hợp trong đó sẽ có hai đoạn song song (và có hướng giống nhau!) Đại diện cho một cạnh. Sau đó, bạn cần lấy một điểm cho mỗi câu - A và A c. Chúng phải biểu diễn cùng một điểm trên cạnh, tức là các đoạn NA và N c A c phải bằng nhau. Bây giờ chúng ta vẽ đoạn AA c. Nếu nó không vượt quá phạm vi quét, thì nó mô tả một đường trắc địa. Phương pháp thứ hai: bạn có thể thực hiện mà không cần quét, sử dụng Mệnh đề 1. Ước tính các cạnh mà đường trắc địa có thể giao nhau (ví dụ: từ các cân nhắc vật lý: hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang kéo căng một vòng cao su), sau đó tìm vị trí của các nút bằng cách sử dụng thuộc tính quang học. Có trắc địa không? Theo Định lý 3, bây giờ chúng ta không chắc chắn liệu các khối đa diện khác nhau có đường trắc địa khép kín hay không? Giả sử khối lập phương có chúng? Đúng. Và hình lập phương, bát diện đều và các khối đa diện phổ biến khác (xem bài tập 9–11). Hơn nữa, như chúng ta đã biết, mỗi đường trắc địa tạo ra vô số đường đẳng cấu. Để đơn giản, chúng tôi sẽ xác định tất cả các đường trắc địa đẳng cấu và chỉ tính các đường trắc địa khác nhau, tức là không đẳng cấu. Đường trắc địa Cube One là hiển nhiên - đây là một vành đai hình vuông (Hình 12, a). Nó không đi qua các đỉnh, nó có tính chất quang học (nó cắt tất cả các cạnh theo một góc vuông). Vì vậy, đây là trắc địa và không cần thiết phải vẽ sự phát triển. Nếu bạn suy nghĩ một chút, sẽ có cái thứ hai. Đây là hình lục giác đều

Hình 12. Hai trắc địa trên một khối lập phương

đi qua giữa xương sườn (Hình 12, b). Tính chất quang học cũng được thỏa mãn, mọi góc đều là 45q. Đường trắc địa này (giống như đường trắc địa trước) bằng phẳng, nó nằm hoàn toàn trong một mặt phẳng. Nếu chúng ta di chuyển mặt phẳng này song song, chúng ta sẽ có được một đường đẳng cấu trắc địa với nó (Hình 12, c). Đây cũng là một hình lục giác, nhưng không còn đều đặn nữa. Nó có cùng chu vi. Chúng ta đã đồng ý xác định trắc địa đẳng cấu, vì vậy trường hợp này không cung cấp điều gì mới. Nhưng không dễ để tìm được đường trắc địa thứ ba trên một khối lập phương! Cô ấy đây, trong Hình 13. Cô ấy

Hình 13. Đường trắc địa thứ ba trên hình lập phương

Hình 14. Phát triển đường trắc địa thứ ba trên khối lập phương

hình lục giác và không phẳng! Cắt tất cả các cạnh ở góc D và 90q D, trong đó D là một góc có tiếp tuyến bằng 2. Để thuận tiện, chúng ta đã biểu thị độ dài của các đoạn trong hình, coi cạnh của hình lập phương bằng 1. Hai đỉnh bằng nhau

20

KVANT 2021/№1

“bám” vào các đỉnh của tứ diện. Nút L của đường trắc địa được gọi là nút liên kết nếu nó và hai nút liền kề với nó nằm trên ba cạnh nổi lên từ một đỉnh D của tứ diện và là các nút gần D nhất trên các cạnh này. Trong trường hợp này D được gọi là đỉnh liên kết của nút L. Như vậy đường trắc địa trong Hình 18 được liên kết với từng đỉnh

Hình 18. Đường trắc địa loại (2;1) được liên kết với đỉnh D bằng nút L

giếng tứ diện; đối với đỉnh B và C, các nút liên kết lần lượt là $K_{3}$ và $K_{1}$. Định lý 5. Bất kỳ đường trắc địa $типа^{n;} m$ nào, trong đó $n t^{m} t 1$, có đúng 4 nút liên kết. Chúng tạo thành hai cặp nút đối diện của đường trắc địa, mỗi cặp chia nó thành hai phần có cùng số nút. Mỗi đỉnh của tứ diện là một đỉnh liên kết của một trong các nút. Cho $a_{1}$ và $b_{1}$ là các liên kết của trắc địa rời khỏi nút liên kết, $a_{2}$ và $b_{2}$ các liên kết sau, v.v. Khi đó các liên kết $a_{i}$ và $b_{i}$ nằm trên cùng một mặt và không có điểm nào khác của trắc địa giữa chúng. Bằng chứng. Chúng ta hãy biểu diễn đường trắc địa g như một đường thẳng trên sự phát triển và chứng tỏ rằng g được liên kết với đỉnh K từ chứng minh Định lý 4; lý luận tương tự cho các đỉnh khác. Chúng ta vẽ một đường thẳng g c đối xứng với g đối với điểm K. Rõ ràng là dải giữa g và g c không chứa các nút khác ngoại trừ các nút nằm trên $g_{1}$. (Hãy nhớ rằng $g_{1}$ là đường thẳng song song gần g nhất trên vùng phát triển có chứa một nút.) Do đó, các đường g và g c cắt nhau cả 6 đoạn mạng phát ra từ K, và

mỗi điểm trong số sáu điểm giao nhau biểu thị nút trên đường trắc địa gần đỉnh K nhất trên cạnh tương ứng của tứ diện. Do đó, trắc địa được liên kết với K. Hơn nữa, các đường g và g c đi song song dọc theo các tam giác mạng (các mặt) cho đến khi chúng giao nhau với 6 đoạn mạng ra khỏi K. Hóa ra bằng cách này, bạn có thể thu được bất kỳ số vô hạn trắc địa nào trên tứ diện. Chúng ta “kéo” đường trắc địa qua góc tam diện ở đỉnh D, sau đó quấn quanh bề mặt của tứ diện, uốn cong 2 n 2 m 1 qua các cạnh và móc nó vào đỉnh C. Bất kỳ đường trắc địa nào cũng thu được theo cách này và mỗi đỉnh của tứ diện có thể được chọn làm đỉnh ban đầu. Tương tự, nhưng chặt chẽ hơn: đường trắc địa được nối với đỉnh D bằng các liên kết $a_{1}$ và $b_{1}$, sau đó các liên kết $a_{2}, b_{2}$ đi dọc theo một mặt, gặp cạnh của mặt này tại các nút liền kề, sau đó $a_{3}, b_{3}$ đi dọc theo mặt tiếp theo, v.v., cho đến cuối cùng móc trắc địa đến đỉnh C với các cạnh $a_{2} n_{2} m, b_{2} n_{2} m$. Đường trắc địa giới hạn một dải trên bề mặt của một khối tứ diện thành các cặp cạnh $a_{i}, b_{i}$.

“Hiểu được những điều bạn không thể tưởng tượng được” Như vậy, trên một tứ diện đều có vô số loại trắc địa, mỗi loại tương ứng với một cặp số nguyên tố cùng nhau. Hóa ra đó không phải là tất cả. Mỗi đường trắc địa có thể được “nhân lên” để nó không tự giao nhau. Một loạt các trắc địa. Đường trắc địa trên một tứ diện đều được xác định bởi một đường thẳng trên mạng song song với một vectơ nguyên tùy ý. Chúng ta hãy vẽ không phải một mà là nhiều đường thẳng song song như vậy. Tất cả chúng sẽ là trắc địa. Nhưng còn một điều đáng ngạc nhiên nữa: không phải tất cả chúng đều giao nhau. Chứng minh điều này khá đơn giản. Nếu hai đường trắc địa $g_{1}$ và $g_{2}$ cắt nhau tại một điểm P nào đó thì xét các điểm $P_{1}$

21

NGẮN NHẤT

CÁCH

VÀ

và $P_{2}$, mô tả nó trên bản quét. Rõ ràng là $P_{1} z P_{2}$, vì các đường $g_{1}$ và $g_{2}$ song song với nhau. Các điểm $P_{1}$ và $P_{2}$ trên quá trình phát triển đại diện cho một điểm trên bề mặt của khối tứ diện, do đó, $P_{1}$ phải được dịch thành $P_{2}$ bằng cách dịch chuyển số nguyên hoặc bằng phép đối xứng về nút. Trong trường hợp này, $g_{1}$ sẽ biến thành một đường thẳng $g_{1} c$. Vì cả tính đối xứng và phép tịnh tiến đều bảo toàn tính song song, đường thẳng $g_{1} c$ song song với $g_{2}$ và do đó trùng với đường thẳng đó vì nó giao nhau tại điểm $P_{2}$. Hóa ra đường trắc địa $g_{1}$ và $g_{2}$ trùng nhau. Một đường trắc địa dài hơn 1 km không chỉ có thể được quấn thành một khối tứ diện có cạnh 1 cm mà không tự giao nhau, mà nhiều đường trắc địa này có thể được quấn theo ý muốn (đồng thời!), và tất cả chúng sẽ không giao nhau. Nhân tiện, theo Định lý 4, tất cả chúng sẽ đẳng cấu và có cùng độ dài. Chúng tôi đã chứng minh điều này một cách dễ dàng - còn gì có thể đơn giản hơn một loạt các đường thẳng song song trên một mặt phẳng! Nhưng không thể tưởng tượng được điều này trên bề mặt của một khối tứ diện nữa! Viện sĩ L.D. Landau nói rằng “khoa học cho phép một người hiểu được những điều mà anh ta không thể tưởng tượng được nữa”. Trong Hình 19, chúng tôi đã trình bày một gói gồm ba trắc địa loại 1; 1.

Hình 19. Bó 3 trắc địa loại (1;1)

Phải chăng chỉ trên một tứ diện đều mới có vô số đường trắc địa? Không, không chỉ vậy. Bất kỳ tứ diện đẳng diện nào cũng có tính chất này. Một tứ diện được gọi là đẳng diện nếu tất cả các mặt của nó bằng nhau. Để có được một khối tứ diện như vậy rất đơn giản: bạn cần lấy một hình tam giác có góc nhọn tùy ý và gấp nó dọc theo các đường ở giữa (Hình 20). Có nhiều tài sản

GIẢ THUYẾT

POINCARE

Hình 20. Tứ diện đều

và dấu của tứ diện đẳng diện. Chúng tôi đã thu thập một số trong số chúng trong Bài tập 14. Trong tất cả các cuộc thảo luận của chúng ta về trắc địa, một tứ diện đều có thể được thay thế bằng một tứ diện đẳng diện - sẽ không có gì thay đổi. Chỉ có mạng bây giờ sẽ không bao gồm các hình tam giác đều mà là các hình tam giác giống hệt nhau bằng mặt. Hoá ra một tứ diện đẳng diện cũng có vô số trắc địa, được đánh số bằng các cặp số nguyên tố cùng nhau n; m. Chúng được xây dựng theo cùng một cách - quét vô hạn. Có những bề mặt khác có nhiều đường trắc địa như vậy không? Một tứ diện đẳng diện có đường trắc địa có độ dài tùy ý. Còn các khối tứ diện khác thì sao? Hóa ra là không. Trong số tất cả các tứ diện, chỉ có tứ diện có tính chất này. Bất kỳ khối tứ diện nào khác chỉ có thể có một số lượng hữu hạn các đường trắc địa không đẳng hình - và chúng thậm chí có thể không tồn tại, giống như một kim tự tháp thông thường. Có thể có vô số đường trắc địa không đẳng cấu cho một khối đa diện không phải là tứ diện không? Như chúng ta đã thấy, cả khối lập phương lẫn khối tám mặt đều không phù hợp với vai trò này. Năm 2008, người ta đã chứng minh rằng không có khối đa diện nào khác phù hợp [9]. Trong số tất cả các khối đa diện, chỉ có tứ diện đẳng diện có đường trắc địa dài tùy ý. Bài báo tương tự đã đưa ra giả thuyết rằng tứ diện đẳng diện là duy nhất không chỉ trong số các khối đa diện, mà còn trong số tất cả các bề mặt lồi. Trong mười năm, giả thuyết này vẫn còn bỏ ngỏ, chỉ gần đây nó mới được A.V. Akopyan và A.M. Petrunin [1]: Nếu một mặt lồi có các đường trắc địa khép kín dài tùy ý thì đây là mặt của một tứ diện đẳng diện.