Bài toán M2738—M2741; F2745—F2748

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2738 – M2741 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic Toán học toàn Nga XLIX dành cho học sinh. Bài toán F2745 – F2748 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic Vật lý học sinh toàn Nga LVII.

Bài toán M2738–M2741, F2745–F2748 M2738. Cho các số thực khác nhau $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ và b. Hoá ra là phương trình

$x a_{1} x a_{2}$

$x a_{3}$ b có ba gốc thực khác nhau $c_{1}, c_{2}, c_{3}$. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x_{1}^{c} x_{2}^{c}$

$x_{3}^{c}$ b.

A. Antropov, K. Sukhov

M2739. Cho tam giác nhọn ABC, trong đó AB BC (Hình 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là chân đường cao hạ xuống từ đỉnh B. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua K và song song

Đường thẳng MH cắt đoạn MN tại điểm P. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp được trong tứ giác AMPK. P. Bibikov

M2740. Cho $числа^{a,} b, c$ tự nhiên chẳng hạn như $что^{a}$! 1, b! c! 1 và $число^{abc} 1$ chia hết cho $ab^{b} 1$. Chứng minh b chia hết cho $на^{a.}$ M. Antipov

M2741. Cho số tự nhiên k. Có n cây cột dọc theo con đường đều đặn. Misha sơn chúng bằng k màu và cứ mỗi cặp cột cùng màu, giữa chúng không có cột nào khác cùng màu, anh tính khoảng cách giữa chúng. Tất cả những khoảng cách này hóa ra là khác nhau. Với n lớn nhất thì điều này có thể xảy ra? M. Tikhomirov, F. Petrov

F2745. Một đường ray đồng nhất có mặt cắt ngang không đổi nằm trên các giá đỡ con lăn nhẹ đứng tự do, các trục của chúng nằm ở khoảng cách l 9 m. Các con lăn bắt đầu quay, do đó đường ray di chuyển theo chiều ngang với một tốc độ không đổi nhất định, như trong Hình 2 (không theo tỷ lệ). Có lực kế dưới các giá đỡ. phụ thuộc

Hình 1

Hình 2

31

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Sóng truyền trong mỗi vật liệu chậm hơn khoảng hai lần so với sóng dọc. Do đó, trong vật liệu tấm, ngay cả sóng ngang cũng lan truyền nhanh hơn sóng dọc trong thép khoảng một lần rưỡi. Đầu tiên, hãy xem xét một tình huống mô hình trong đó một vật thể bằng thép chạm vào một bề mặt hoàn toàn cứng. Trong trường hợp này, ngay sau khi tiếp xúc với bề mặt, một sóng xung kích xảy ra, tạo ra áp suất trong thép xấp xỉ $U uv_{cт} | 18$ GPa. Giá trị này nhỏ hơn độ cứng vi mô của cacbua boron, khoảng ba lần và tương đương với cường độ cắt. Do đó, khi một viên đạn chạm vào bề mặt cacbua boron, vật liệu của tấm bảo vệ có thể tách thành từng mảnh, nhưng những bộ phận này có tốc độ gần như nhau và do vật liệu tấm (cacbua boron) sẽ di chuyển theo hướng của viên đạn, tốc độ tương đối của viên đạn và tấm bảo vệ trở nên nhỏ hơn, và do đó áp suất trong sóng xung kích sẽ nhỏ hơn ước tính đã cho là 18 GPa. Sự lan truyền của cả sóng dọc và sóng ngang trong vật liệu tấm dẫn đến khối lượng của vật liệu tấm tham gia vào chuyển động sẽ tương đương và thậm chí lớn hơn khối lượng thép đã “cảm nhận” được tác động. Việc ước tính tỷ lệ khối lượng này dựa trên giả định rằng độ dày của tấm phải xấp xỉ bằng kích thước dọc của viên đạn, tức là L | 1 cm. Trong trường hợp này, khi viên đạn dừng hoàn toàn (so với tấm), các sóng dọc trong tấm có thể truyền đi quãng đường gấp ba lần độ dày của tấm và sóng ngang có thể lan truyền đến khoảng cách gấp 1,5 lần kích thước của viên đạn. Như vậy, trong thời gian viên đạn dừng lại, một thể tích của tấm bằng xấp xỉ $1,5^{2} S L^{3}$ chuyển động. Khối lượng cacbua boron này có khối lượng xấp xỉ gấp đôi khối lượng của viên đạn. Tốc độ di chuyển của tổng khối lượng như vậy đã nhỏ hơn 3 lần so với tốc độ của một viên đạn. Và nếu tấm có kích thước 5 u 5 u 1 cm thì khối lượng của nó xấp xỉ 320 g, và trong trường hợp này

“QUANTA”

sau khi toàn bộ khối lượng của tấm tham gia chuyển động thì tốc độ chuyển động của hệ “đạn-tấm” giảm xuống giá trị 10 500 320 m s | 15 phút giây. Tác động của một cú đánh như vậy có thể so sánh hoặc đơn giản giống như tác động của một hòn đá nặng 320 g, bay với tốc độ 15 m/s, lên một diện tích có kích thước 5 x 5 cm. Tất nhiên, một đòn như vậy sẽ nhạy cảm nhưng không gây tử vong.

F2736. Một sợi dây quấn thành vòng bao quanh các ròng rọc của hai khối có trục đối xứng nằm ngang và song song. Nhìn từ bên cạnh, sợi dây trông đối xứng, được xoay 90q theo hình số tám (f). Các trục nằm cách nhau 2 mét trên cùng một mặt phẳng nằm ngang và bán kính của các ròng rọc là như nhau. Một thanh thẳng dài, dài 3m, đều, mặt cắt tròn được đặt vào rãnh của ròng rọc phía trên (phía trên một sợi dây mỏng). Khi sợi dây chuyển động chậm (với tốc độ không đổi tại từng điểm ở mỗi vị trí trên dây), thanh chuyển động từ vị trí này sang vị trí khác, thanh trượt dọc theo một trong các ròng rọc, còn thanh di chuyển dọc theo ròng rọc kia mà không bị trượt. Tại thời điểm dừng lại, khoảng cách từ hai đầu thanh đến điểm tiếp xúc gần nhất giữa thanh và ròng rọc chênh lệch nhau một lần rưỡi. Sau khi dừng lại, thanh thay đổi hướng vận tốc và trạng thái trượt và không trượt đối với các ròng rọc bị đảo ngược. Tại một thời điểm nào đó, tốc độ của sợi dây tăng lên và lúc này thanh di chuyển về phía trước thực hiện dao động điều hòa với chu kỳ 3 giây. Hệ số ma sát khi thanh trượt dọc theo ròng rọc là bao nhiêu? Hệ số ma sát tĩnh cực đại là bao nhiêu?

Khi sợi dây chuyển động chậm tại thời điểm thanh dừng lại, lực ma sát tác dụng lên thanh từ các ròng rọc sao cho một trong các lực tương ứng với lực ma sát trượt, còn lực kia tương ứng với lực ma sát tĩnh. Vì chúng (lực ma sát) tại thời điểm này bằng nhau nên tỉ số