Cho đến trận chung kết

Cho đến trận chung kết

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

A. BLINKOV

Tại Olympic cá nhân của Giải đấu XXVI mang tên A.P. Savin, học sinh lớp 5–6 được cung cấp bài toán sau đây. Bài toán 1. Giải bóng bàn trường học được tổ chức theo thể thức sau: ở mỗi giai đoạn, các đấu thủ chia thành từng cặp và chơi một ván, ở giai đoạn tiếp theo họ lại chia thành từng cặp và chơi một ván (các cặp không được lặp lại), v.v. Một học sinh thua hai lần đã bị loại khỏi giải đấu. Nếu ở bất kỳ màn nào mà số lượng người tham gia là số lẻ thì một trong số họ sẽ chuyển sang màn tiếp theo mà không chơi. Có bao nhiêu người tham gia giải đấu nếu diễn ra 29 trận trước trận chung kết, trong đó có 2 người phải thi đấu? Tương tự bài toán, nhưng có thêm câu hỏi - “Có bao nhiêu người tham gia giải đấu nếu 30 trận được chơi trước trận chung kết, trong đó có hai người phải chơi?” – đứng ở vị trí thứ 15 trong Cuộc thi A.P. Savin (xem «Kvant» Số 11-12 cho năm 2021). Trước sự ngạc nhiên của ban giám khảo, những người cho rằng bài toán dễ dàng, nhưng rất ít người giải được nó. Do đó, trước khi trích dẫn lời giải, chúng ta hãy chuyển sang “cổ điển bài toán” trong một công thức được sửa đổi một chút. Bài toán 2. Trong giải quyền anh được tổ chức theo hệ thống Olympic (người thua bị loại), đã diễn ra 29 trận đấu, không tính trận chung kết. Có bao nhiêu võ sĩ tham gia giải đấu? Lời giải. Trong mỗi trận đấu đi đến trận chung kết, một võ sĩ đều thua và bị loại khỏi giải đấu. Ở trận chung kết, hai người chưa thua trước đó đã gặp nhau, tức là có tổng cộng 29 + 2 = 31 người tham gia.

Bài tập 1. 66 võ sĩ tham gia giải đấu theo thể lệ tương tự. Có bao nhiêu trận đấu đã được tổ chức trước trận chung kết?

Kết luận chính là đối với lời giải bài toán 2 không cần phải phân tích chính xác các trận chiến diễn ra như thế nào. Điều này cũng áp dụng cho bài toán 1.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220205

Lời giải bài toán 1. Mỗi học sinh lọt vào trận chung kết đều không thua chút nào hoặc thua một trận. Vì vậy, số còn lại chiếm 29, 28 hoặc 27 trận thua. Vì học sinh bỏ học sau hai trận thua nên không thể có 29 hoặc 27 trận và số học sinh bỏ học là 28: 2 14. Điều này có nghĩa là chỉ có 16 học sinh được tham gia giải đấu. Bài toán đã giải quyết. Lưu ý rằng trong trường hợp này không cần đưa ra ví dụ mô tả chính xác cách giải đấu diễn ra và chứng minh rằng kết quả đáp số đã đạt được, vì điều kiện nói rằng giải đấu đã diễn ra và kết quả đáp số là kết quả duy nhất. Nhưng tình hình sẽ thay đổi nếu 30 trận được diễn ra ở một giải đấu như vậy trước trận chung kết. Thật vậy, lý luận theo cách tương tự, chúng ta thấy tỷ lệ số người bỏ cuộc là 30, 29 hoặc 28 trận. Sau đó $30^{:} 2 2 17$ hoặc $28^{:} 2 2 16$ học sinh có thể tham gia giải đấu. Trong trường hợp này, cần phải chứng minh rằng cả hai đều thu được đáp số đều có thể xảy ra. Hãy làm điều này cho 17 người tham gia. Một trong những học sinh không chơi sẽ chuyển sang giai đoạn thứ hai, tại đó một trong những học sinh thắng ở giai đoạn đầu tiên “nghỉ ngơi” và những học sinh còn lại thắng ở giai đoạn đầu tiên và những người tham gia chưa chơi trước đó gặp người thua, đổi đối thủ và lại thắng. Sau đó, sau chặng thứ hai, 8 người tham gia đã bỏ cuộc và 9 người tham gia vẫn bất bại. Hai giai đoạn tiếp theo diễn ra theo mô hình tương tự, sau đó còn lại 5 học sinh không có thất bại. Kết quả của giai đoạn thứ năm, thứ sáu, thứ bảy và thứ tám được thể hiện trong Bảng 1 (chỉ số tương ứng với số giai đoạn). Do đó, người tham gia 1 và 2 đã lọt vào trận chung kết và $8 + 8 +^{4} +^{4} + 2 + 2 + 1 + 1 = 30$ trò chơi đã được chơi.

Bài tập 2. Cho một ví dụ tương tự cho 16 người tham gia một giải đấu gồm 30 ván đấu.

Từ quan điểm toán học, không có sai sót nào trong ví dụ đã cho, nhưng trên thực tế, các giải đấu sử dụng hệ thống quy định được tổ chức theo các quy tắc quy định chặt chẽ hơn.

47

TOÁN HỌC

thứ tự ghép đôi. Hãy để chúng tôi trình bày phần đầu tiên của luật lệ của giải đấu, hệ thống tổ chức được gọi là Loại bỏ kép. Giải đấu được chia thành hai bảng - trên và dưới (nhánh thắng và nhánh thua). Tất cả những người tham gia bắt đầu giải đấu ở khung trên. Những người tham gia được chia thành các cặp, chơi với nhau ở vòng đầu tiên. Những người chiến thắng ở vòng đầu tiên sẽ tiến vào vòng thứ hai của khung trên. Những người thua cuộc sẽ chuyển sang khung thấp hơn. Ở nhánh thua, giải đấu bắt đầu từ vòng thứ hai. Từ vòng này trở đi, các trận đấu được diễn ra đồng thời ở cả hai bảng đấu, nhưng không ai phải đấu cùng một đối thủ hai lần. Người chiến thắng ở khung trên sẽ đi tiếp vào vòng tiếp theo trong cùng khung đó. Người thua ở khung trên sẽ đi tiếp vào vòng tiếp theo ở khung dưới. Người chiến thắng ở khung dưới sẽ đi tiếp vào vòng tiếp theo trong cùng khung đó. Người thua ở nhánh dưới sẽ bị loại khỏi giải đấu. Với cách tiếp cận này, ví dụ đưa ra không hiệu quả vì đã ở vòng thứ hai, những người tham gia từ các lưới khác nhau đã gặp nhau. Hơn nữa, nếu ở mỗi giai đoạn người chơi được chia thành từng cặp thì một giải đấu như vậy sẽ không thể tổ chức được! Thật vậy, sau giai đoạn thứ hai, số lượng người tham gia ở khung dưới sẽ vượt quá đáng kể số lượng ở khung trên, vì vậy đến một lúc nào đó sẽ có một người tham gia ở khung trên sẽ không có một cặp và ở khung dưới sẽ có ít nhất hai. Thuận tiện thể hiện điều này bằng ví dụ có 16 người tham gia (xem Bảng 2, các cặp số - số

Bảng 2 của những người tham gia ở ngoặc trên và dưới tương ứng). Phần thứ hai của các quy tắc, có nhiều loại khác nhau, sẽ giúp ích. Đơn giản nhất trong số đó là thế này. Ở một số giai đoạn, trò chơi chỉ được chơi ở khung dưới cho đến khi số lượng người tham gia ở cả hai khung bằng nhau. Sau khi hai người tham gia vẫn ở cả hai khung, ở giai đoạn tiếp theo, hai cặp được hình thành, trong đó mỗi người tham gia ở khung trên gặp một người tham gia ở khung trên cùng.

VÒNG TRÒN

com từ bên dưới. Nếu cả hai người tham gia “đầu bảng” đều thắng, họ sẽ chơi trận chung kết. Nếu cả hai đều thua ở chặng tiếp theo, họ đổi đối thủ và người thắng ở các cặp này sẽ vào chung kết. Nếu một trong số họ thắng, thì một cặp người tham gia, mỗi người thua một lần sẽ được thành lập, người chiến thắng sẽ tiến vào trận chung kết và chơi với người không có thất bại. Lưu ý rằng các quy tắc trên gần như tự động đảm bảo rằng không ai được chơi cùng một đối thủ hai lần. Sau đó, giải đấu, trong đó 16 người tham gia đã chơi 30 trận cho đến trận chung kết, có thể được tổ chức như trong Bảng 3 (ở dòng đầu tiên - số lượng người tham gia

Bảng 3 người chơi trong mỗi lưới, trong bảng thứ hai - số lượng trò chơi trong mỗi lưới; ở chặng 6, các vận động viên ở bảng trên lần đầu tiên thua các đội ở bảng dưới và đổi đối thủ, sau đó các cặp thắng sẽ tiến vào trận chung kết).

Bài tập 3. Cho một ví dụ chứng minh rằng trong một giải đấu có 17 kỳ thủ, có thể thi đấu 30 trận trước trận chung kết theo luật nêu trên.

Tóm lại, hãy so sánh các giải đấu sử dụng hệ thống Olympic và hệ thống Double Elimination dành cho 16 người tham gia. Theo hệ thống Olympic, cho đến trận chung kết có 3 giai đoạn và 14 trận đấu được diễn ra, và theo hệ thống loại trừ sau hai trận thua, có 6 hoặc 7 giai đoạn trong đó 28, 29 hoặc 30 trận được chơi, tức là trong trường hợp thứ hai, có ít nhất gấp đôi số giai đoạn và số bữa tiệc. Những người quan tâm có thể điều tra xem liệu mô hình này có đúng với các giải đấu có số lượng người tham gia tùy ý hay không, bắt đầu, để đơn giản, với một giải đấu có $2^{n}$ người tham gia.

51

Thế Vận Hội

cái có không khí; Dòng nhiệt qua một đĩa bìa cứng tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa các bề mặt của nó và tỷ lệ thuận với diện tích của đĩa. A. Apollonsky

Xem xét hằng số tốc độ dòng chảy của tàu (người chỉ huy có thể chọn bất kỳ giá trị tốc độ dòng chảy nào). Không tính đến sự thay đổi khối lượng của tàu; gia tốc rơi tự do bằng g. A.Thỏ rừng

Bài toán 2. Piston nặng Trong một bình kín thẳng đứng có tiết diện thay đổi, có hai phần hình trụ: phần dưới có diện tích tiết diện $S_{1} S$ và chiều cao $h_{1} h$, phần trên có diện tích tiết diện $S_{2} 3 S$ và chiều cao $h_{2} 3 h$ (Hình 10). Khoang dưới được bịt kín và chặt chẽ bằng một pít-tông dẫn nhiệt có thể di chuyển được (pít-tông không được dán keo nhưng khí không lọt vào khoảng trống giữa pít-tông và các giá đỡ), có thể di chuyển vào bên trong ngăn trên với ma sát tối thiểu. 10 phân khu. Cả hai ngăn đều chứa cùng một lượng khí Q ở nhiệt độ $T_{0}$. Khí khắp bình được làm nóng từ từ. Khi nhiệt độ khí đạt $величины_{0}^{2T}$, pít-tông sẽ tách ra khỏi các giá đỡ. 1) Khối lượng của piston là bao nhiêu? 2) Ở độ cao h c tính từ đáy bình thì pít-tông sẽ cân bằng? Nhiệt độ của toàn bộ khí được duy trì ở mức $равной_{0}^{2T}.^{3)}$ Khí trong bình bắt đầu nguội dần. Tại thời điểm nào $температуре^{T}$ pít-tông sẽ rơi trở lại các giá đỡ? Ghi chú. Nhiệt độ khí trên và dưới piston luôn được duy trì như nhau. A.Thỏ rừng

Bài toán 4. Và một lần nữa Snell Một bản vẽ được tìm thấy trong kho lưu trữ của Snell. Theo thời gian, mực đã mờ đi một phần và chỉ còn nhìn thấy 4 điểm, hai trong số đó là nguồn điểm thực $S_{1}$ và $S_{2}$, và hai điểm còn lại - D và E - là hình ảnh của chúng (Hình 11). Từ mô tả của bản vẽ, có thể thấy rằng hình ảnh được tạo ra bởi một thấu kính duy nhất. Tìm bằng cách xây dựng bằng cách sử dụng la bàn và đường thẳng - Hình 11 đường thẳng (không có vạch chia) tất cả các vị trí có thể có của thấu kính, loại thấu kính và tiêu cự của thấu kính. A. Evseev, V. Slovobyanin

Bài toán 3. Hạ cánh mềm Tàu vũ trụ phải hạ cánh trên một hành tinh không có bầu khí quyển và chạm vào bề mặt của nó với tốc độ không vượt quá $v_{п}$, tốc độ này có thể được hấp thụ bởi các bộ giảm xóc. Ở $высоте^{h}$ phía trên bề mặt hành tinh, người chỉ huy tàu cho động cơ phản lực phanh lại, tạo ra lực đẩy hướng lên trên. Độ lớn của $скорость^{v}$ của con tàu tại thời điểm đó là bao nhiêu, hướng thẳng đứng xuống dưới, nếu hóa ra trong quá trình hạ cánh nó tiêu tốn một lượng nhiên liệu tối thiểu? (Nếu có một số tốc độ như vậy thì hãy chỉ ra tất cả.) Tốc độ dòng khối P của nhiên liệu và tốc độ u của dòng khí thoát ra so với lõi bằng 7 W. Xác định tổng công suất được giải phóng bởi các điện trở trong mạch như trên Hình 13. Đặc tính của tất cả các phần tử của mạch không được chỉ định, nhưng các phần tử được chỉ định giống hệt nhau trên sơ đồ có cùng đặc điểm. Các nguồn có thể được coi là lý tưởng. A.Konovalov

Bài toán 5. Công suất tổng Trong mạch như hình 12, công suất tổng được giải phóng vào điện trở

Hình 12

Hình 13

Lớp 11 Bài toán 1. Tam giác và phim Thanh đèn OA và AB được nối bằng bản lề với nhau (Hình 14). Đầu O của thanh OA được gắn bản lề trên một kim đan nhẵn, và ở đầu B của thanh AB một vòng dầu nhỏ được gắn bằng bản lề.