Giải đấu thành phố XLV

Giải đấu thành phố XLV

GIỚI THIỆU

Bài toán du xuân

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1 (4).^{1}$ Nếu Vasya chia một chiếc bánh hoặc một miếng bánh thành hai phần, anh ấy luôn làm cho chúng có khối lượng bằng nhau. Và nếu anh ta chia nó thành nhiều phần hơn thì anh ta có thể làm chúng bất cứ thứ gì anh ta muốn, nhưng tất cả chúng phải có khối lượng khác nhau. Sau nhiều lần chia như vậy, Vasya đã cắt chiếc bánh thành 17 miếng. Tất cả các bộ phận có thể có khối lượng bằng nhau không? (Bạn không thể kết hợp các phần.) B. Frenkin

2 (4). Bàn cờ 8 và 8 được sơn lại bằng nhiều màu (mỗi ô một màu). Hóa ra nếu hai ô nằm cạnh nhau theo đường chéo hoặc tách biệt với nhau bằng nước đi của hiệp sĩ thì chúng nhất thiết phải có màu khác nhau. Số màu nhỏ nhất có thể dùng được là bao nhiêu? M. Evdokimov

3 (5). Năm tam giác đều được sắp xếp như hình 1. Ba tam giác lớn bằng nhau

Hình 1

giữa chúng và hai cái nhỏ cũng bình đẳng với nhau. Tìm các góc của tam giác ABC. E. Bakaev

4 (5). Hai tên cướp biển chia sẻ 25 đồng tiền vàng có mệnh giá khác nhau, được đặt trong một hình vuông có kích thước 5 x 5. Những tên cướp biển thay phiên nhau lấy một đồng xu từ mép (có thể lấy một đồng xu

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

nếu ở bên trái, hoặc bên phải, hoặc bên dưới, hoặc bên trên thì không có cái nào khác). Có đúng là tên cướp biển đầu tiên luôn có thể hành động sao cho đảm bảo nhận được ít nhất một nửa tổng số chiến lợi phẩm? M. Evdokimov

5 (6). Có N con trăn, miệng có kích thước 1 cm, 2 cm,…, N cm. Mỗi con boa constrictor có thể nuốt một quả táo có đường kính bất kỳ (tính bằng cm), không vượt quá kích thước miệng của nó. Nhưng bạn không thể biết được ai đó có miệng bằng cách nhìn vào vẻ bề ngoài của họ. Vào buổi tối, người chăm sóc có thể đưa cho mỗi con trăn bao nhiêu quả táo tùy thích với kích cỡ tùy ý, và trong đêm, con trăn sẽ nuốt tất cả những quả vừa vào miệng. Tổng số quả táo tối thiểu mà người chăm sóc phải đưa cho những con trăn vào buổi tối là bao nhiêu để đến buổi sáng, dựa vào kết quả, anh ta đảm bảo xác định được kích thước miệng của từng con trăn? T. Kazitsyna

lớp 10–11

1 (3). Trong dãy số thực $a_{1}, a_{2},^{…}$, mỗi số bắt đầu từ số thứ ba bằng một nửa tổng của hai số trước đó. Chứng minh rằng mọi parabol có dạng $y x^{2} a_{n} x a_{n} 1$ (trong đó n 1, 2, 3, …) đều có điểm chung. M. Evdokimov

2 (4). Một hình chữ nhật tùy ý được chia thành các tam giác vuông như Hình 2. Một hình vuông có cạnh nằm trên cạnh huyền được nội tiếp trong mỗi tam giác. Cái nào lớn hơn: diện tích hình vuông lớn nhất hay tổng diện tích của ba hình vuông còn lại? M. Evdokimov

Hình 2

để rõ ràng, phân đoạn này hiển thị người chơi đã thực hiện nước đi). Bạn có thể nhận thấy rằng sau bất kỳ bước đi tiếp theo nào của người chơi đầu tiên, người chơi thứ hai sẽ có thể chiếm được hình vuông. Trò chơi này được biết đến ở nhiều nước dưới những cái tên khác nhau. Các quy tắc của nó được nhà toán học người Pháp Edouard Lucas công bố lần đầu tiên vào năm 1889. 4. Ếch và cóc. Trên 2n + 1 ô thẳng hàng $расположены^{n}$ ếch $и^{n}$ cóc, giữa đó có một ô trống (Hình 3). Ếch bên trái, cóc bên phải.

Hình 3

Ếch chỉ có thể di chuyển sang bên phải: đến ô liền kề nếu ô trống hoặc nhảy qua một con cóc hoặc một con ếch đến ô trống. Con cóc cũng vậy nhưng chúng chỉ di chuyển về bên trái. Mục tiêu của trò chơi là hoán đổi ếch và cóc. Các động tác không nhất thiết phải xen kẽ giữa ếch và cóc. Bài toán 1. Chứng minh rằng trò chơi giải đố này luôn có lời giải. Tìm số lần di chuyển. Một khái quát của trò chơi này cho thấy chính nó. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có m con cóc $и^{n}$ ếch? Bài toán 2. Chứng minh rằng câu đố tổng quát cũng có lời giải và tìm số lần di chuyển. Câu đố này có bao nhiêu lời giải? Hãy biểu thị một bước di chuyển bằng chữ cái Ш nếu đó là một bước di chuyển đến một ô liền kề và bằng chữ P nếu đó là một bước nhảy. Hãy viết ra chuỗi các nước đi dẫn đến chiến thắng. Ví dụ, trong trường hợp hai con cóc và hai con ếch:

SHPSHPSHPSH

Lưu ý rằng chuỗi di chuyển kết quả là một bảng màu [3]. Bài toán 3. Chứng minh rằng điều này đúng với số lượng cóc và ếch tùy ý. Bài toán 4. Có đúng là chuỗi nước đi thắng cũng sẽ là một bảng màu đối xứng cho $случая^{m} z^{n}$ không? Một dạng khái quát khác của câu đố này là trường hai chiều (Hình 4). Bây giờ ếch chỉ có thể di chuyển sang phải hoặc xuống, cóc chỉ có thể di chuyển sang trái và lên.

Hình 4

Một con lưỡng cư có thể nhảy qua người hàng xóm của nó, miễn là ô vuông mà nó đáp xuống trống. Mục tiêu của câu đố một lần nữa là khiến ếch và cóc đổi chỗ cho nhau. Bài toán 5. Chứng minh rằng câu đố hai chiều có lời giải. Có một phiên bản khác của trò chơi “Cóc và Ếch” do nhà toán học Richard Guy đề xuất. Trong trò chơi này, cóc và ếch lại nằm trên một đường thẳng nhưng có thể có nhiều ô tự do, các bước di chuyển được phép là như nhau, chỉ duy nhất trò chơi này là phải thắng. Người thua cuộc là người không thể thực hiện thêm bước đi nào khác. Các vị trí trong trò chơi như vậy có thể được gán giá trị. Đôi khi chúng là những con số quen thuộc với chúng ta và đôi khi chúng là những thực thể khác phức tạp hơn. Nỗ lực phân tích chi tiết những trò chơi như vậy bất ngờ dẫn đến một lý thuyết thú vị và phức tạp. Một cuộc thảo luận chi tiết có thể được tìm thấy trong cuốn sách [4] và bộ sưu tập [5].

Văn học

1. Máy kiểm tra laze. – «Kvant», 1970, số 4, tr. 59. 2. Trò chơi yoga. – «Kvant», 1978, số 9, tr. 64. 3. https: www.cut-the-knot.org SimpleGames FrogsAndToads.shtml 4. E. R. Berlekamp, ​​​J. H. Conway, R. K. Guy. Những cách chiến thắng cho trò chơi toán học của bạn. Tập 1. – AK Peters/CRC Press, 2001. 5. J. Conway và cộng sự. Người đàn ông chơi toán. – M.: MTsNMO, 2023.

Tài liệu do N. Panyunin chuẩn bị