Phép chia góc và cổ điển khác bài toán

M A T H E A T I C H E K K R UZH OK

Phép chia góc và cổ điển khác bài toán

A. ZASLAVSKY, S. MARKELOV

Chúng tôi biết rằng bài toán không có lời giải. Chúng tôi muốn biết làm thế nào để giải quyết nó. A.Strugatsky, B.Strugatsky. “Thứ Hai bắt đầu vào Thứ Bảy”

Trong hình học trường học bài toán việc xây dựng thường yêu cầu giải bằng compa và thước kẻ. Lý do cho điều này là truyền thống lịch sử: đây là những dụng cụ được các nhà hình học Hy Lạp cổ đại sử dụng. Họ cũng đã xây dựng ba công thức đã trở thành cổ điển, bài toán, một trong số đó là phép chia ba hoặc chia một góc đã cho thành ba phần bằng nhau và hai phần còn lại - nhân đôi khối lập phương, tức là dựng một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích đã cho và bình phương hình tròn, tức là dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn đã cho. Thực tế là không thể giải tất cả những bài toán này chỉ bằng la bàn và thước kẻ mà không có phép chia đã được chứng minh vào thế kỷ 19, khi bài toán được định dạng lại bằng ngôn ngữ đại số. Ví dụ: bài toán về phép chia ba góc M S 3 rút gọn thành lời giải của phương trình bậc ba $x^{3} 3 x 1 0$. Phương trình này không có nghiệm hữu tỉ, và có thể chứng minh rằng nghiệm của nó không phải là nghiệm hữu tỉ bậc hai và không thể dựng được bằng compa và thước thẳng (để biết thêm thông tin về chứng minh tính bất khả thi của cách dựng, xem [1]). Tuy nhiên, bạn có thể cố gắng giải quyết bài toán nếu cho phép có kho công cụ rộng hơn và cả nếu trước đó một số đường cong đã được vẽ trên mặt phẳng. Dự án do các tác giả của bài báo đề xuất tại Hội nghị Mùa hè XXXVI của Giải đấu các Thành phố vào tháng 8 năm 2024 đã được dành cho các phương pháp này.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240903

Hãy bắt đầu với hai bài toán, được biết đến từ thời cổ đại.

Bài toán 1. Chia góc đã cho thành ba phần bằng nhau bằng cách sử dụng compa và thước kẻ trên đó đánh dấu một đoạn đơn vị. Thước có thể được áp dụng cho mặt phẳng sao cho nó đi qua một điểm đã được xây dựng trước đó và các đầu của đoạn được đánh dấu trên đó nằm trên các đường đã vẽ trước đó. Lời giải. Chúng ta biểu thị góc này bằng M và trên đường tròn đơn vị tâm O lấy các điểm A và B sao cho AOB M. Dùng thước kẻ có đoạn thẳng đơn vị đã đánh dấu, kẻ một đường thẳng qua B cắt đường tròn và tiếp tục đoạn AO vượt ra ngoài điểm O tại các điểm X, Y sao cho XY = 1 (Hình 1). Sau đó OBX OXB 2 XYA và AOB OBY OYB 3 XYA, do đó, XYA M 3.

Hình 1

Sự định nghĩa. Cho điểm chuyển động đều dọc theo tia quay với vận tốc góc không đổi xung quanh gốc tọa độ của nó. Khi đó đường cong mà nó mô tả được gọi là đường xoắn ốc Archimedes.

Bài toán 2. Vẽ đường xoắn ốc Archimedes trên mặt phẳng. Chia góc này bằng compa và thước: a) thành ba phần bằng nhau; b) thành n phần bằng nhau. Lời giải. a) Vẽ hai tia từ tâm O của đường xoắn ốc, tạo thành một góc M và tìm các điểm X, Y giao nhau của chúng với đường xoắn ốc (Hình 2). Chúng ta vẽ đoạn OX c OX trên OY, chia đoạn X c Y thành ba phần bằng nhau và vẽ qua các điểm phân chia một đường tròn tâm O cắt đường xoắn ốc tại các điểm P và Q. Sau đó XOP POQ QOY. b) Lời giải tương tự như điểm trước. Tập hợp các đường cong mà trong đó việc chia ba một góc trở nên khả thi,