Khoảng ba đoạn bằng nhau

Khoảng ba đoạn bằng nhau

Trong hình học, có dãy bài toán, trong đó cần chứng minh sự đẳng thức của ba đoạn thẳng hoặc xây dựng (tìm) điểm tạo ra ba đoạn thẳng bằng nhau. Những bài toán như vậy rất hữu ích, đẹp đẽ, đôi khi khó khăn và thường có tính chất sáng tạo. Chúng tôi giới thiệu tới độc giả một bộ sưu tập bài toán – bài toán, trong đó x y z. Bài toán 1. Trên đường chéo AC của hình vuông ABCD lấy điểm F sao cho AF AB (Hình 1). Vuông góc được khôi phục thành

Hình 1

Hình 4

chia hợp âm FN thành ba phần bằng nhau: x y z. Bài toán 5. Điểm O là tâm của đường tròn Z, ngoại tiếp tam giác nhọn ABC (Hình 5). Tia AO cắt cạnh BC và cắt đường tròn Z lần lượt tại K và T. Các đường vuông góc KD và KE

Hình 2

điểm F cắt đường thẳng AC, cắt cạnh BC tại điểm N. Chứng minh rằng x y z. Bài toán 2. Cho góc nhọn A và điểm F bên trong góc (Hình 2). Vẽ các điểm B và C trên các cạnh của góc sao cho x y z. Bài toán 3. Lấy điểm K và T trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho đoạn AK và AT chia góc BAC thành ba phần bằng nhau

Hình 5

các cạnh AC và AB cắt bán kính OC và OB lần lượt tại các điểm F và N. Chứng minh rằng x y z (TK CF BN). Bài toán 6. Các đường phân giác của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Tia AI cắt đường tròn Z ngoại tiếp tam giác

Hình 3

các bộ phận: 1 2 3 D (Hình 3). Với cái gì D thì có thể x y z được? Bài toán 4. Tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn Z (Hình 4). F, N lần lượt là trung điểm của các cung AC và AB. Chứng minh rằng các đoạn AC và AB

Hình 6

biệt danh ABC, tại điểm W (Hình 6). Chứng minh rằng IW BW CW, hoặc x y z. Bài toán 7. Ba đường tròn có tâm $O_{1}, O_{2}$ và $O_{3}$ tiếp xúc ngoài theo cặp (Hình 7). Chứng minh rằng ba tiếp tuyến chung trong của chúng cắt nhau tại

Hình 10

Hình 7

một điểm và các đoạn của các tiếp tuyến này bằng nhau: xy z. Bài toán 8. Cho đường thẳng l và đoạn AB song song với nó (Hình 8). Chỉ sử dụng

Hình 8

dùng thước kẻ chia AB thành ba phần bằng nhau ( x y z ). Bài toán 9. Điểm O là tâm chung của đường tròn Z và s (Hình 9). Vẽ cát tuyến A B C D sao cho AB BC CD, hoặc x y z.

Bài toán 10. Đường tròn Z và s có tâm $O_{1}$ và $O_{2}$ cắt nhau tại điểm A và B (Hình 10). Đường tròn $Z_{1}$ đi qua các điểm $A, O_{1}$ và $O_{2}$, cắt đường thẳng AB lần thứ hai tại điểm T, và đường tròn Z và s (thứ hai) cắt nhau lần lượt tại các điểm K và N. Chứng minh rằng KT BT NT ( x y z ). Bài toán 11. Gọi OA và OB là bán kính trong đường tròn Z (Hình 11). Vẽ dây TQ sao cho các bán kính này chia thành ba phần bằng nhau: xyz.

Hình 11

Bài toán 12. Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC dựng các điểm F và N

Hình 12

sao cho độ dài của các đoạn CF, FN và NB bằng nhau: x y z (Hình 12). Tài liệu do G. Filippovsky chuẩn bị

Hình 9

37

Z ADACHNIK

“QUANTA”

Hình 5

thì hình $Z_{1}$ chứa chính xác một trong các ô màu đen của hình $O_{1}$. Điều này có nghĩa là từ ô tương ứng trong phân vùng màu đen, các phân đoạn sẽ đi đến các ô khác nhau. Chúng tạo ra một chu trình có độ dài lớn hơn 2. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh rằng bên trong bất kỳ chu trình nào có độ dài lớn hơn 2 chắc chắn sẽ có một lỗ trống. Không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ giả sử rằng tồn tại một chu trình có độ dài lớn hơn 2 trong phân vùng màu đen. Chúng ta hãy gọi một hình bên trong loại O từ một phân vùng nằm hoàn toàn bên trong chu trình của chúng ta. Chúng ta hãy gọi một hình biên loại O từ các ô có hai ô màu đen thuộc về chu trình mà chúng ta đã chọn. Các đoạn trong chu trình xen kẽ nhau: sau đoạn nối các ô đen của hình loại O, có một đoạn nối các ô đen của hình loại Z, nghĩa là độ dài chu kỳ của chúng ta là 2k, trong đó k N. Chúng ta hãy biểu thị số lượng ô đen và trắng nằm đúng trong chu kỳ của chúng ta lần lượt là b và w. Bất kỳ ô đen nào bên trong một chu trình đều thuộc về hình bên trong loại O, bất kỳ ô trắng nào bên trong chu trình đều thuộc về hình biên loại O hoặc hình bên trong. Tổng cộng có k hình ranh giới và mỗi hình thuộc về chính xác một ô màu trắng bên trong. Mặt khác, tất cả các hình bên trong loại O đều chứa chính xác b ô đen, và do đó có chính xác b ô trắng. Vì thế, w b k. Bây giờ hãy tính mối quan hệ giữa b và w theo một cách khác. Hãy nhìn vào lưới mới. Các nút của lưới mới sẽ là tâm của các ô đen trước đây. Trung tâm của các tế bào mới sẽ là trung tâm của các tế bào trắng trước đây.

hiện hành. Sau đó, chu trình của chúng ta là một hình đi dọc theo các đường của lưới mới. Số lượng nút lưới bên trong bằng số lượng ô đen bên trong cũ, tức là b. Số lượng nút trên ranh giới là độ dài chu kỳ, tức là 2k. Bây giờ, hãy tính diện tích hình của chúng ta bằng công thức Peak (xem [1] và [2]): S b 2 k 2 1 b k 1. Nhưng diện tích của hình mới là số tâm bên trong của các ô mới, tức là số lượng ô trắng cũ trong chu kỳ. Từ đó chúng ta kết luận rằng w S b k 1. Một mâu thuẫn. Từ giả định rằng không có lỗ trống bên trong một chu trình nhất định, chúng ta đi đến mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là trong bất kỳ chu kỳ nào cũng sẽ có ít nhất một lỗ trống. Bình luận. Một phát biểu thậm chí còn mạnh mẽ hơn được rút ra từ chứng minh: trong một hình có thể cắt thành cả tetramino loại O và tetramino loại Z, tồn tại một lỗ có diện tích lẻ. Là một lỗ như vậy, chúng ta có thể chọn một lỗ không chứa các thành phần được kết nối khác trong hình của chúng ta. Hãy thử tự mình sửa đổi cách chứng minh cho trường hợp này bằng cách rút ra một điều kiện về số ô đen và trắng bên trong một lỗ như vậy.

Văn học 1. G. Merzon. Công thức của Peak và băng tan. – «Kvant», 2018, số 9. 2. N. Vasiliev. Xung quanh công thức Pick. – «Kvant», 1974, số 12.