Quả bóng của Perelman

Quả bóng của Perelman

I.AKULICH

CUỐN SÁCH NỔI TIẾNG CỦA NGÀI “Bạn có biết Vật lý không?” (ấn bản đầu tiên của cuốn sách được xuất bản vào năm 1934, sau đó cuốn sách được tái bản nhiều lần) nhà phổ biến cổ điển về khoa học tự nhiên Ya.I. Perelman bao gồm những điều sau đây bài toán: “Một cái thang treo tự do trên một quả bóng bay, bất động trong không khí. Một người đàn ông bắt đầu trèo lên nó. Quả bóng sẽ chuyển động đi đâu: lên hay xuống, và bao nhiêu?” Ở đó, anh ấy cũng đặt cái này lời giải: “Quả bóng sẽ không đứng một mình. Khi một người đang leo cầu thang, quả bóng sẽ hạ xuống. Điều xảy ra ở đây cũng giống như khi bạn đi dọc theo một chiếc thuyền nhẹ neo đậu vào bờ để vào đất liền: chiếc thuyền di chuyển lùi lại dưới chân bạn. Tương tự như vậy, một cái thang, bị chân của người leo lên đẩy xuống, sẽ kéo quả bóng bay về phía mặt đất. Chuyển sang lời giải cái này bài toán Theo quan điểm của các định luật cơ học, chúng ta phải suy luận như thế này. Một quả bóng có một cái thang và một người trên đó đại diện cho một hệ cô lập, trọng tâm của nó không thể bị di chuyển bởi các nội lực. Nó sẽ giữ nguyên vị trí khi một người leo lên cầu thang chỉ khi quả bóng rơi xuống, nếu không thì trọng tâm sẽ tăng lên. Đây chính xác là trường hợp người có thẩm quyền xứng đáng của Ykov Isidorovich đã chơi một trò đùa độc ác, bởi vì bài toán này cùng với những điều trên

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20221002

như người ta nói, quyết định thuộc về người dân. Vì vậy, vào năm 1989, nó đã được xuất bản ở «Kvant» (điều kiện - Số 7, lời giải - Số 9). Người đọc có thể hỏi: có gì sai ở đây? Lời giải khá logic và hợp lý, xét ở mức độ thông thường thì nó có vẻ không thể chê vào đâu được. Cho dù nó thế nào đi chăng nữa! Để làm cho lỗi khá rõ ràng, chúng ta hãy thử giải một lỗi khác (nhưng về cơ bản là giống nhau) bài toán bằng cách sử dụng cùng một phương pháp. Trong lời giải, như chúng ta nhớ, Perelman đã đề cập đến chiếc thuyền. Ở đây chúng tôi sử dụng nó: Trên mặt hồ chứa có một chiếc thuyền nặng 100 kg. Một chiếc thang được hạ xuống từ nó xuống một bể chứa, trên bậc đó ở độ sâu 10 m có một thợ lặn nặng 100 kg. Người thợ lặn leo lên thang cho đến khi tới được thuyền. Con thuyền sẽ di chuyển ở đâu và bao nhiêu? Bài toán thực sự hoàn toàn giống nhau - ở đây chỉ có môi trường tạo ra lực nổi không phải là không khí mà là nước. Nhưng sự khác biệt là gì? Nếu chúng ta giải bài toán bằng cách sử dụng lý luận tương tự như Perelman, thì với khối lượng của thuyền và thợ lặn bằng nhau, chúng ta có thể rút ra một kết luận rõ ràng: thợ lặn và thuyền sẽ gặp nhau ở độ sâu 5 mét dưới nước. Nó như thế nào? Nhưng đáp số hóa ra còn ấn tượng hơn nếu người thợ lặn bắt đầu đi xuống cầu thang thay vì đi lên. Sau đó, khi anh ta ở độ sâu 20 mét, con thuyền sẽ bay lên không trung ở độ cao 10 mét so với mặt nước! Tôi muốn xem cái này - nó phải là một cảnh tượng ấn tượng. Lỗi trong lý luận là gì? Perelman lập luận rằng một quả bóng có một cái thang và một người ở trên đó là một hệ cô lập, trọng tâm của nó không thể bị di chuyển bởi các nội lực. Và dẫn tới

10

KVANT 2022/№10

tương tự như một chiếc thuyền trượt ngang trên mặt nước khi một người đi ngang qua nó. Đúng, đối với một người có thuyền, tổng trọng tâm của họ sẽ giữ nguyên vị trí của nó, nhưng chỉ vì không có ngoại lực nào tác dụng theo hướng chuyển động của người và thuyền (và hệ cô lập trong hình chiếu của nó lên trục mà người đó đi và thuyền di chuyển). Nhưng đối với một quả bóng bay thì điều ngược lại là đúng - hệ không cô lập, vì theo hướng thẳng đứng, các ngoại lực rất đáng kể tác dụng lên tất cả các phần tử của nó. Thứ nhất, đây là lực hấp dẫn và thứ hai là lực nổi của không khí. Họ xác định chuyển động của quả bóng. Đúng, trên thực tế, sự hiện diện của một quả bóng với một người trong không khí ở trạng thái cân bằng chủ yếu được xác định bởi các ngoại lực này chứ không phải bởi bất kỳ chuyển động nào của người đó dọc theo cầu thang. Cái gì, không thuyết phục lắm à? ĐƯỢC RỒI. Vì tiêu chí tốt nhất cho tính đúng đắn của bất kỳ lý thuyết nào là thực hành, chúng ta hãy thực hiện một phép tính và tìm hiểu độ dịch chuyển thực tế của quả bóng sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta chấp nhận một số điều kiện thực tế ít nhiều. Chúng ta hãy mô tả một cách sơ đồ (xem hình) vị trí của quả bóng và người trên cầu thang khi bắt đầu leo ​​lên (ở bên trái) và ở cuối (ở bên phải). Ở đây, người được biểu thị bằng một vòng tròn nhỏ màu đen và quả bóng được biểu thị bằng một vòng tròn lớn màu trắng. Tất nhiên, đã đến lúc đơn giản hóa một số thứ. Đặc biệt, rổ không được rút ra

– một thuộc tính không thể thiếu của bất kỳ khinh khí cầu nào. Nhưng có thể chấp nhận được rằng rổ tạo thành một tổng thể không thể tách rời với chính quả bóng, do đó khối lượng của rổ được tính vào khối lượng của quả bóng. Giỏ nằm ngay dưới đáy quả bóng - gần như ngay bên cạnh nó. Và vì lực nổi đóng một vai trò quan trọng (thậm chí, có lẽ là chính) trong bài toán của chúng ta, nên chúng ta đồng thời lưu ý rằng thể tích riêng của rổ và vỏ quả bóng có thể bị bỏ qua hoàn toàn và lực nổi tác dụng lên chúng có thể được coi là không có. Đối với cầu thang, chúng ta sẽ còn nghiêm khắc hơn - chúng ta sẽ bỏ qua cả khối lượng và thể tích của nó. Vì vậy, trong số các đối tượng đang được xem xét, vẫn còn hai đối tượng: một quả bóng chứa đầy khí và một người. Ta lấy khối lượng của vỏ bi (kể cả rổ) bằng $m_{ш} 200$ kg, khối lượng của người – $m_{ч} 80$ kg. Chúng tôi giả sử rằng quả bóng nằm ở vị trí khá cao - ở độ cao H 1000 m so với mực nước biển và chiều dài của cầu thang sẽ được coi là bằng L 100 m. Theo Perelman, sau khi một người nhô lên từ bên dưới ngay dưới “bụng”, quả bóng sẽ giảm một lượng x nhất định mà chúng ta sẽ tìm kiếm. Hình này hiển thị thêm một đại lượng - bán kính của quả bóng bay $r_{ш}$ (chúng ta sẽ coi nó là hình cầu). Giá trị này không thể được chỉ định; nó sẽ phải được tính toán từ các điều kiện cân bằng. Nhưng nhiều hơn về điều đó một lát sau. Lực nổi do không khí tác dụng lên các vật thể trong đó được xác định bởi mật độ của không khí. Mật độ không khí, như đã biết, giảm theo độ cao (và nhân tiện, chính sự giảm này cho phép bóng bay “lơ lửng” ở một độ cao nhất định - nếu không thì quả bóng sẽ bay lên đến tận cùng của bầu khí quyển). Nhưng nó giảm như thế nào? Về điểm này, thông tin chi tiết còn mâu thuẫn, nhưng có sự phụ thuộc rõ ràng của áp suất không khí trung bình vào độ cao (có giá trị lên đến vài km): ở mực nước biển, áp suất là 760 mm Hg. Nghệ thuật. (hoặc 101,3 $10^{3}$ Pa) và giảm 1 mm Hg. Nghệ thuật. (133,3 Pa) cho mỗi độ cao 12 m. Do đó, tăng 1 m sẽ dẫn đến giảm áp suất