Các tam giác đều phụ

Kvant 2023, số 3 tr. 39, 40, 41, 48, 49, 51, 54, 55, 58 Thẻ 6NFB

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

TRƯỜNG KVANT

M.VASILIEV, T.KORCHEMKINA

sự khác biệt giữa các góc mà chúng ta biết là 100 q 40 q 60 q. Động lực của việc xây dựng một tam giác đều phụ cũng là các đoạn thẳng AD và BC nằm ở vị trí “bất tiện”. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy dựng một tam giác đều ADE (Hình 1) và lấy một góc khác 40q ở đỉnh A. Sau đó

Khả năng thực hiện các công trình BỔ SUNG luôn là chìa khóa thành công cho các công trình lời giải hình học phức tạp bài toán. Không có gì bí mật rằng rất khó để xây dựng các hướng dẫn chính xác và rõ ràng để lựa chọn và áp dụng công trình này hoặc công trình kia, nhưng thường trong điều kiện bài toán có “đèn hiệu” - gợi ý cho phép bạn đoán những đường bổ sung nào sẽ được vẽ. Do đó, thực tế cho thấy rằng việc kéo dài đường trung bình của một tam giác theo chiều dài của nó có thể hữu ích và việc cộng đặc biệt các điểm giữa của các đoạn và sau đó xem xét đường trung bình của các tam giác tương ứng sẽ giúp giải quyết bài toán. Các cách dựng bổ sung điển hình như vậy cũng có thể bao gồm một cách an toàn phương pháp “cân chỉnh tổng”, các cách dựng hình tiêu chuẩn trong hình thang, phương pháp đường tròn phụ, v.v. Một kỹ thuật phức tạp hơn đòi hỏi sự khéo léo hơn và xuất hiện trong các bài toán Olympic là tìm kiếm và dựng các đa giác đều hoặc các phần tử của chúng. Những độc giả quan tâm sẽ thấy ý tưởng này, chẳng hạn như trong bài viết “Các hình vuông phụ” của E. Bakaev và A. Blinkov («Kvant» Số 4, 2016). Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra những trường hợp nào tam giác đều giúp giải được bài toán. Bài toán 1. Trong tam giác cân ABC, góc ở đỉnh A là 100q. Trên đoạn tiếp theo của AB vượt qua điểm B, lấy một điểm D sao cho AD BC. Góc BCD là gì? Lời giải. Làm thế nào để đoán được yêu cầu xây dựng bổ sung? Lưu ý rằng các góc ở đáy BC của tam giác cân ABC bằng 40q, nghĩa là

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230305

Hình 1

tam giác BAC và ACE có hai cạnh bằng nhau (AB AC, BC AE) và góc xen giữa ( ABC CAE) nên ACE BAC 100 q. Ngoài ra, các tam giác DAC và DEC có ba cạnh bằng nhau, do đó ACD ECD 50 q và cuối cùng,

BCD

ACD ACB

50 q 40 q

10 q.

Theo quy luật, như chúng ta thấy trong ví dụ về bài toán trước đó, sau khi thực hiện việc xây dựng bổ sung, bước cuối cùng trong lời giải là tìm kiếm các hình tam giác bằng nhau. Bài toán 2. Bên trong tam giác cân ABC có đáy BC có một điểm M sao cho MBC 30 q, MCB 10 q. Tìm góc AMC nếu BAC 80 q. Lời giải. Vì góc ở đỉnh của một tam giác cân là 80q nên các góc ở đáy sẽ là 50q. Từ đây bạn có thể tính được các góc MBA 20 q và MCA 40 q. Việc một tam giác cân được đưa ra trong điều kiện đã gợi ý về những lợi ích có thể có của việc xây dựng một tam giác đều. Thật vậy, bằng cách dựng tam giác đều ABD như trong Hình 2, chúng ta thu được CBD 60 q 50 q 10 q và tam giác cân DAC. Trong tam giác này góc ở đỉnh bằng

TRƯỜNG HỌC

TRONG

“QUANTE”

Hình 2

BAC BAD 80 q 60 q 20 q, do đó DCA 80 q, và BCD 80 q 50 q 30 q. Như vậy, các tam giác BMC và CDB có cạnh BC bằng nhau và các góc kề với nó có số đo độ là 10q và 30q, nghĩa là các cạnh MC BD AC bằng nhau. Khi đó trong tam giác cân ACM có góc ở đỉnh là 40° thì góc AMC cần bằng 70°.

Bài tập 1. Tìm cách khác lời giải bài toán 2 sử dụng tam giác đều dựng trên AC. Người đọc học được không kém phần hay lời giải bài toán từ bài viết của V. Prasolov “Các đường chéo của 18 cạnh đều” («Kvant» Số 5, 1995).

Thông thường, khi bạn nhìn vào một bức vẽ lần đầu tiên, sẽ nảy sinh một số ý tưởng hợp lý để xây dựng một tam giác phụ. Tuy nhiên, điều gây tò mò là hầu như mỗi phương pháp nghĩ đến đều cho phép (với mức độ phức tạp khác nhau) đạt đến đáp số. Ví dụ: điều này đúng cho một số bài toán tiếp theo. Bài toán 3. Bên trong tam giác ABC có điểm M sao cho AM BM, MBA 10 q, MBC 20 q và MAC 40 q. Tìm góc MCA. Lời giải. Vì vậy, loại tam giác nào có thể hữu ích ở đây (Hình 3)? Một mặt, nếu dựng tam giác đều ABK có đáy AB sao cho điểm M và C nằm trong tam giác thì BC sẽ là phân giác và CAK MAB MBA 10 q. Bạn cũng có thể sử dụng các cạnh AM và BM bằng nhau bằng cách dựng các tam giác đều AMN hoặc BML. Trong mỗi trường hợp, ngoài các cạnh bằng AM và MB còn xuất hiện các góc bằng các góc đã cho trong điều kiện.

Hình 3

Trên thực tế, mỗi cách xây dựng được liệt kê ở trên đều giúp giải quyết bài toán, nhưng chúng ta sẽ đi sâu vào chi tiết hơn về tam giác AMN, vì dọc theo đó, nó sẽ dẫn đến những sự thật thú vị khác. Thật vậy, do điều kiện và cách xây dựng bổ sung nên có thể tính được góc BMN 360 q 180 q 2 10 q – 60q 140 q. Vì MN = AM = BM nên tam giác MBN là cân và MBN 20 q MBC. Điều này có nghĩa là các điểm B, C và N nằm trên cùng một đường thẳng! Bây giờ hãy xét tam giác ANC. Nó có ANC ANM MNB 60 q 20 q 80 q và ACN CAB ABC 30 q 50 q 80 q là góc ngoài của tam giác ABC. Như vậy tam giác ANC là tam giác cân nhưng tam giác ACM cũng sẽ cân. Từ đây dễ dàng tính được MCA 70 q.

Bài tập 2. Giải bài toán trước bằng tam giác ABK.

bài toán tiếp theo từ lâu đã được đưa vào văn hóa dân gian toán học và đã nhiều lần xuất hiện tại nhiều cuộc thi Olympic khác nhau. Chúng ta sẽ nói về một tam giác cân có góc ở đỉnh là 20° và góc đáy là 80°. Các đặc tính thú vị của nó đã truyền cảm hứng cho nhiều bài toán và nghiên cứu mới. Một trong những bài toán tuyệt vời này có thể được tìm thấy trong bài viết của K. Knop “Lịch sử với hình học, hoặc Chín lời giải của một bài toán” («Kvant» Số 3, 1993). Bài toán 4. Trong tam giác ABC, các góc ABC và ACB bằng 80q. Ở phía AB được đánh dấu

KVAN T 2023/№3

Hình 4

sao cho một điểm P sao cho BPC 30 q. Chứng minh rằng AP BC. Lời giải. Một gợi ý để dựng tam giác đều phụ là 80 q 60 q 20 q. Tùy thuộc vào cách bạn “trừ” chính xác góc 60q, bạn có thể dựng các tam giác ABE, ACD hoặc BCF (Hình 4). Một lần nữa, mỗi tam giác này đều có kết quả là lời giải bài toán. Ở đây chúng ta sẽ cho lời giải sử dụng tam giác BCF. Tam giác ABF và ACF có ba cạnh bằng nhau, tức là BAF CAF 10 q và ABF ACF 80 q 60 q 20 q. Theo tính chất góc ngoài BPC của tam giác APC ta thu được ACP 30 q 20 q 10 q. Như vậy, trong các tam giác APC và CFA, các góc 10q và 20q kề cạnh AC, điều này suy ra hai tam giác APC và CFA và AP CF BC bằng nhau.

Bài tập 3. Hoàn thành các suy luận liên quan đến tam giác ABE và ACD.

Bài toán 5 (E. Bakaev, Olympic Toán LXXIX Moscow, 2016). Trên đường trung tuyến AM của tam giác ABC có điểm K sao cho AK BM. Ngoài ra, AMC 60 q. Chứng minh rằng AC BK. Lời giải. Sự hiện diện của một góc 60q và nhiều đoạn bằng nhau gợi ý rõ ràng về việc xây dựng một tam giác đều phụ. Phương pháp cổ điển lời giải gợi ý kéo dài đường trung tuyến AM và dựng tam giác BMD (Hình 5), nhưng tam giác đều EMC cũng hữu ích. Thật vậy, bất kể vị trí của các điểm K và E trên AM, các đoạn AE và KM bằng tổng hoặc hiệu độ dài của các đoạn ME AK và đoạn EK.

Hình 5

Ngoài ra, theo xây dựng của CE BM. Để các tam giác AEC và KMB bằng nhau chỉ có hai góc AEC và BMK là không bằng nhau mà cả hai góc này đều kề với các góc 60q nên có ‘AEC’ BMK và AC BK. Bài toán 6 (E. Bakaev, Olympic Toán học LXXXII Moscow, 2019). Trong tam giác cân ABC lấy điểm K sao cho KAC 30 q và AB BC CK. Tìm góc AKB. Lời giải. Trong bài toán này, một lần nữa, có một số cách để tìm đáp số bằng cách sử dụng một tam giác đều. Dựng tam giác đều ACL (Hình 6) sẽ biến AK thành phân giác, đường trung tuyến và đường cao, còn dựng tam giác đều ABP hoặc BMC sẽ cộng các tam giác cân. Chúng tôi dành cho người đọc hai phương pháp đầu tiên như một bài tập; chúng cũng có thể được tìm thấy trong cuốn sách “Olympic Toán học LXXXII Moscow”

Hình 6

TRƯỜNG HỌC

piada. Bài toán và lời giải". Ta sẽ xét lời giải thu được khi sử dụng tam giác BMC. Đặt BAK D. Khi đó, theo AB BC, ta có ACB BAC 30 q D, và từ tam giác ABC ta tính được ABM ABC MBC 180 q 2 30 q D 60 q 60 q 2 D. Hơn nữa, xét đến thực tế là tam giác BAM cũng là tam giác cân, ta thu được

CAM

BAM BAC

1 180 q 60 q 2 D D 30 q 2

30 q

KAC.

Bây giờ chúng ta xét các tam giác AKC và AMC. Phía AC là chung đối với họ, cả CK CM và, như đã được chứng minh ở trên, KAC MAC. Ở đây chúng ta sẽ sử dụng một mệnh đề nổi tiếng được gọi là dấu thứ tư của sự bằng nhau của các tam giác hoặc dấu hiệu của bán đẳng thức của các tam giác: nếu hai cạnh của tam giác thứ nhất bằng hai cạnh của tam giác thứ hai và góc đối diện với một trong các cạnh của tam giác thứ nhất bằng góc đối diện với cạnh tương ứng của tam giác thứ hai, thì các tam giác này bằng nhau hoặc các góc đối diện với hai cạnh tương ứng bằng nhau còn lại cộng lại bằng 180q. Theo đó, KCA MCA và ’ AKC ’ AMC hoặc KCA MCA 180 q. Điều thứ hai là không thể, vì KCA MCA KCM MCB 60 q, và do đó ’ AKC ’ AMC và AK AM, đặc biệt từ đó suy ra tam giác AKM cũng là tam giác đều. Khi đó AK KM và các tam giác ABK, MBK có ba cạnh bằng nhau, nghĩa là

AKB

MKB

1 360 q 60 q 2

TRONG

“QUANTE”

Điểm Torricelli của một tam giác là điểm mà từ đó ba tia hướng tới các đỉnh của tam giác tạo thành các góc 120° với nhau. Bài toán 7 (Điểm Fermat–Torricelli). Tìm bên trong tam giác ABC, trong đó tất cả các góc đều nhỏ hơn 120°, một điểm M, tổng khoảng cách từ đó đến ba đỉnh là nhỏ nhất. Lời giải. Chúng ta dựng các tam giác đều phụ ACE, BCD và ABF ở mỗi cạnh của tam giác ABC hướng ra ngoài (Hình 7). Cho M là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC. Bây giờ chúng ta nối điểm M với các đỉnh và dựng tam giác đều AMN. Hãy chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến các đỉnh của tam giác ban đầu bằng độ dài đoạn thẳng đứt đoạn BMNE. Xét các tam giác ANE và AMC. Bằng cách xây dựng, AM AN, AC AE, cũng như MAC 60 q CAN EAN, ngụ ý sự bằng nhau của các tam giác đang được xem xét và các cạnh tương ứng MC và NE của chúng. Như vậy AM BM CM BM MN NE. Cách xây dựng này cũng cho phép chúng ta hiểu tổng khoảng cách tối thiểu bằng bao nhiêu. Thật vậy, với mọi điểm M, bất đẳng thức BM MN NE t BE đúng và đẳng thức đạt được khi và chỉ khi các điểm B, M, N và E nằm trên cùng một đường thẳng (theo thứ tự đã chỉ ra). Bây giờ hãy xây dựng kết quả sao cho các điểm M và N nằm trên đoạn BE

150 q.

Tam giác đều phụ có thể hữu ích không chỉ cho lời giải bài toán. Vì vậy, sử dụng phương pháp này có thể chứng minh việc xây dựng điểm Fermat–Torricelli mà không cần dùng đến đường tròn. Điểm Fermat là một điểm trên mặt phẳng, tổng khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác là nhỏ nhất.

Hình 7

KV A N T 2023/Số 3

phòng của người thí nghiệm, nếu biết con ốc sên luôn chuyển động theo đường thẳng với cùng vận tốc u 12 cm min thì các viên gạch trong phòng tắm nằm sát nhau và các tấm thảm cũng vậy. A. Evseev

Bài toán 2. Sân vận động MIPT Đường chạy tại sân vận động MIPT có 4 đường chạy, mỗi đường d rộng 1,22 m (Hình 2). Đường đi gồm hai đường thẳng

Hình 2

các đoạn tuyến tính có chiều dài l 84,39 m và hai đoạn có dạng hình bán nguyệt có bán kính R. Bán kính quỹ đạo của vận động viên, hay bán kính hiệu dụng, trên đường chạy đầu tiên là $R_{1} 36,80$ m. 1) Tìm độ dài hiệu dụng $L_{1}$ của một vòng tròn của rãnh đầu tiên. 2) Xác định khoảng cách ’ $l_{12}$ , ’ $l_{23}$ , ’ $l_{34}$ , vạch xuất phát phải nằm trên các đường đua khác nhau trên các đoạn thẳng sao cho độ dài của khoảng cách 3 vòng trùng nhau, miễn là đích về đích nằm ở vạch xuất phát của đường đua đầu tiên. 3) Tốc độ trung bình của một vận động viên chạy 6 vòng dọc theo đường đua đầu tiên có thể có giá trị bao nhiêu nếu anh ta xác định thời gian chạy đua của mình bằng đồng hồ sân vận động (chính xác đến từng phút)? Vận động viên xuất phát lúc 13h và về đích lúc 13h13. Biểu thị tốc độ trung bình tối đa và tối thiểu theo cả km h và ms. Ghi chú. Độ dài của một đường tròn có bán kính R bằng 2 S R, trong đó S là 3,1416. D.Rubtsov

Bài toán 3. Sô cô la và caramel Khi sản xuất kẹo, sô cô la trắng nóng có mật độ $U_{1} 1,20$ g $см^{3}$ được đổ vào bình có thể tích V 16,0 l. Khi bình chứa đầy 60%, thay vì sô cô la, họ bắt đầu đổ caramen có mật độ $U_{2} 1,52$ g $см^{3}$ vào đó với tốc độ P 0,60 l phút. Quá trình tự động hóa được cấu hình để xác định mật độ trung bình của lượng chứa trong bình và khi mật độ trung bình vượt quá $U_{1}$ 10%, việc cung cấp caramen vào bình sẽ dừng lại. Sự thay đổi thể tích chất lỏng khi trộn có thể bỏ qua. Mất bao nhiêu phút để phục vụ caramen? V. Slobodyanin

Bài toán 4. Bắt kịp Hai ô tô cùng lúc xuất phát từ điểm A đến điểm B trên một đoạn đường thẳng. Được biết, ô tô thứ nhất chuyển động với vận tốc không đổi $v_{1}$ không dừng lại cho đến điểm B. Đến điểm B, ô tô dừng lại chờ ô tô thứ hai đến. Xe thứ hai chuyển động với vận tốc không đổi $v_{2}$ nhỏ hơn $v_{1}$ . Sau một thời gian, người đó dừng lại và khi ô tô đầu tiên đến điểm B, người đó lại tiếp tục chuyển động với vận tốc như cũ $v_{2}$ . Hình 3 thể hiện biểu đồ khoảng cách giữa các ô tô theo thời gian tính đến thời điểm $t_{1} 4$ phút. Vào thời điểm $t_{2} 14$ phút hai xe gặp nhau. 1) Xác định tốc độ của ô tô $v_{1}$ và $v_{2}$ . 2) Xe thứ hai đứng yên trong bao lâu? 3) Tìm khoảng cách L giữa hai điểm A và B. A. Evseev

Hình 3

lớp 8

OLI MP IA DY

Bài toán 1. Dọc theo một đường ống Hai quả bóng nhỏ, nhẹ, đàn hồi chuyển động bên trong một đường ống lớn, nhẵn, đóng kín hai đầu, nằm ngang. Tại thời điểm đó, khi các quả bóng ở giữa đường ống, tốc độ của chúng so với mặt đất bằng v và 2v, và đường ống bắt đầu chuyển động với tốc độ không đổi 0,1v, như trong Hình 4. Chiều dài của đường ống là 2L.

Hình 4

Sau khoảng thời gian nào $W_{1}$ quả bóng bên trái lần đầu tiên sẽ va chạm với thành cuối của ống? 2) Sau khoảng thời gian nào $W_{2}$ quả bóng bên phải sẽ va chạm lần đầu tiên với thành cuối của ống? 3) Sau bao lâu thì hai quả bóng va chạm với nhau lần đầu tiên? 4) Tìm vận tốc của các quả bóng $u_{1}$ bên trái và $u_{2}$ bên phải so với mặt đất ngay trước khi chúng va chạm lần đầu. Coi sự va chạm của quả bóng với thành cuối của ống là đàn hồi tuyệt đối. Ghi chú. Do một va chạm đàn hồi tuyệt đối, tốc độ của quả bóng so với tường vẫn giữ nguyên độ lớn như trước khi va chạm nhưng theo hướng ngược lại. O. Inisheva

Bài toán 2. Ống cong Một ống cong có tiết diện không đổi chứa đầy chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác nhau, như trong Hình 5. Ở đầu bên trái của ống, được đậy bằng nút chặn, không khí bị giữ lại dưới áp suất $0,8p_{0}$ , trong đó $p_{0}$ là áp suất khí quyển, bằng áp suất thủy tĩnh của một cột chất lỏng có mật độ U cao 10h. Đầu bên phải của ống thông với khí quyển, hệ thống ở trạng thái cân bằng. 1) Xác định hệ số k của mật độ chất lỏng (xem hình 5). 2) Bề mặt tự do của chất lỏng sẽ dịch chuyển theo hướng nào và bao nhiêu?

Hình 5

ở khuỷu tay phải của ống ở trạng thái cân bằng mới nếu tháo phích cắm ra? A. Seitov

Bài toán 3. Người thực nghiệm qua lại Gluck đã tiến hành một thí nghiệm. Gluck đặt một cái chảo 10 lít chứa đầy nước ở nhiệt độ phòng $t_{0} 20 q C$ để hâm nóng trên bếp điện. Sau một thời gian, anh ta thêm một lượng nước không xác định ở nhiệt độ phòng vào chảo mà không lấy ra khỏi bếp. Và sau một thời gian nữa, anh ta đổ cùng một lượng nước từ chảo mà không cần lấy ra khỏi bếp. Sau đó, anh ấy đo nhiệt độ của nước trong chảo hai lần - sau $W_{1} 8$ phút và $W_{2} 9$ phút kể từ khi bắt đầu đun nóng và thu được các giá trị $t_{1} 45 q C$ và $t_{2} 50 q C$ . Tổng cộng, gạch đã hoạt động được 10 phút. 1) Nước trong chảo sẽ có nhiệt độ bao nhiêu $t_{к}$ khi kết thúc thí nghiệm nếu khối lượng của nó không thay đổi trong quá trình đun nóng? 2) Xác định giá trị nhỏ nhất có thể có của khối lượng $m_{min}$ của nước được Gluck thêm vào trong thí nghiệm. 3) Tìm thời điểm sớm nhất $W_{min}$ kể từ khi bắt đầu đun nóng để nước có thể rút ra khỏi chảo. Tổn thất nhiệt và nhiệt dung của chảo không đáng kể. Hãy xem xét rằng khi bạn thay đổi khối lượng nước, nhiệt độ của nó sẽ thay đổi ngay lập tức và khi bạn thêm nước, nó sẽ không đổ ra khỏi chảo. Nhiệt dung riêng

OLI MP IA DY

Hình 10

đặt một vật nặng không dẫn điện có khối lượng 1 kg lên pít-tông, ampe kế hiển thị cường độ dòng điện $I_{1} 2,31$ A. Nếu đặt 3 vật nặng như vậy lên một pít-tông lớn thì ampe kế sẽ hiển thị cường độ dòng điện $I_{2} 2,1$ A. 1) Xác định điện trở của ampe kế $R_{A}$ , với điều kiện dây nối và pít-tông có điện trở không đáng kể. 2) Xác định cường độ dòng điện mà ampe kế hiển thị khi không có vật nặng đặt trên piston. 3) Cường độ dòng điện trong hệ thống lắp đặt có thể thay đổi trong giới hạn nào nếu có sẵn nhiều lựa chọn tải? Chúng ta có thể giả sử rằng ống nối có tiết diện nhỏ không đáng kể. Độ dẫn điện của nước cũng rất thấp. Mật độ của nước là U 1000 kg $м^{3}$ . A. Evseev

Bài toán 4. Vanya và Masha đã tiến hành 2 thí nghiệm là gì. Trong thí nghiệm đầu tiên, một cái chảo 10 lít chứa đầy nước ở nhiệt độ phòng $t_{0} 20 q C$ được đun nóng trên bếp có công suất P 1,4 kW trong W trong 10 phút. Đồng thời, $W_{1} 5$ phút sau khi bắt đầu thí nghiệm, một lượng nước nhất định ở nhiệt độ phòng được thêm vào chảo mà không cần lấy ra khỏi bếp, và sau $W_{2} 3$ phút nữa, cũng không lấy chảo ra khỏi bếp, lượng nước tương tự được đổ ra khỏi chảo. Trong thí nghiệm thứ hai, trong cùng điều kiện ban đầu, dòng chảy lên và xuống được hoán đổi cho nhau mà không làm thay đổi tổng thời gian của thí nghiệm, thời điểm thao tác và lượng nước thêm vào và thoát ra. Nhiệt độ cuối cùng của nước trong chảo ở cả hai thí nghiệm là như nhau. 1) Khối lượng nước đã thêm vào trong thí nghiệm là bao nhiêu?

Hỏi nhiệt độ của nước trong chảo lúc kết thúc thí nghiệm là bao nhiêu? 3) Nhiệt độ tối đa của nước trong chảo trong mỗi thí nghiệm là bao nhiêu? Hãy xem xét rằng việc đổ đầy và thoát nước xảy ra rất nhanh. Nhiệt lượng tỏa ra và nhiệt dung của chảo không đáng kể, nước không sôi trong quá trình thí nghiệm. Nhiệt dung riêng của nước là c 4,2 kJ kg q C, khối lượng riêng của nước là U 1000 kg $м^{3}$ . A. Evseev

Bài toán 5. Chuyển động dọc theo nan hoa Các điểm vật liệu B và C được nối với nhau bằng các sợi chỉ không dãn AB và BC (Hình 11). Điểm C có thể trượt dọc theo một kim đan dài thẳng đứng cố định, đầu A của sợi AB cũng được gắn vào. Tại thời điểm như hình vẽ, sợi chỉ BC tạo một góc M 30 q với phương thẳng đứng và vuông góc với sợi AB, vận tốc của điểm C hướng xuống dưới bằng v, gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng a W và điểm B chuyển động trong mặt phẳng hình vẽ. Mình sẽ kéo sợi - Hình 11 bạn nhé. Hóa ra gia tốc của điểm C tại thời điểm đang xét bằng 0. 1) Xác định mô đun vận tốc $v_{B}$ của điểm B tại thời điểm đang xét. 2) Xác định độ dài $l_{BC}$ của ren BC. 3) Xác định mô đun gia tốc $a_{B}$ của điểm B tại thời điểm đang xét. A.Uymin

Lớp 10 Bài toán 1. Nhà thí nghiệm thăm dò Gluck đã thiết kế một máy thăm dò khí quyển bao gồm một quả cầu có thể tích $V 20 м^{3}$ chứa đầy khí heli ở áp suất $p_{0} 100$ kPa và nhiệt độ $T_{0} 300$ K, và một bộ cảm biến khí tượng được treo trên đó. 1) Với khối lượng tối đa của cảm biến, tàu thăm dò có thể đạt tới độ cao 4 km? 2) Độ cao tối đa mà một quả bóng như vậy có thể đạt được khi không có cảm biến là bao nhiêu? Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của áp suất không khí vào độ cao so với bề mặt Trái đất được trình bày trên Hình 12. Giả sử nhiệt độ

KV A N T 2023/Số 3

Sự phụ thuộc của số chỉ vôn kế vào khối lượng của tải đặt trên bệ, có tính đến biến dạng nhỏ của dầm, có thể được trình bày dưới dạng $U J m^{n}$ , trong đó n là số nguyên, J là hệ số tỉ lệ. 3) Xác định n và J. 4) Bây giờ giả sử rằng đường không biến dạng kéo dài một khoảng x d 4 tính từ mặt trên của dầm. Trong trường hợp này, tính số chỉ của vôn kế khi đặt tải khối lượng m lên bệ. 5) Cân được chuyển đến phòng ấm hơn, khiến cân nóng lên. Trong quá trình nung nóng cân, chùm tia thay đổi chiều dài, biến dạng tương đối của nó là $H_{3}$ (thứ tự độ lớn $H_{1}$ Và $H_{2} ).$ Sự thay đổi độ dày và chiều rộng của dầm có thể bỏ qua. Trong trường hợp này, tính số chỉ của vôn kế khi đặt tải khối lượng m lên bệ. (Đường không biến dạng chạy qua giữa dầm.) Khi lời giải bài toán Xét các đại lượng đã biết sau: E – điện áp nguồn điện; k - hệ số biến dạng của điện trở số 1 và số 2; m - khối lượng tải đặt trên cân; D là hệ số tỷ lệ giữa bán kính cong của chùm tia tại nơi gắn các điện trở và khối lượng của tải trọng công suất âm thứ nhất; d - chiều dày của dầm biến dạng; $H_{3}$ - độ giãn dài tương đối của dầm khi được nung nóng. Giá trị điện trở $R_{0}$ coi đó là điều chưa biết. Yu. Chernikov

áp dụng vào ống bọc không quay để đẩy nó qua lỗ, mức độ chuyển động được thể hiện trên Hình 20, b. Giá trị lớn nhất của lực là $F_{0}$ . Lực này cần thiết để thắng lực ma sát khô, và phản lực bình thường tác dụng lên diện tích bề mặt của ống bọc từ phía thành lỗ không phụ thuộc vào tốc độ và vận tốc góc của ống bọc. Bề mặt của ống bọc và lỗ đồng đều và giống hệt nhau dọc theo toàn bộ chiều dài. Tọa độ x0 tương ứng với vị trí của tay áo vừa bắt đầu đi vào tấm. 1) Ở giá trị tối thiểu nào $v_{0} v_{min}$ ống bọc sẽ bay qua lỗ (vận tốc góc ban đầu $Z_{0}$ luôn không đổi)? 2) Điều gì sẽ bằng trong trường hợp này (tại $v_{0} v_{min} )$ vận tốc góc $Z_{1}$ chuyển động quay của ống bọc tại thời điểm ống bọc nằm hoàn toàn bên trong tấm? 3) Sau bao lâu W kể từ thời điểm đi vào lỗ với tốc độ ban đầu $v_{0} t v_{min}$ ống bọc sẽ hoàn toàn nằm bên trong tấm? A. Apollonsky

Lớp 11 Bài toán 1. Ống xoay Một ống hình trụ có thành mỏng khối lượng m, quay với tốc độ góc $Z_{0}$ quanh trục của nó, bay với tốc độ $v_{0}$ vào một lỗ trên tấm thép (Hình 20,a). Trục của ống bọc và lỗ trùng nhau, bán kính ngoài của ống bọc R bằng bán kính của lỗ, chiều dài của ống bọc l bằng độ dày của tấm. Đồ thị lực cần thiết

Bài toán 2. Làm thế nào để đo sức căng bề mặt? Trong trường hấp dẫn, một thanh AB có khối lượng m, chiều dài L được treo bằng hai sợi dây không dãn không trọng lượng vào thanh CD nằm ngang. Các sợi chỉ được gắn vào các đầu của thanh và nằm theo chiều dọc (Hình 21, a). Sau khi nhúng hệ thống vào một chất lỏng không xác định và sau đó lấy nó ra khỏi chất lỏng, một màng chất lỏng hình thành trong khoảng trống giữa các sợi chỉ, thanh và thanh, và bản thân hệ thống có dạng như trong Hình 21, b. Trong trường hợp này, khoảng cách tối thiểu giữa các sợi chỉ bằng d và khoảng cách giữa thanh và thanh bằng h. 1) Xác định hệ số căng bề mặt của chất lỏng V. 2) Tính giá trị V tại L 10 cm, m 2 g, d 5 cm, h 8,7 cm. A. Apollonsky

Hình 20

Hình 21

OLI MP IA DY

Bài toán 3. Hình thang của Lord Kelvin Trong kho lưu trữ của Lord Kelvin, người ta đã tìm thấy sơ đồ của một quá trình tuần hoàn được thực hiện với một lượng khí hai nguyên tử lý tưởng không đổi, biểu thị một hình thang trong tọa độ pV. Theo thời gian, mực đã mờ đi và trong Hình 22 chỉ còn nhìn thấy hình thang. Được biết, trong Hình 22, nhiệt dung trong mỗi quá trình ab, bc, cd, da là không đổi và $С_{bc} С_{da}$ ! $C_{ab} C_{cd}$ . Người ta còn biết rằng nhiệt độ cực đại của chất khí trong chu trình bằng $T_{1} 400$ K, nhiệt độ của một cặp điểm a, b, c, d bằng nhau và bằng $T_{2} 200$ K. 1) Chỉ dùng compa và thước không chia, khôi phục vị trí của trục tọa độ p và V. Lưu ý. Không cần thiết phải mô tả cách xây dựng các đường thẳng song song và vuông góc đi qua một điểm cho trước, chia một đoạn làm đôi và các quy trình hình học tiêu chuẩn tương tự. 2) Xác định nhiệt độ $T_{a}, T_{b}, T_{c}, T_{d}$ lần lượt tại các điểm a, b, c, d. 3) Tìm hiệu suất của chu trình K. A. Uymin

Bài toán 4. Mật độ điện tích hình trụ và phi tuyến Một lưỡng cực - một thanh cứng có chiều dài H với điện tích q và q ở hai đầu - nằm trên trục của một ống hình trụ có thành mỏng bán kính R và chiều cao H (Hình 23). TRÊN

Ống được tích điện có mật độ bề mặt V, phụ thuộc vào khoảng cách x đến mặt phẳng đáy dưới theo định luật

V x

$V_{0} sin^{2}$

S x, 2 H trong đó $V_{0}$ ! 0. Tìm hướng và độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên lưỡng cực tại vị trí mà điện tích q và q của nó lần lượt ở tâm của đáy dưới (điểm O) và tâm của đáy trên (điểm B). K.Solomatin

Bài toán 5. Chuyển động trong trường chéo Một hạt nhỏ có khối lượng m mang điện tích dương q chuyển động trong điện trường và từ trường chéo. Vectơ của điện trường đều có cường độ E hướng dọc theo trục y (Hình 24).

Hình 24

Vectơ cảm ứng từ trường có hướng dọc theo trục z, vuông góc với mặt phẳng xy và giá trị của nó chỉ phụ thuộc vào tọa độ y theo định luật B D y. Tại thời điểm ban đầu, hạt nằm ở gốc tọa độ và tốc độ của nó bằng không. Với chuyển động tiếp theo, lần đầu tiên hạt dừng lại ở thời điểm t T sau khi bắt đầu chuyển động. Không có trọng lực. 1) Xác định vận tốc của hạt tại thời điểm nó chuyển động dọc theo trục x. 2) Xác định bán kính cong của quỹ đạo hạt tại điểm có tọa độ y. 3) Vẽ quỹ đạo của hạt trong thời gian chuyển động T. 4) Hạt sẽ cách điểm xuất phát bao nhiêu sau thời gian W 3 T 2? Ghi chú. Đối với các giá trị nhỏ của ’ x công thức ’ $x^{n}$ là hợp lệ

$nx^{n} 1$ ‘x. A.Uymin

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin

Hình 23

KVAN T 2023/№3

Trong số này, vua vào vị trí của mình, di chuyển từ ô c1 đến c3 trong hai nước đi), nước đi cuối cùng được thực hiện: vua, người đã từng thực hiện nước đi đầu tiên, di chuyển từ ô b1 sang ô c1. Chỉ có 36 bước. bài toán này là sự phát triển của bài toán M2494 «Bài toán Kvant (tác giả của nó là R. Efremov).

Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIX dành cho học sinh môn toán

lớp 9

Họ đã dành thời gian như nhau. Giữa hai thời điểm của cuộc gặp gỡ, mỗi cậu bé lái một nửa đoạn đường nhựa và một nửa đoạn đường cát, và họ dành khoảng thời gian như nhau cho việc đó. Điều này có nghĩa là mỗi người trong số họ dành gấp đôi thời gian trên toàn bộ đường đua, tức là cũng như nhau. 2. Điều đó là không thể. Chúng ta gọi một đa giác có diện tích (đo bằng $см^{2} )$ bằng số với chu vi (đo bằng cm) là tốt. Lưu ý rằng tam giác ban đầu là tốt: nó là hình chữ nhật có hai cạnh chân là 5 cm và 12 cm nên diện tích của nó bằng $30 см^{2}$ và trùng về số với chu vi của nó, bằng 5 12 13 30 cm. Nếu một số đa giác 3 được chia thành các đa giác tốt thì diện tích 3, bằng tổng diện tích của tất cả các đa giác của phân vùng sẽ trùng với tổng chu vi của các đa giác của phân vùng. Nhưng tổng các chu vi này lớn hơn chu vi 3 (bằng hai lần tổng chiều dài của các phần chung của ranh giới của các đa giác của phân vùng). Điều này có nghĩa là không có đa giác tốt nào, kể cả tam giác này, có thể được cắt thành nhiều (nhiều hơn một) đa giác tốt. quân xe không thể rơi vào một phần. Gọi A, B, C, D là các ô góc của bảng (theo thứ tự đi ngược chiều kim đồng hồ; Hình 9). Từ tính đối xứng, A và C phải thuộc các phần khác nhau, như B và D. Điều này có nghĩa là A và B, hoặc A và D nằm trong cùng một phần, và hai ô còn lại phải thuộc cùng một phần khác. nếu một số ô X như vậy nằm ở phần II, thì trong

Hình 9

nó cũng chứa một số đường đi từ X đến C, và trong phần I có một số đường đi từ A đến B; nhưng những đường dẫn này phải có một ô chung, điều này là không thể. Điều này có nghĩa là toàn bộ đường ngang giữa các ô A và B nằm ở phần I, tức là nó phải chứa ít nhất một xe. Tương tự, ở Phần II cũng có một quân nguyên (giữa C và D), tức là có Xe. Từ đây theo sau những gì được yêu cầu. Vẫn còn phải đưa ra một ví dụ khi một trong các phần chứa 2 n 1 quân xe. Một ví dụ có thể hoạt động như thế này. Xét đường chéo của hình vuông; một phần sẽ bao gồm các ô bên dưới nó, cũng như nửa dưới của đường chéo; các ô còn lại sẽ rơi vào phần thứ hai. Đặt 2 n 1 quân vào các ô ngay dưới đường chéo; thế thì họ sẽ ở trong một phần. Chúng ta sẽ đặt quân xe còn lại tại giao điểm của hàng và cột còn lại. Hình 8 cho thấy một ví dụ như vậy cho n 5. 5. Chúng ta hãy biểu thị các đường tròn có đường kính AB và CD lần lượt là $Z_{1}$ và $Z_{2}$ . Lưu ý rằng điểm S nằm trên đoạn MN. Cho các đường thẳng CS và DS cắt l lần lượt tại các điểm P và Q (Hình 10). Vì CD là đường kính $Z_{2}$ nên ta có PSQ CSD 90 q. Trong tam giác vuông PSQ, đoạn SM là chiều cao nên MSP 90 q SPM SQP. Mặt khác, kể từ NS NC, chúng ta có SCD CSN MSP. Vì vậy, SCD MSP SQP, tức là các điểm P, Q, C và D nằm trên cùng một đường tròn J c.

Hình 10